Leonhard Euler (1707-1783) - famoso matematico svizzero e russo, membro dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo, visse gran parte della sua vita in Russia. Il più famoso in analisi matematica, statistica, informatica e logica è il cerchio di Eulero (diagramma di Eulero-Venn), usato per denotare la portata dei concetti e degli insiemi di elementi.
John Venn (1834-1923) - Filosofo e logico inglese, coautore del diagramma di Eulero-Venn.
Concetti compatibili e incompatibili
Sotto il concetto in logica si intende una forma di pensiero che riflette le caratteristiche essenziali di una classe di oggetti omogenei. Sono indicati da una o un gruppo di parole: "mappa del mondo", "accordo di quinta-settima dominante", "lunedì", ecc.
Nel caso in cui gli elementi dello scopo di un concetto appartengano in tutto o in parte allo scopo di un altro, si parla di concetti compatibili. Se, tuttavia, nessun elemento dell'ambito di un certo concetto appartiene all'ambito di un altro, abbiamo concetti incompatibili.
A sua volta, ogni tipo di concetto ha il proprio insieme di possibili relazioni. Per i concetti compatibili, questi sono:
- identità (equivalenza) dei volumi;
- crossing (partita parziale)volumi;
- subordinazione (subordinazione).
Per incompatibili:
- subordinazione (coordinamento);
- opposto (contrarità);
- contraddizione (contraddizione).
Schematicamente, le relazioni tra concetti nella logica sono solitamente denotate usando i cerchi di Eulero-Venn.
Relazioni equivalenti
In questo caso, i concetti significano lo stesso soggetto. Di conseguenza, i volumi di questi concetti sono completamente gli stessi. Ad esempio:
A - Sigmund Freud;
B è il fondatore della psicoanalisi.
Oppure:
A è un quadrato;
B è un rettangolo equilatero;
C è un rombo equiangolare.
Per la designazione vengono utilizzati cerchi di Eulero completamente coincidenti.
Intersezione (partita parziale)
Questa categoria include concetti che hanno elementi comuni in relazione all'attraversamento. Cioè, il volume di uno dei concetti è parzialmente incluso nel volume dell' altro:
A - insegnante;
B è un amante della musica.
Come si può vedere da questo esempio, i volumi dei concetti coincidono in parte: un certo gruppo di insegnanti potrebbe risultare essere degli amanti della musica e viceversa - potrebbero esserci rappresentanti della professione di insegnante tra gli amanti della musica. Un atteggiamento simile si verificherà nel caso in cui il concetto A sia, ad esempio, un "cittadino" e B un "autista".
Subordinazione (subordinazione)
Schematicamente indicati come cerchi di Eulero di diverse scale. Relazionitra i concetti in questo caso sono caratterizzati dal fatto che il concetto subordinato (di volume inferiore) è completamente incluso nel subordinato (di volume maggiore). Allo stesso tempo, il concetto subordinato non esaurisce completamente quello subordinato.
Ad esempio:
A - albero;
B - pino.
Il concetto B sarà subordinato al concetto A. Poiché il pino appartiene agli alberi, il concetto A in questo esempio diventa subordinato, "assorbendo" lo scopo del concetto B.
Coordinamento (coordinamento)
Relazione caratterizza due o più concetti che si escludono a vicenda, ma appartengono ad un certo circolo generico comune. Ad esempio:
LA – clarinetto;
B - chitarra;
C - violino;
Re è uno strumento musicale.
I concetti A, B, C non si intersecano tra loro, tuttavia appartengono tutti alla categoria degli strumenti musicali (il concetto D).
Opposto (contrario)
Relazioni opposte tra concetti implicano che questi concetti appartengano allo stesso genere. Allo stesso tempo, uno dei concetti ha determinate proprietà (caratteristiche), mentre l' altro le nega, sostituendole con quelle opposte in natura. Quindi, abbiamo a che fare con contrari. Ad esempio:
A è un nano;
B è un gigante.
Cerchio di Eulero con relazioni opposte tra concettiè diviso in tre segmenti, il primo dei quali corrisponde al concetto A, il secondo al concetto B e il terzo a tutti gli altri possibili concetti.
