Quando si preparano per l'esame di matematica, gli studenti devono sistematizzare le loro conoscenze di algebra e geometria. Vorrei combinare tutte le informazioni conosciute, ad esempio come calcolare l'area di una piramide. Inoltre, partendo dalle facce di base e laterali fino a tutta la superficie. Se la situazione è chiara con le facce laterali, poiché sono triangoli, la base è sempre diversa.
Come trovare l'area della base della piramide?
Può avere qualsiasi forma: da un triangolo arbitrario a un n-gon. E questa base, oltre alla differenza nel numero degli angoli, può essere una figura regolare o errata. Negli USE compiti di interesse per gli scolari, ci sono solo compiti con le figure corrette alla base. Pertanto, parleremo solo di loro.
Triangolo regolare
Questo è equilatero. Uno in cui tutti i lati sono uguali e denotati dalla lettera "a". In questo caso, l'area della base della piramide è calcolata dalla formula:
S=(a2√3) / 4.
Quadrato
La formula per calcolare la sua area è la più semplice,qui "a" è di nuovo il lato:
S=a2.
N-gon regolare arbitrario
Il lato di un poligono ha la stessa designazione. Per il numero di angoli viene utilizzata la lettera latina n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Come calcolare la superficie laterale e totale?
Poiché la base è una figura regolare, tutti i lati della piramide sono uguali. Inoltre, ciascuno di essi è un triangolo isoscele, poiché i bordi laterali sono uguali. Quindi, per calcolare l'area laterale della piramide, è necessaria una formula composta dalla somma di monomi identici. Il numero di termini è determinato dal numero di lati della base.
L'area di un triangolo isoscele è calcolata dalla formula in cui metà del prodotto della base viene moltiplicato per l' altezza. Questa altezza nella piramide è chiamata apotema. La sua designazione è "A". La formula generale per la superficie laterale è:
S=½ PA, dove P è il perimetro della base della piramide.
Ci sono situazioni in cui i lati della base non sono noti, ma sono dati gli spigoli laterali (c) e l'angolo piatto al suo vertice (α). Quindi dovrebbe usare questa formula per calcolare l'area laterale della piramide:
S=n/2in2 sin α.
Problema 1
Condizione. Trova l'area totale della piramide se la sua base è un triangolo equilatero con un lato di 4 cm e l'apotema è √3 cm.
Decisione. La suaDevi iniziare calcolando il perimetro della base. Poiché questo è un triangolo regolare, quindi P \u003d 34 \u003d 12 cm Poiché l'apotema è noto, puoi immediatamente calcolare l'area dell'intera superficie laterale: ½12√3=6 √3 cm 2.
Per un triangolo alla base, ottieni il seguente valore di area: (42√3) / 4=4√3 cm2
Per determinare l'area totale, devi sommare i due valori risultanti: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Risposta. 10√3cm2.
Problema 2
Condizione. C'è una piramide quadrangolare regolare. La lunghezza del lato della base è di 7 mm, il bordo laterale è di 16 mm. Devi conoscere la sua superficie.
Decisione. Poiché il poliedro è quadrangolare e regolare, la sua base è un quadrato. Dopo aver appreso le aree della base e delle facce laterali, sarà possibile calcolare l'area della piramide. La formula per il quadrato è data sopra. E alle facce laterali sono noti tutti i lati del triangolo. Pertanto, puoi utilizzare la formula di Heron per calcolare le loro aree.
I primi calcoli sono semplici e portano a questo numero: 49 mm2. Per il secondo valore, dovrai calcolare il semiperimetro: (7 + 162): 2=19,5 mm. Ora puoi calcolare l'area di un triangolo isoscele: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)2)=√2985.9375=54.644 mm 2. Ci sono solo quattro di questi triangoli, quindi quando calcoli il numero finale, dovrai moltiplicarlo per 4.
Risulta: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Risposta. Valore desiderato 267, 576mm2.
Problema 3
Condizione. Per una piramide quadrangolare regolare, è necessario calcolare l'area. Conosce il lato del quadrato - 6 cm e l' altezza - 4 cm.
Decisione. Il modo più semplice è utilizzare la formula con il prodotto del perimetro e dell'apotema. Il primo valore è facile da trovare. Il secondo è un po' più difficile.
Dovremo ricordare il teorema di Pitagora e considerare un triangolo rettangolo. È formato dall' altezza della piramide e dall'apotema, che è l'ipotenusa. La seconda gamba è uguale alla metà del lato del quadrato, poiché l' altezza del poliedro cade al centro.
L'apotema desiderato (l'ipotenusa di un triangolo rettangolo) è √(32 + 42)=5 (cm).
Ora puoi calcolare il valore richiesto: ½(46)5+62=96 (vedi2).
Risposta. 96 cm2.
Problema 4
Condizione. Data una piramide esagonale regolare. I lati della sua base sono 22 mm, le nervature laterali sono 61 mm. Qual è la superficie laterale di questo poliedro?
Decisione. Il ragionamento in esso contenuto è lo stesso descritto nel problema n. 2. Solo lì è stata data una piramide con un quadrato alla base, e ora è un esagono.
Prima di tutto, l'area della base viene calcolata utilizzando la formula sopra: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Ora devi scoprire il semiperimetro di un triangolo isoscele, che è la faccia laterale. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm Resta da calcolare l'area della spiaggia taletriangolo, quindi moltiplicalo per sei e aggiungilo a quello che è risultato per la base.
Calcolo con la formula di Heron: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Calcoli che daranno la superficie laterale: 6606=3960 cm2. Resta da sommarli per scoprire l'intera superficie: 5217, 47≈5217 cm2.
Risposta. Base - 726√3cm2, superficie laterale - 3960cm2, area totale - 5217cm2.
