Metodi per impostare le equazioni delle rette nel piano e nello spazio tridimensionale

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-02 17:49

La linea retta è l'oggetto geometrico principale sul piano e nello spazio tridimensionale. È dalle linee rette che si costruiscono molte figure, ad esempio: un parallelogramma, un triangolo, un prisma, una piramide e così via. Considera nell'articolo vari modi per impostare le equazioni delle linee.

Definizione di una retta e tipi di equazioni per descriverla

Ogni studente ha una buona idea di quale oggetto geometrico sta parlando. Una retta può essere rappresentata come un insieme di punti, e se colleghiamo ciascuno di essi a turno con tutti gli altri, otteniamo un insieme di vettori paralleli. In altre parole, è possibile arrivare in ogni punto della retta da uno dei suoi punti fissi, trasferendolo a un vettore unitario moltiplicato per un numero reale. Questa definizione di retta viene utilizzata per definire un'uguaglianza vettoriale per la sua descrizione matematica sia nel piano che nello spazio tridimensionale.

Una retta può essere rappresentata matematicamente dai seguenti tipi di equazioni:

generale;
vettore;
parametrico;
in segmenti;
simmetrico (canonico).

Successivamente, considereremo tutti i tipi nominati e mostreremo come lavorarci usando esempi di risoluzione dei problemi.

Descrizione vettoriale e parametrica di una retta

Iniziamo definendo una retta passante per un vettore noto. Supponiamo che ci sia un punto fisso nello spazio M(x₀; y₀; z_{0). È noto che la retta lo attraversa ed è diretta lungo il segmento vettoriale v¯(a; b; c). Come trovare un punto arbitrario della linea da questi dati? La risposta a questa domanda darà la seguente uguaglianza:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Dove λ è un numero arbitrario.

Un'espressione simile può essere scritta per il caso bidimensionale, dove le coordinate di vettori e punti sono rappresentate da un insieme di due numeri:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Le equazioni scritte sono dette equazioni vettoriali e il segmento diretto v¯ stesso è il vettore di direzione della retta.

Dalle espressioni scritte si ottengono semplicemente le corrispondenti equazioni parametriche, basta riscriverle esplicitamente. Ad esempio, per il caso nello spazio, otteniamo la seguente equazione:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

È conveniente lavorare con equazioni parametriche se è necessario analizzare il comportamentoogni coordinata. Si noti che sebbene il parametro λ possa assumere valori arbitrari, deve essere lo stesso in tutte e tre le uguaglianze.

Equazione generale

Un altro modo per definire una linea retta, che è spesso usata per lavorare con l'oggetto geometrico considerato, è usare un'equazione generale. Per il caso bidimensionale, sembra:

LAx + By + C=0

Qui le lettere latine maiuscole rappresentano valori numerici specifici. La convenienza di questa uguaglianza nella risoluzione dei problemi risiede nel fatto che contiene esplicitamente un vettore che è perpendicolare ad una retta. Se lo indichiamo con n¯, allora possiamo scrivere:

n¯=[LA; B]

Inoltre, l'espressione è comoda da usare per determinare la distanza da una retta a un punto P(x₁; y_{1). La formula per la distanza d è:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(LA²+ SI²⁾

È facile mostrare che se esprimiamo esplicitamente la variabile y dall'equazione generale, otteniamo la seguente forma ben nota di scrittura di una retta:

y=kx + b

Dove k e b sono determinati in modo univoco dai numeri A, B, C.

L'equazione in segmenti e canonica

Intersezione degli assi coordinati di una retta

L'equazione in segmenti è più facile da ottenere dalla vista generale. Ti mostreremo come farlo.

Supponiamo di avere la seguente riga:

LAx + By + C=0

Sposta il termine libero sul lato destro dell'uguaglianza, quindi dividi l'intera equazione per esso, otteniamo:

LAx + By=-C;

x / (-C / LA) + y / (-C / SI)=1;

x / q + y / p=1, dove q=-C / LA, p=-C / SI

Abbiamo ottenuto la cosiddetta equazione in segmenti. Ha preso il nome dal fatto che il denominatore per cui è divisa ogni variabile mostra il valore della coordinata dell'intersezione della linea con l'asse corrispondente. È conveniente utilizzare questo fatto per rappresentare una linea retta in un sistema di coordinate, nonché per analizzare la sua posizione relativa in relazione ad altri oggetti geometrici (linee rette, punti).

Ora passiamo all'ottenimento dell'equazione canonica. Questo è più facile se consideriamo l'opzione parametrica. Per il caso sull'aereo abbiamo:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Esprimiamo il parametro λ in ogni uguaglianza, poi li eguagliamo, otteniamo:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Questa è l'equazione desiderata scritta in forma simmetrica. Proprio come un'espressione vettoriale, contiene esplicitamente le coordinate del vettore di direzione e le coordinate di uno dei punti che appartiene alla linea.

Si può vedere che in questo paragrafo abbiamo fornito le equazioni per il caso bidimensionale. Allo stesso modo, puoi scrivere l'equazione di una retta nello spazio. Si noti qui che se la forma canonicai record e l'espressione in segmenti avranno la stessa forma, quindi l'equazione generale nello spazio per una retta è rappresentata da un sistema di due equazioni per i piani intersecanti.

Il problema di costruire l'equazione di una retta

Dalla geometria, ogni studente sa che attraverso due punti puoi tracciare un'unica linea. Si supponga che i seguenti punti siano indicati nel piano delle coordinate:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

E' necessario trovare l'equazione della retta a cui appartengono entrambi i punti, in segmenti, in forma vettoriale, canonica e generale.

Prima prendiamo l'equazione del vettore. Per fare ciò, definire per il vettore di direzione diretta M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Ora puoi creare un'equazione vettoriale prendendo uno dei due punti specificati nell'istruzione del problema, ad esempio, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Per ottenere l'equazione canonica basta trasformare l'uguaglianza trovata in una forma parametrica ed escludere il parametro λ. Abbiamo:

x=-1 - 2λ, quindi λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, allora otteniamo λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Le restanti due equazioni (generale e in segmenti) possono essere ricavate da quella canonica trasformandola come segue:

x + 1=-2y + 6;

equazione generale: x + 2y - 5=0;

Equazione in segmenti: x / 5 + y / 2, 5=1

Le equazioni risultanti mostrano che il vettore (1; 2) deve essere perpendicolare alla retta. Infatti, se trovi il suo prodotto scalare con il vettore di direzione, allora sarà uguale a zero. L'equazione del segmento di linea dice che la linea interseca l'asse x in (5; 0) e l'asse y in (2, 5; 0).

Il problema di determinare il punto di intersezione delle rette

Due rette sono date sul piano dalle seguenti equazioni:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

È necessario determinare le coordinate del punto in cui queste linee si intersecano.

Ci sono due modi per risolvere il problema:

Trasforma l'equazione vettoriale in una forma generale, quindi risolvi il sistema di due equazioni lineari.
Non eseguire alcuna trasformazione, ma semplicemente sostituire la coordinata del punto di intersezione, espressa tramite il parametro λ, nella prima equazione. Quindi trova il valore del parametro.

Facciamo nel secondo modo. Abbiamo: