Secondi, tangenti: tutto questo potrebbe essere ascoltato centinaia di volte durante le lezioni di geometria. Ma il diploma di scuola è finito, gli anni passano e tutta questa conoscenza è dimenticata. Cosa dovrebbe essere ricordato?
Essenza
Il termine "tangente a un cerchio" è probabilmente familiare a tutti. Ma è improbabile che tutti siano in grado di formulare rapidamente la sua definizione. Nel frattempo, una tangente è una linea retta che giace sullo stesso piano con un cerchio che la interseca in un solo punto. Potrebbe essercene una grande varietà, ma hanno tutti le stesse proprietà, che saranno discusse di seguito. Come puoi immaginare, il punto di contatto è il punto in cui il cerchio e la linea si intersecano. In ogni caso, è uno, ma se ce ne sono di più, sarà una secante.
Storia di scoperte e studi
Il concetto di tangente è apparso nell'antichità. La costruzione di queste rette, prima ad un cerchio, e poi ad ellissi, parabole e iperboli con l'aiuto di un righello e di un compasso, è stata effettuata anche nelle fasi iniziali dello sviluppo della geometria. Naturalmente, la storia non ha conservato il nome dello scopritore, maè ovvio che anche a quel tempo le persone erano abbastanza consapevoli delle proprietà della tangente al cerchio.
Nei tempi moderni, l'interesse per questo fenomeno è divampato di nuovo: è iniziato un nuovo ciclo di studio di questo concetto, combinato con la scoperta di nuove curve. Così Galileo introdusse il concetto di cicloide e Fermat e Descartes ne costruirono una tangente. Per quanto riguarda i cerchi, sembra che non ci siano più segreti per gli antichi in quest'area.
Proprietà
Il raggio disegnato al punto di intersezione sarà perpendicolare alla linea. Questo è
la proprietà principale, ma non l'unica, che ha una tangente a un cerchio. Un' altra caratteristica importante include già due rette. Quindi, per un punto che giace fuori dal cerchio, si possono disegnare due tangenti, mentre i loro segmenti saranno uguali. C'è un altro teorema su questo argomento, ma è raramente trattato nel quadro di un corso scolastico standard, sebbene sia estremamente conveniente per risolvere alcuni problemi. Suona così. Da un punto situato al di fuori del cerchio, vengono tracciate una tangente e una secante. Si formano i segmenti AB, AC e AD. A è l'intersezione delle rette, B è il punto di contatto, C e D sono le intersezioni. In questo caso sarà valida la seguente uguaglianza: la lunghezza della tangente al cerchio, al quadrato, sarà uguale al prodotto dei segmenti AC e AD.
Da quanto sopra c'è una conseguenza importante. Per ogni punto del cerchio puoi costruire una tangente, ma solo una. La prova di ciò è abbastanza semplice: facendo cadere teoricamente su di essa una perpendicolare dal raggio, scopriamo che il formatoil triangolo non può esistere. E questo significa che la tangente è l'unica.
Edificio
Tra gli altri problemi di geometria, c'è una categoria speciale, di regola, non
amato da alunni e studenti. Per risolvere compiti di questa categoria, hai solo bisogno di una bussola e un righello. Questi sono compiti di costruzione. Esistono anche metodi per costruire una tangente.
Quindi, dati un cerchio e un punto che si trovano al di fuori dei suoi confini. Ed è necessario tracciare una tangente attraverso di loro. Come farlo? Prima di tutto, devi disegnare un segmento tra il centro del cerchio O e un dato punto. Quindi, usando un compasso, dividilo a metà. Per fare ciò, è necessario impostare il raggio, poco più della metà della distanza tra il centro del cerchio originale e il punto indicato. Successivamente, è necessario costruire due archi intersecanti. Inoltre, non è necessario modificare il raggio della bussola e il centro di ciascuna parte del cerchio sarà rispettivamente il punto iniziale e O. Le intersezioni degli archi devono essere collegate, il che dividerà il segmento a metà. Imposta un raggio sulla bussola uguale a questa distanza. Quindi, con il centro nel punto di intersezione, disegna un altro cerchio. Sia il punto iniziale che O giaceranno su di esso. In questo caso, ci saranno altre due intersezioni con il cerchio dato nel problema. Saranno i punti di contatto per il punto inizialmente assegnato.
Interessante
Fu la costruzione delle tangenti al cerchio che portò alla nascita di
calcolo differenziale. Il primo lavoro su questo argomento è statopubblicato dal famoso matematico tedesco Leibniz. Prevedeva la possibilità di trovare massimi, minimi e tangenti, indipendentemente dai valori frazionari e irrazionali. Bene, ora viene utilizzato anche per molti altri calcoli.
