Molti, di fronte al concetto di "teoria della probabilità", sono spaventati, pensando che si tratti di qualcosa di travolgente, molto complesso. Ma in re altà non è tutto così tragico. Oggi considereremo il concetto di base della teoria della probabilità, impareremo come risolvere i problemi usando esempi specifici.
Scienza
Cosa studia una branca della matematica come la "teoria della probabilità"? Annota modelli di eventi e quantità casuali. Per la prima volta, gli scienziati si interessarono a questo problema nel diciottesimo secolo, quando studiarono il gioco d'azzardo. Il concetto di base della teoria della probabilità è un evento. È qualsiasi fatto che sia accertato dall'esperienza o dall'osservazione. Ma cos'è l'esperienza? Un altro concetto di base della teoria della probabilità. Significa che questa composizione di circostanze non è stata creata per caso, ma per uno scopo specifico. Per quanto riguarda l'osservazione, qui il ricercatore stesso non partecipa all'esperimento, ma è semplicemente un testimone di questi eventi, non influenza in alcun modo ciò che sta accadendo.
Eventi
Abbiamo appreso che il concetto di base della teoria della probabilità è un evento, ma non abbiamo considerato la classificazione. Tutti sono suddivisi nelle seguenti categorie:
- Affidabile.
- Impossibile.
- Casuale.
Non importache tipo di eventi vengono osservati o creati nel corso dell'esperienza, sono tutti soggetti a questa classificazione. Offriamo di conoscere separatamente ciascuna delle specie.
Un certo evento
Questa è una circostanza prima della quale è stata adottata la serie di misure necessarie. Per comprendere meglio l'essenza, è meglio fare alcuni esempi. La fisica, la chimica, l'economia e la matematica superiore sono soggette a questa legge. La teoria della probabilità include un concetto così importante come un certo evento. Ecco alcuni esempi:
- Lavoriamo e riceviamo una retribuzione sotto forma di salari.
- Abbiamo superato bene gli esami, superato il concorso, per questo riceviamo una ricompensa sotto forma di ammissione a un istituto di istruzione.
- Abbiamo investito denaro in banca, lo restituiremo se necessario.
Questi eventi sono affidabili. Se avremo soddisfatto tutte le condizioni necessarie, otterremo sicuramente il risultato atteso.
Eventi impossibili
Ora stiamo considerando elementi di teoria della probabilità. Proponiamo di passare a una spiegazione del prossimo tipo di evento, ovvero l'impossibile. Per prima cosa, specifichiamo la regola più importante: la probabilità di un evento impossibile è zero.
Non puoi deviare da questa formulazione quando risolvi i problemi. Per chiarire, ecco alcuni esempi di tali eventi:
- L'acqua si è congelata a più dieci (è impossibile).
- La mancanza di energia elettrica non pregiudica in alcun modo la produzione (impossibile come nell'esempio precedente).
Altri esempiNon vale la pena citare, poiché quelli sopra descritti riflettono molto chiaramente l'essenza di questa categoria. L'evento impossibile non accadrà mai durante l'esperienza in nessuna circostanza.
Eventi casuali
Studiando gli elementi della teoria della probabilità, si dovrebbe prestare particolare attenzione a questo particolare tipo di evento. Questo è ciò che la scienza sta studiando. Come risultato dell'esperienza, qualcosa può o non può accadere. Inoltre, il test può essere ripetuto un numero illimitato di volte. Esempi vividi sono:
- Lanciare una moneta è un'esperienza, o una prova, l'intestazione è un evento.
- Estrarre alla cieca una palla da un sacco è un test, prendere una palla rossa è un evento e così via.
Ci può essere un numero illimitato di tali esempi, ma, in generale, l'essenza dovrebbe essere chiara. Per riassumere e sistematizzare le conoscenze acquisite sugli eventi, viene fornita una tabella. La teoria della probabilità studia solo l'ultimo tipo di tutti quelli presentati.
| titolo | definizione | esempio |
| Affidabile | Eventi che si verificano con una garanzia del 100% in determinate condizioni. | Ammissione a un istituto di istruzione con un buon esame di ammissione. |
| Impossibile | Eventi che non accadranno mai in nessuna circostanza. | Nevica a una temperatura di oltre trenta gradi Celsius. |
| Casuale | Un evento che potrebbe verificarsi o meno durante un esperimento/test. | Colpisci o fallisci quando lanci un pallone da basket nel canestro. |
Leggi
La teoria della probabilità è una scienza che studia la possibilità che si verifichi un evento. Come gli altri, ha delle regole. Esistono le seguenti leggi della teoria della probabilità:
- Convergenza di sequenze di variabili casuali.
- La legge dei grandi numeri.
