Quadrilatero inscritto in un cerchio. Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-02 17:49

Con la divisione della matematica in algebra e geometria, il materiale didattico diventa più difficile. Appaiono nuove figure e i loro casi speciali. Per comprendere bene il materiale è necessario studiare i concetti, le proprietà degli oggetti e i relativi teoremi.

Concetti generali

Un quadrilatero significa una figura geometrica. Si compone di 4 punti. Inoltre, 3 di loro non si trovano sulla stessa linea retta. Ci sono segmenti che collegano i punti specificati in serie.

Tutti i quadrilateri studiati nel corso di geometria della scuola sono mostrati nel diagramma seguente. Conclusione: qualsiasi oggetto della figura presentata ha le proprietà della figura precedente.

Un quadrilatero può essere dei seguenti tipi:

• Parallelogramma. Il parallelismo dei suoi lati opposti è dimostrato dai teoremi corrispondenti.
• Trapezio. Un quadrilatero con basi parallele. Le altre due parti non lo sono.
• Rettangolo. Una figura che ha tutti e 4 gli angoli=90º.
• Rombo. Una figura con tutti i lati uguali.
• Quadrato. Combina le proprietà delle ultime due figure. Ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli sono retti.

La definizione principale di questo argomento è un quadrilatero inscritto in un cerchio. Consiste nel seguente. Questa è una figura attorno alla quale è descritto un cerchio. Deve passare attraverso tutti i vertici. Gli angoli interni di un quadrilatero inscritto in un cerchio si sommano fino a 360º.

Non tutti i quadrilateri possono essere inscritti. Ciò è dovuto al fatto che le bisettrici perpendicolari dei 4 lati potrebbero non intersecarsi in un punto. Ciò renderà impossibile trovare il centro di un cerchio che circoscriva un 4-gon.

Casi speciali

Ci sono eccezioni a ogni regola. Quindi, in questo argomento ci sono anche casi speciali:

• Un parallelogramma, in quanto tale, non può essere inscritto in un cerchio. Solo il suo caso speciale. È un rettangolo.
• Se tutti i vertici di un rombo sono sulla linea di circoscrizione, allora è un quadrato.
• Tutti i vertici del trapezio si trovano sul confine del cerchio. In questo caso si parla di una figura isoscele.

Proprietà di un quadrilatero inscritto in un cerchio

Prima di risolvere problemi semplici e complessi su un determinato argomento, devi verificare le tue conoscenze. Senza lo studio del materiale didattico, è impossibile risolvere un solo esempio.

Teorema 1

La somma degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza è 180º.

Prova

Dato: il quadrilatero ABCD è inscritto in un cerchio. Il suo centro è il punto O. Dobbiamo dimostrare che _<A + _<C=180º e _< B + _<D=180º.

È necessario considerare le cifre presentate.

1. _{<A è inscritto in un cerchio centrato nel punto O. Si misura attraverso ½ BCD (semiarco).}
2. _{<C è inscritto nello stesso cerchio. Si misura attraverso ½ BAD (semiarco).}
3. BAD e BCD formano un cerchio intero, cioè la loro magnitudine è 360º.
4. _<A + _{<C sono uguali alla metà della somma dei semiarchi rappresentati.}
5. Quindi _<LA + _{<C=360º / 2=180º.}

In modo simile, la dimostrazione di _<B e _{<D. Tuttavia, esiste una seconda soluzione al problema.}

1. È noto che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360º.
2. Perché _<LA + _<C=180º. Di conseguenza, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorema 2

(Viene spesso chiamato inverso) Se in un quadrilatero _<A + _<C=180º e _{<B +} <_{D=180º (se sono opposti), allora un cerchio può essere descritto attorno a tale figura.}

Prova

Viene data la somma degli angoli opposti del quadrilatero ABCD pari a 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Dobbiamo dimostrare che un cerchio può essere circoscritto ad ABCD.}

Dal corso di geometria è noto che un cerchio può essere disegnato per 3 punti di un quadrilatero. Ad esempio, puoi utilizzare i punti A, B, C. Dove si troverà il punto D? Ci sono 3 ipotesi:

1. Finisce all'interno del cerchio. In questo caso, D non tocca la linea.
2. Fuori dal cerchio. Lei fa un passo ben oltre la linea tracciata.
3. Risulta su un cerchio.