Inoltre, la tangente al cerchio è legata al significato geometrico della tangente. Ecco da dove deriva il suo nome. Tradotto dal latino, tangens significa "tangente". Pertanto, questo concetto è connesso non solo con la geometria e il calcolo differenziale, ma anche con la trigonometria.
Due cerchi
Non sempre una tangente influenza solo una forma. Se un numero enorme di linee rette può essere disegnato su un cerchio, allora perché non viceversa? Può. Ma il compito in questo caso è seriamente complicato, perché la tangente a due cerchi potrebbe non passare per nessun punto e la posizione relativa di tutte queste figure può essere molto
diverso.
Tipi e varietà
Quando si tratta di due cerchi e di una o più linee, anche se è noto che si tratta di tangenti, non risulta subito chiaro come tutte queste figure si trovino in relazione l'una con l' altra. Sulla base di questo, ci sono diverse varietà. Quindi, i cerchi possono avere uno o due punti in comune o non averli affatto. Nel primo caso si intersecheranno e nel secondo si toccheranno. E qui ci sono due varietà. Se un cerchio è, per così dire, incorporato nel secondo, il tocco è chiamato interno, in caso contrario, esterno. capire reciprocola posizione delle figure è possibile non solo in base al disegno, ma anche avendo informazioni sulla somma dei loro raggi e sulla distanza tra i loro centri. Se queste due quantità sono uguali, i cerchi si toccano. Se il primo è più grande, si intersecano e se è più piccolo, non hanno punti in comune.
Lo stesso con le linee rette. Per due cerchi qualsiasi che non hanno punti in comune, puoi
costruisci quattro tangenti. Due di loro si intersecheranno tra le figure, sono chiamate interne. Un paio di altri sono esterni.
Se stiamo parlando di cerchi che hanno un punto in comune, il compito è notevolmente semplificato. Il fatto è che per qualsiasi accordo reciproco in questo caso, avranno solo una tangente. E passerà attraverso il punto della loro intersezione. Quindi la costruzione della difficoltà non causerà.
Se le figure hanno due punti di intersezione, allora si può costruire per loro una retta tangente al cerchio, sia l'uno che il secondo, ma solo quello esterno. La soluzione a questo problema è simile a quella che verrà discussa di seguito.
Risoluzione dei problemi
Le tangenti interne ed esterne a due cerchi non sono così facili da costruire, sebbene questo problema possa essere risolto. Il fatto è che per questo viene utilizzata una figura ausiliaria, quindi pensa tu stesso a questo metodo
abbastanza problematico. Quindi, dati due cerchi con raggi e centri diversi O1 e O2. Per loro, devi costruire due coppie di tangenti.
Prima di tutto, vicino al centro del più grandei cerchi devono essere costruiti ausiliari. In questo caso la differenza tra i raggi delle due figure iniziali deve essere stabilita sul compasso. Le tangenti al cerchio ausiliario sono costruite dal centro del cerchio più piccolo. Dopodiché, da O1 e O2, si disegnano perpendicolari a queste linee fino a quando non si intersecano con le figure originali. Come segue dalla proprietà principale della tangente, si trovano i punti desiderati su entrambi i cerchi. Problema risolto, almeno nella prima parte.
Per costruire tangenti interne, dovrai risolvere praticamente
un compito simile. Anche in questo caso è necessaria una figura ausiliaria, ma questa volta il suo raggio sarà uguale alla somma di quelle originali. Le tangenti sono costruite ad esso dal centro di uno dei cerchi dati. L'ulteriore corso della soluzione può essere compreso dall'esempio precedente.
Tangente a un cerchio o anche a due o più non è un compito così difficile. Naturalmente, i matematici hanno smesso da tempo di risolvere manualmente tali problemi e affidano i calcoli a programmi speciali. Ma non pensare che ora non sia necessario essere in grado di farlo da solo, perché per formulare correttamente un'attività per un computer, devi fare e capire molto. Sfortunatamente, si teme che dopo il passaggio finale alla forma di test di controllo delle conoscenze, i compiti di costruzione possano causare sempre più difficoltà agli studenti.
Per quanto riguarda la ricerca di tangenti comuni per più cerchi, non è sempre possibile, anche se giacciono sullo stesso piano. Ma in alcuni casi puoi trovare una linea così retta.
Esempi di vita
In pratica si incontra spesso una tangente comune a due cerchi, sebbene non sia sempre evidente. Trasportatori, sistemi di blocco, cinghie di trasmissione delle pulegge, tensione del filo in una macchina da cucire e anche solo una catena di bicicletta: tutti questi sono esempi dalla vita. Quindi non pensare che i problemi geometrici rimangano solo in teoria: in ingegneria, fisica, edilizia e molti altri, trovano applicazioni pratiche.