Quando calcoli la possibilità di un complesso, puoi utilizzare un complesso di eventi semplici per ottenere il risultato in un modo più semplice e veloce. Si noti che le leggi della teoria della probabilità sono facilmente dimostrabili con l'aiuto di alcuni teoremi. Cominciamo con la prima legge.
Convergenza di sequenze di variabili casuali
Nota che ci sono diversi tipi di convergenza:
- La sequenza di variabili casuali converge in probabilità.
- Quasi impossibile.
- Convergenza RMS.
- Convergenza nella distribuzione.
Quindi, al volo, è molto difficile andare fino in fondo. Ecco alcune definizioni per aiutarti a capire questo argomento. Iniziamo con il primo sguardo. Una successione si dice convergente in probabilità se è soddisfatta la seguente condizione: n tende all'infinito, il numero a cui tende la successione è maggiore di zero e prossimo a uno.
Vado alla vista successiva, quasi sicuramente. Dicono chela successione converge quasi sicuramente ad una variabile casuale con n tendente all'infinito e P tendente ad un valore prossimo a uno.
Il prossimo tipo è la convergenza radice-quadrato medio. Quando si utilizza la convergenza SC, lo studio dei processi casuali vettoriali è ridotto allo studio dei loro processi casuali coordinati.
L'ultimo tipo rimane, diamo una breve occhiata per procedere direttamente alla risoluzione dei problemi. La convergenza della distribuzione ha un altro nome: "debole", spiegheremo il motivo di seguito. La convergenza debole è la convergenza delle funzioni di distribuzione in tutti i punti di continuità della funzione di distribuzione limite.
Assicurati di mantenere la promessa: la convergenza debole differisce da tutto quanto sopra in quanto la variabile casuale non è definita nello spazio delle probabilità. Ciò è possibile perché la condizione si forma esclusivamente utilizzando le funzioni di distribuzione.
Legge dei grandi numeri
Eccellenti aiutanti nel dimostrare questa legge saranno teoremi della teoria della probabilità, come:
- Disuguaglianza di Chebyshev.
- Teorema di Chebyshev.
- Teorema di Chebyshev generalizzato.
- Teorema di Markov.
Se consideriamo tutti questi teoremi, allora questa domanda potrebbe protrarsi per diverse dozzine di fogli. Il nostro compito principale è applicare la teoria della probabilità nella pratica. Ti invitiamo a farlo subito. Ma prima, consideriamo gli assiomi della teoria della probabilità, saranno i principali assistenti nella risoluzione dei problemi.
Assiomi
Abbiamo già incontrato il primo quando abbiamo parlato dell'evento impossibile. Ricordiamoci: la probabilità di un evento impossibile è zero. Abbiamo fornito un esempio molto vivido e memorabile: ha nevicato a una temperatura dell'aria di trenta gradi Celsius.
Il secondo suona così: si verifica un evento affidabile con una probabilità pari a uno. Ora mostriamo come scriverlo usando il linguaggio matematico: P(B)=1.
Terzo: un evento casuale può verificarsi o meno, ma la possibilità varia sempre da zero a uno. Più il valore è vicino a uno, maggiore è la possibilità; se il valore si avvicina a zero, la probabilità è molto bassa. Scriviamolo in linguaggio matematico: 0<Р(С)<1.
Consideriamo l'ultimo, quarto assioma, che suona così: la probabilità della somma di due eventi è uguale alla somma delle loro probabilità. Scriviamo in linguaggio matematico: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Gli assiomi della teoria della probabilità sono le regole più semplici facili da ricordare. Proviamo a risolvere alcuni problemi, sulla base delle conoscenze già acquisite.
Biglietto della lotteria
In primo luogo, considera l'esempio più semplice: la lotteria. Immagina di aver acquistato un biglietto della lotteria per buona fortuna. Qual è la probabilità di vincere almeno venti rubli? In totale partecipano alla circolazione un migliaio di biglietti, uno dei quali ha un premio di cinquecento rubli, dieci di cento rubli, cinquanta di venti rubli e cento di cinque. I problemi nella teoria della probabilità si basano sulla ricerca della possibilitàin bocca al lupo. Ora analizzeremo insieme la soluzione del compito sopra presentato.
Se indichiamo con la lettera A una vincita di cinquecento rubli, la probabilità di ottenere A sarà 0,001. Come l'abbiamo ottenuta? Devi solo dividere il numero dei biglietti "fortunati" per il loro numero totale (in questo caso: 1/1000).
B è una vincita di cento rubli, la probabilità sarà 0,01. Ora abbiamo agito secondo lo stesso principio dell'azione precedente (10/1000)
C - la vincita è pari a venti rubli. Trova la probabilità, è uguale a 0,05.
