Pitagora ha affermato che il numero è alla base del mondo insieme agli elementi di base. Platone credeva che il numero collegasse il fenomeno e il noumeno, aiutando a conoscere, misurare e trarre conclusioni. L'aritmetica deriva dalla parola "arithmos" - un numero, l'inizio degli inizi in matematica. Può descrivere qualsiasi oggetto, da una mela elementare a spazi astratti.
I bisogni come fattore di sviluppo
Nelle prime fasi della formazione della società, i bisogni delle persone erano limitati alla necessità di tenere il conto: un sacco di grano, due sacchi di grano, ecc. Per questo bastavano i numeri naturali, il cui insieme è una sequenza positiva infinita di interi N.
Più tardi, con lo sviluppo della matematica come scienza, è stato necessario un campo separato di numeri interi Z - include valori negativi e zero. La sua apparizione a livello familiare è stata provocata dal fatto che nella contabilità primaria era necessario in qualche modo aggiustaredebiti e perdite. A livello scientifico, i numeri negativi hanno permesso di risolvere le equazioni lineari più semplici. Tra l' altro, l'immagine di un banale sistema di coordinate è ora diventata possibile, da quando è apparso un punto di riferimento.
Il passo successivo è stata la necessità di introdurre i numeri frazionari, poiché la scienza non si è fermata, sempre più scoperte hanno richiesto una base teorica per un nuovo slancio di crescita. Così è apparso il campo dei numeri razionali Q.
Finalmente, la razionalità ha smesso di soddisfare le richieste, perché tutte le nuove conclusioni richiedevano una giustificazione. Apparve il campo dei numeri reali R, le opere di Euclide sull'incommensurabilità di certe quantità a causa della loro irrazionalità. Cioè, gli antichi matematici greci posizionavano il numero non solo come una costante, ma anche come una quantità astratta, caratterizzata dal rapporto tra quantità incommensurabili. A causa del fatto che sono comparsi numeri reali, quantità come "pi" ed "e" "hanno visto la luce", senza le quali la matematica moderna non potrebbe aver luogo.
L'ultima innovazione è stata il complesso numero C. Ha risposto a una serie di domande e confutato i postulati precedentemente introdotti. A causa del rapido sviluppo dell'algebra, il risultato era prevedibile: avere numeri reali, risolvere molti problemi era impossibile. Ad esempio, grazie ai numeri complessi, spiccava la teoria delle stringhe e del caos e si ampliavano le equazioni dell'idrodinamica.
Teoria degli insiemi. Cantore
Il concetto di infinito in ogni momentoha suscitato polemiche, poiché non poteva essere né provato né smentito. Nel contesto della matematica, che operava con postulati rigorosamente verificati, ciò si manifestava in maniera più chiara, tanto più che l'aspetto teologico aveva ancora peso nella scienza.
Tuttavia, grazie al lavoro del matematico Georg Kantor, tutto è andato a posto nel tempo. Dimostrò che esistono un numero infinito di insiemi infiniti e che il campo R è maggiore del campo N, anche se entrambi non hanno fine. A metà del 19° secolo, le sue idee erano chiamate a gran voce sciocchezze e un crimine contro i canoni classici e irremovibili, ma il tempo ha messo tutto al suo posto.
Proprietà di base del campo R
I numeri reali non solo hanno le stesse proprietà dei sottoinsiemi in essi inclusi, ma sono anche integrati da altri a causa della scala dei loro elementi:
- Zero esiste e appartiene al campo R. c + 0=c per qualsiasi c da R.
- Zero esiste e appartiene al campo R. c x 0=0 per qualsiasi c da R.
- La relazione c: d per d ≠ 0 esiste ed è valida per qualsiasi c, d da R.
- Il campo R è ordinato, cioè se c ≦ d, d ≦ c, allora c=d per ogni c, d da R.
- L'addizione nel campo R è commutativa, cioè c + d=d + c per ogni c, d da R.
- La moltiplicazione nel campo R è commutativa, cioè c x d=d x c per ogni c, d da R.
- L'aggiunta nel campo R è associativa, cioè (c + d) + f=c + (d + f) per ogni c, d, f da R.
- La moltiplicazione nel campo R è associativa, cioè (c x d) x f=c x (d x f) per ogni c, d, f da R.
- Per ogni numero nel campo R, esiste un opposto, tale che c + (-c)=0, dove c, -c è da R.
- Per ogni numero del campo R c'è il suo inverso, tale che c x c-1 =1, dove c, c-1 da R.
- L'unità esiste e appartiene a R, quindi c x 1=c, per qualsiasi c da R.
- La legge di distribuzione è valida, quindi c x (d + f)=c x d + c x f, per ogni c, d, f da R.
- Nel campo R, zero non è uguale a uno.
- Il campo R è transitivo: se c ≦ d, d ≦ f, allora c ≦ f per ogni c, d, f da R.
- Nel campo R, ordine e addizione sono correlati: se c ≦ d, allora c + f ≦ d + f per ogni c, d, f da R.
- Nel campo R, ordine e moltiplicazione sono correlati: se 0 ≦ c, 0 ≦ d, allora 0 ≦ c x d per ogni c, d da R.
- Sia i numeri reali negativi che positivi sono continui, cioè per ogni c, d da R esiste una f da R tale che c ≦ f ≦ d.
Modulo nel campo R
I numeri reali includono il modulo.
Indicato come |f| per qualsiasi f da R. |f|=f se 0 ≦ f e |f|=-f se 0 > f. Se consideriamo il modulo come una quantità geometrica, allora è la distanza percorsa - non importa se hai "passato" zero a meno o avanti a più.
Numeri complessi e reali. Quali sono le somiglianze e quali le differenze?
In linea di massima, i numeri complessi e reali sono la stessa cosa, tranne quellounità immaginaria i, il cui quadrato è -1. Gli elementi dei campi R e C possono essere rappresentati con la seguente formula:
c=d + f x i, dove d, f appartengono al campo R e i è l'unità immaginaria
Per ottenere c da R in questo caso, f è semplicemente posto uguale a zero, cioè rimane solo la parte reale del numero. A causa del fatto che il campo dei numeri complessi ha lo stesso insieme di proprietà del campo dei numeri reali, f x i=0 se f=0.
Per quanto riguarda le differenze pratiche, ad esempio, nel campo R, l'equazione quadratica non è risolta se il discriminante è negativo, mentre il campo C non impone tale restrizione per l'introduzione dell'unità immaginaria i.
Risultati
I "mattoni" degli assiomi e dei postulati su cui si basa la matematica non cambiano. A causa dell'aumento delle informazioni e dell'introduzione di nuove teorie, su alcune di esse vengono posti i seguenti "mattoni", che in futuro possono diventare la base per il passaggio successivo. Ad esempio, i numeri naturali, nonostante siano un sottoinsieme del campo reale R, non perdono la loro rilevanza. È su di loro che si basa tutta l'aritmetica elementare, con la quale inizia la conoscenza umana del mondo.
Da un punto di vista pratico, i numeri reali sembrano una linea retta. Su di esso puoi scegliere la direzione, designare l'origine e il passo. Una retta è costituita da un numero infinito di punti, ognuno dei quali corrisponde ad un unico numero reale, indipendentemente dal fatto che sia razionale o meno. Dalla descrizione risulta chiaro che si tratta di un concetto su cui si fondano sia la matematica in generale che l'analisi matematica in generale.particolare.
