È improbabile che molte persone pensino se sia possibile calcolare eventi più o meno casuali. In parole povere, è realistico sapere quale lato del dado dei dadi cadrà dopo. È stata questa domanda che si sono posti due grandi scienziati, che hanno gettato le basi per una scienza come la teoria della probabilità, in cui la probabilità di un evento è studiata in modo abbastanza approfondito.
Origine
Se provi a definire un concetto come teoria della probabilità, ottieni quanto segue: questo è uno dei rami della matematica che studia la costanza degli eventi casuali. Naturalmente, questo concetto non rivela l'intera essenza, quindi è necessario considerarlo in modo più dettagliato.
Vorrei iniziare con i creatori della teoria. Come accennato in precedenza, ce n'erano due, questi sono Pierre Fermat e Blaise Pascal. Furono loro i primi a tentare di calcolare l'esito di un evento usando formule e calcoli matematici. Nel complesso, i primi rudimenti di questa scienza sono apparsi giàMedioevo. A quel tempo, vari pensatori e scienziati hanno cercato di analizzare il gioco d'azzardo, come roulette, dadi e così via, stabilendo così uno schema e una percentuale di un determinato numero che cadeva. Le fondamenta furono gettate nel diciassettesimo secolo dai suddetti scienziati.
All'inizio, il loro lavoro non poteva essere attribuito ai grandi successi in questo campo, perché tutto ciò che facevano erano semplicemente fatti empirici e gli esperimenti erano ambientati visivamente, senza l'uso di formule. Nel tempo, si è rivelato ottenere ottimi risultati, che sono apparsi come risultato dell'osservazione del lancio dei dadi. È stato questo strumento che ha aiutato a ricavare le prime formule intelligibili.
Associati
È impossibile non citare una persona come Christian Huygens, in procinto di studiare un argomento chiamato "teoria della probabilità" (la probabilità di un evento è trattata proprio in questa scienza). Questa persona è molto interessante. Lui, come gli scienziati presentati sopra, ha cercato di derivare la regolarità di eventi casuali sotto forma di formule matematiche. È interessante notare che non lo fece insieme a Pascal e Fermat, cioè tutte le sue opere non si intersecavano in alcun modo con queste menti. Huygens ha derivato i concetti di base della teoria della probabilità.
Un fatto interessante è che il suo lavoro è uscito molto prima dei risultati del lavoro dei pionieri, o meglio, vent'anni prima. Tra i concetti designati, i più famosi sono:
- il concetto di probabilità come grandezza del caso;
- aspettativa per il discretocasi;
- teoremi di moltiplicazione e addizione di probabilità.
Impossibile non ricordare anche Jacob Bernoulli, che ha dato anche un contributo significativo allo studio del problema. Conducendo le proprie prove, indipendentemente da chiunque, riuscì a presentare una prova della legge dei grandi numeri. A loro volta, gli scienziati Poisson e Laplace, che lavorarono all'inizio del diciannovesimo secolo, furono in grado di dimostrare i teoremi originali. Fu da questo momento che la teoria della probabilità iniziò ad essere utilizzata per analizzare gli errori nel corso delle osservazioni. Anche gli scienziati russi, o meglio Markov, Chebyshev e Dyapunov, non potevano aggirare questa scienza. Basandosi sul lavoro svolto dai grandi geni, hanno fissato questa materia come una branca della matematica. Queste figure funzionavano già alla fine dell'ottocento, e grazie al loro contributo, fenomeni quali:
- legge dei grandi numeri;
- Teoria della catena di Markov;
- teorema del limite centrale.
Quindi, con la storia della nascita della scienza e con i principali personaggi che l'hanno influenzata, tutto è più o meno chiaro. Ora è il momento di concretizzare tutti i fatti.
Concetti di base
Prima di toccare leggi e teoremi, vale la pena studiare i concetti base della teoria della probabilità. L'evento ha un ruolo da protagonista. Questo argomento è abbastanza voluminoso, ma senza di esso non sarà possibile capire tutto il resto.
Un evento nella teoria della probabilità è qualsiasi insieme di risultati di un esperimento. Non ci sono così tanti concetti di questo fenomeno. Allora, scienziato Lotman,lavorando in quest'area, ha detto che in questo caso si tratta di qualcosa che "è successo, anche se potrebbe non essere accaduto".
Gli eventi casuali (la teoria della probabilità vi presta particolare attenzione) è un concetto che implica assolutamente qualsiasi fenomeno che ha la capacità di verificarsi. O, al contrario, questo scenario potrebbe non verificarsi quando vengono soddisfatte molte condizioni. Vale anche la pena sapere che sono gli eventi casuali a catturare l'intero volume dei fenomeni che si sono verificati. La teoria della probabilità indica che tutte le condizioni possono essere ripetute costantemente. Era la loro condotta che veniva chiamata "esperienza" o "prova".
Un certo evento è un evento che si verificherà al 100% in un determinato test. Di conseguenza, un evento impossibile è un evento che non accadrà.
La combinazione di una coppia di azioni (convenzionalmente caso A e caso B) è un fenomeno che si verifica simultaneamente. Sono designati come AB.
La somma delle coppie di eventi A e B è C, in altre parole, se si verifica almeno uno di essi (A o B), si otterrà C. La formula del fenomeno descritto è scritta come segue: C=LA + SI.
Eventi disgiunti nella teoria della probabilità implicano che due casi si escludono a vicenda. Non possono mai accadere allo stesso tempo. Gli eventi congiunti nella teoria della probabilità sono i loro antipodi. Ciò implica che se A è successo, allora non interferisce con B.