Il resto dei biglietti non ci interessa, poiché il loro montepremi è inferiore a quello specificato nella condizione. Applichiamo il quarto assioma: la probabilità di vincere almeno venti rubli è P(A)+P(B)+P(C). La lettera P indica la probabilità del verificarsi di questo evento, le abbiamo già trovate nei passaggi precedenti. Resta solo da aggiungere i dati necessari, nella risposta otteniamo 0, 061. Questo numero sarà la risposta alla domanda dell'incarico.
Mazzo di carte
I problemi di teoria della probabilità possono essere più complessi, ad esempio, prendi il seguente compito. Davanti a te c'è un mazzo di trentasei carte. Il tuo compito è pescare due carte di seguito senza mescolare il mazzo, la prima e la seconda carta devono essere degli assi, il seme non ha importanza.
In primo luogo, troviamo la probabilità che la prima carta sia un asso, per questo dividiamo quattro per trentasei. Lo hanno messo da parte. Tiriamo fuori la seconda carta, sarà un asso con una probabilità di tre trentacinque. La probabilità del secondo evento dipende da quale carta abbiamo pescato per prima, a cui siamo interessatiera un asso o no. Ne consegue che l'evento B dipende dall'evento A.
Il prossimo passo è trovare la probabilità di implementazione simultanea, cioè moltiplichiamo A e B. Il loro prodotto si trova come segue: la probabilità di un evento viene moltiplicata per la probabilità condizionata di un altro, che calcoliamo, supponendo che si sia verificato il primo evento, cioè con la prima carta abbiamo pescato un asso.
Per chiarire tutto, diamo una designazione a un elemento come la probabilità condizionata di un evento. Si calcola supponendo che si sia verificato l'evento A. Calcolato come segue: P(B/A).
Continua a risolvere il nostro problema: P(AB)=P(A)P(B/A) o P (AB)=P(B)P(A/B). La probabilità è (4/36)((3/35)/(4/36). Calcola arrotondando ai centesimi. Abbiamo: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. La probabilità di estrarre due assi di seguito è di nove centesimi Il valore è molto piccolo, ne consegue che la probabilità che si verifichi l'evento è estremamente piccola.
Numero dimenticato
Proponiamo di analizzare alcune opzioni in più per i compiti che sono studiati dalla teoria della probabilità. Hai già visto esempi di risoluzione di alcuni di loro in questo articolo, proviamo a risolvere il seguente problema: il ragazzo ha dimenticato l'ultima cifra del numero di telefono dell'amico, ma poiché la chiamata era molto importante, ha iniziato a comporre tutto a turno. Dobbiamo calcolare la probabilità che chiamerà non più di tre volte. La soluzione del problema è la più semplice se si conoscono le regole, le leggi e gli assiomi della teoria della probabilità.
Prima di guardaresoluzione, prova a risolverla da solo. Sappiamo che l'ultima cifra può essere da zero a nove, cioè ci sono dieci valori in totale. La probabilità di ottenere quello giusto è 1/10.
Successivamente, dobbiamo considerare le opzioni per l'origine dell'evento, supponiamo che il ragazzo abbia indovinato e segnato immediatamente quello giusto, la probabilità che un tale evento sia 1/10. La seconda opzione: la prima chiamata è sbagliata e la seconda è in porta. Calcoliamo la probabilità di un tale evento: moltiplichiamo 9/10 per 1/9, di conseguenza otteniamo anche 1/10. La terza opzione: la prima e la seconda chiamata si sono rivelate all'indirizzo sbagliato, solo dalla terza il ragazzo è arrivato dove voleva. Calcoliamo la probabilità di un tale evento: moltiplichiamo 9/10 per 8/9 e per 1/8, otteniamo 1/10 come risultato. In base alle condizioni del problema, non siamo interessati ad altre opzioni, quindi resta a noi fare la somma dei risultati, di conseguenza abbiamo 3/10. Risposta: La probabilità che il ragazzo chiami non più di tre volte è 0,3.
Carte con numeri
Ci sono nove carte davanti a te, su ognuna delle quali è scritto un numero da uno a nove, i numeri non vengono ripetuti. Sono stati posti in una scatola e mescolati accuratamente. Devi calcolare la probabilità che
- verrà fuori un numero pari;
- due cifre.
Prima di procedere alla soluzione, stabiliamo che m è il numero di casi riusciti e n è il numero totale di opzioni. Trova la probabilità che il numero sia pari. Non sarà difficile calcolare che ci sono quattro numeri pari, questo sarà il nostro m, ci sono nove opzioni in totale, cioè m=9. Poi la probabilitàè uguale a 0, 44 o 4/9.
Considera il secondo caso: il numero di opzioni è nove e non possono esserci risultati positivi, cioè m è uguale a zero. Anche la probabilità che la carta estratta contenga un numero a due cifre è zero.