Contradizione (contraddizione)
In questo caso, entrambi i concetti sono specie dello stesso genere. Come nell'esempio precedente, uno dei concetti indica determinate qualità (caratteristiche), mentre l' altro le nega. Tuttavia, in contrasto con la relazione degli opposti, il secondo concetto opposto non sostituisce le proprietà negate con altre alternative. Ad esempio:
A è un compito difficile;
B è un compito facile (non-A).
Esprimendo il volume di concetti di questo tipo, il cerchio di Eulero è diviso in due parti: il terzo collegamento intermedio in questo caso non esiste. Quindi, i concetti sono anche contrari. Allo stesso tempo, uno di essi (A) diventa positivo (affermando una caratteristica) e il secondo (B o non-A) diventa negativo (negando la caratteristica corrispondente): "carta bianca" - "non carta bianca", " storia nazionale” – “storia straniera”, ecc.
Quindi, il rapporto tra i volumi dei concetti in relazione tra loro è una caratteristica chiave che definisce i cerchi di Eulero.
Relazioni tra i set
È inoltre necessario distinguere tra i concetti di elementi e insiemi, il cui volume è mostrato dai cerchi di Eulero. Il concetto di insieme è preso in prestito dalla scienza matematica e ha un significato abbastanza ampio. Esempi in logica e matematica lo mostrano come un certo insieme di oggetti. Gli oggetti stessi lo sonoelementi di questo insieme. "Molti sono molti pensati come uno" (Georg Kantor, fondatore della teoria degli insiemi).
Gli insiemi sono indicati in lettere maiuscole: A, B, C, D… ecc., gli elementi degli insiemi sono indicati in lettere minuscole: a, b, c, d… ecc. Esempi di un insieme possono essere studenti che sono in una classe, libri su un determinato scaffale (o, per esempio, tutti i libri in una certa biblioteca), pagine di un diario, bacche in una radura, ecc.
A sua volta, se un certo insieme non contiene un singolo elemento, allora viene chiamato vuoto e denotato dal segno Ø. Ad esempio, l'insieme dei punti di intersezione di rette parallele, l'insieme delle soluzioni dell'equazione x2=-5.
Risoluzione dei problemi
I cerchi di Eulero vengono utilizzati attivamente per risolvere un gran numero di problemi. Esempi in logica dimostrano chiaramente la connessione tra operazioni logiche e teoria degli insiemi. In questo caso vengono utilizzate tavole di verità dei concetti. Ad esempio, il cerchio etichettato A rappresenta la regione di verità. Quindi l'area al di fuori del cerchio rappresenterà false. Per determinare l'area del diagramma per un'operazione logica, dovresti ombreggiare le aree che definiscono il cerchio di Eulero, in cui i suoi valori per gli elementi A e B saranno veri.
L'uso dei cerchi di Eulero ha trovato ampia applicazione pratica in vari settori. Ad esempio, in una situazione con una scelta professionale. Se il soggetto è preoccupato per la scelta di una futura professione, può essere guidato dai seguenti criteri:
W – cosa mi piace fare?
D – cosa sto facendo?
P– come posso guadagnare bene?
Tracciamo questo come un diagramma: Cerchi di Eulero (esempi in logica - relazione di intersezione):
Il risultato saranno quelle professioni che saranno all'intersezione di tutti e tre i cerchi.
I cerchi di Eulero-Venn occupano un posto separato in matematica (teoria degli insiemi) quando si calcolano combinazioni e proprietà. I cerchi di Eulero dell'insieme degli elementi sono racchiusi nell'immagine di un rettangolo che denota l'insieme universale (U). Al posto dei cerchi si possono usare anche altre figure chiuse, ma l'essenza di questo non cambia. Le figure si intersecano tra loro, a seconda delle condizioni del problema (nel caso più generale). Inoltre, queste cifre dovrebbero essere etichettate di conseguenza. Gli elementi degli insiemi in esame possono essere punti situati all'interno di diversi segmenti del diagramma. Sulla base di esso, puoi ombreggiare aree specifiche, designando così i set appena formati.
Con questi insiemi è possibile eseguire operazioni matematiche di base: addizione (somma di insiemi di elementi), sottrazione (differenza), moltiplicazione (prodotto). Inoltre, grazie ai diagrammi di Eulero-Venn, è possibile confrontare gli insiemi per il numero di elementi inclusi in essi, senza contarli.