Si dovrebbe presumere che D sia all'interno del cerchio. Il posto del vertice indicato è occupato da D´. Risulta quadrilatero ABCD´.

Il risultato è:_<B + _<D´=2d.

Se continuiamo AD´ fino all'intersezione con la circonferenza esistente centrata nel punto E e colleghiamo E e C, otteniamo un quadrilatero inscritto ABCE. Dal primo teorema segue l'uguaglianza:

Secondo le leggi della geometria, l'espressione non è valida perché _<D´ è l'angolo esterno del triangolo CD´E. Di conseguenza, dovrebbe essere più di _{<E. Da ciò possiamo concludere che D deve essere o sul cerchio o al di fuori di esso.}

Allo stesso modo, la terza ipotesi può essere smentita quando D´´ va oltre il limite della figura descritta.

Da due ipotesi segue l'unica corretta. Il vertice D si trova sulla linea del cerchio. In altre parole, D coincide con E. Ne consegue che tutti i punti del quadrilatero si trovano sulla retta descritta.

Da questidue teoremi, seguono i corollari:

Qualsiasi rettangolo può essere inscritto in un cerchio. C'è un' altra conseguenza. Un cerchio può essere circoscritto a qualsiasi rettangolo

Il trapezio con fianchi uguali può essere inscritto in un cerchio. In altre parole, suona così: un cerchio può essere descritto attorno a un trapezio con bordi uguali

Diversi esempi

Problema 1. Il quadrilatero ABCD è inscritto in un cerchio. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Devi trovare _{<ABD. La risposta deve essere scritta in gradi.}

Decisione. All'inizio può sembrare difficile trovare la risposta.

1. È necessario ricordare le proprietà di questo argomento. Vale a dire: la somma degli angoli opposti=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

In geometria, è meglio attenersi al principio: trova tutto ciò che puoi. Utile dopo.

2. Passaggio successivo: usa il teorema della somma triangolare.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD e _{<ACD sono inscritti. A condizione, fanno affidamento su un arco. Di conseguenza, hanno valori uguali:}

_<ABD=_<ACD=70º

Risposta: _<ABD=70º.

Problema 2. BCDE è un quadrilatero inscritto in un cerchio. _<B=69º, _<C=84º. Il centro del cerchio è il punto E. Trova - _<E.

Decisione.

1. Necessità di trovare _{<MI secondo il teorema 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Risposta: _{< E=96º.}

Problema 3. Dato un quadrilatero inscritto in un cerchio. I dati sono mostrati in figura. È necessario trovare valori sconosciuti x, y, z.

Soluzione:

z=180º – 93º=87º (dal Teorema 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (dal Teorema 1)

Risposta: z=87º, x=82º, y=98º.

Problema 4. C'è un quadrilatero inscritto in un cerchio. I valori sono mostrati in figura. Trova x, y.

Soluzione:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Risposta: x=100º, y=109º.

Problemi per una soluzione indipendente

Esempio 1. Dato un cerchio. Il suo centro è il punto O. AC e BD sono diametri. _<ACB=38º. Devi trovare _{<AOD. La risposta deve essere data in gradi.}

Esempio 2. Dato un quadrilatero ABCD e un cerchio circoscritto ad esso. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Trova _{<CAD. Scrivi la tua risposta in gradi.}

Esempio 3. Data una circonferenza e un quadrilatero inscritto ABCD. I suoi due angoli sono 82º e58º. Devi trovare il più grande degli angoli rimanenti e scrivere la risposta in gradi.

Esempio 4. Viene fornito il quadrilatero ABCD. Gli angoli A, B, C sono dati nel rapporto 1:2:3. È necessario trovare l'angolo D se il quadrilatero specificato può essere inscritto in una circonferenza. La risposta deve essere data in gradi.

Esempio 5. Viene fornito il quadrilatero ABCD. I suoi lati formano archi del cerchio circoscritto. I valori dei gradi AB, BC, CD e AD, rispettivamente, sono: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Dovresti trovare _{<Dal quadrilatero dato e scrivere la risposta in gradi.}