Gli eventi opposti (la teoria della probabilità li tratta in modo molto dettagliato) sono facili da capire. È meglio affrontarli in confronto. Sono quasi uguali aed eventi incompatibili nella teoria della probabilità. Ma la loro differenza sta nel fatto che uno dei tanti fenomeni deve accadere comunque.
Eventi equivalenti sono quelle azioni la cui possibilità è uguale. Per chiarire meglio, possiamo immaginare il lancio di una moneta: la caduta di una delle sue facce è altrettanto probabile che la caduta dell' altra.
L'evento di buon auspicio è più facile da vedere con un esempio. Diciamo che c'è l'episodio B e l'episodio A. Il primo è il lancio dei dadi con l'aspetto di un numero dispari, e il secondo è l'apparizione del numero cinque sul dado. Poi si scopre che A favorisce B.
Gli eventi indipendenti nella teoria della probabilità sono proiettati solo su due o più casi e implicano l'indipendenza di qualsiasi azione da un altro. Ad esempio, A è la croce persa quando viene lanciata una moneta e B è l'estrazione di un jack dal mazzo. Sono eventi indipendenti nella teoria della probabilità. In questo momento è diventato più chiaro.
Anche gli eventi dipendenti nella teoria della probabilità sono ammissibili solo per il loro insieme. Implicano la dipendenza dell'uno dall' altro, cioè il fenomeno B può verificarsi solo se A è già avvenuto o, al contrario, non è avvenuto, quando questa è la condizione principale per B.
Il risultato di un esperimento casuale costituito da un componente sono eventi elementari. La teoria della probabilità spiega che questo è un fenomeno accaduto solo una volta.
Formule di base
Quindi, i concetti di "evento", "teoria della probabilità",è stata data anche la definizione dei termini fondamentali di questa scienza. Ora è il momento di familiarizzare direttamente con le formule importanti. Queste espressioni confermano matematicamente tutti i concetti principali in un argomento così difficile come la teoria della probabilità. Anche qui la probabilità di un evento gioca un ruolo enorme.
Meglio iniziare con le formule di base della combinatoria. E prima di procedere con loro, vale la pena considerare di cosa si tratta.
La Combinatoria è principalmente una branca della matematica, si occupa dello studio di un numero enorme di numeri interi, nonché di varie permutazioni sia dei numeri stessi che dei loro elementi, vari dati, ecc., portando alla comparsa di un certo numero di combinazioni. Oltre alla teoria della probabilità, questo ramo è importante per la statistica, l'informatica e la crittografia.
Quindi ora possiamo passare alla presentazione delle formule stesse e alla loro definizione.
La prima sarà l'espressione per il numero di permutazioni, assomiglia a questa:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
L'equazione si applica solo se gli elementi differiscono solo nell'ordine.
Ora verrà presa in considerazione la formula del posizionamento, che si presenta così:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Questa espressione si applica non solo all'ordine dell'elemento, ma anche alla sua composizione.
La terza equazione della combinatoria, ed è anche l'ultima, è chiamata formula per il numero di combinazioni:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Le combinazioni sono selezioni che non sono ordinate, rispettivamente, e questa regola si applica ad esse.
Si è rivelato facile capire le formule della combinatoria, ora possiamo passare alla definizione classica di probabilità. Questa espressione si presenta così:
P(A)=m: n.
In questa formula, m è il numero di condizioni favorevoli all'evento A, e n è il numero di risultati assolutamente elementari ed ugualmente possibili.
Ci sono un gran numero di espressioni, l'articolo non le tratterà tutte, ma verranno toccate le più importanti, come ad esempio la probabilità della somma degli eventi:
P(A + B)=P(A) + P(B) - questo teorema serve ad aggiungere solo eventi incompatibili;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - e questo serve per aggiungere solo quelli compatibili.
Probabilità di produzione di eventi:
P(LA ⋅B)=P(A) ⋅P(B) – questo teorema è per eventi indipendenti;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - e questo è per tossicodipendenti.
La formula dell'evento chiude la lista. La teoria della probabilità ci parla del teorema di Bayes, che assomiglia a questo:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
In questa formula, H1, H2, …, H è il gruppo completo di ipotesi.
Fermiamoci qui, quindi verranno presi in considerazione esempi di applicazione di formule per risolvere problemi specifici della pratica.
Esempi
Se studi attentamente una sezionematematica, non fa a meno di esercizi e soluzioni campione. Così è la teoria della probabilità: gli eventi, gli esempi qui sono una componente integrale che conferma i calcoli scientifici.
Formula per il numero di permutazioni
Diciamo che ci sono trenta carte in un mazzo di carte, a cominciare dal valore nominale uno. Prossima domanda. In quanti modi ci sono per impilare il mazzo in modo che le carte con un valore nominale di uno e due non siano una accanto all' altra?
Il compito è stato impostato, ora passiamo a risolverlo. Per prima cosa devi determinare il numero di permutazioni di trenta elementi, per questo prendiamo la formula sopra, risulta P_30=30!.
In base a questa regola, scopriremo quante opzioni ci sono per foldare il mazzo in modi diversi, ma dobbiamo sottrarre da esse quelle in cui la prima e la seconda carta sono le successive. Per fare ciò, iniziamo con l'opzione quando la prima è sopra la seconda. Si scopre che la prima carta può prendere ventinove posti - dalla prima al ventinovesimo, e la seconda carta dalla seconda al trentesimo, risulta ventinove posti per una coppia di carte. A sua volta, il resto può prendere ventotto posti, e in qualsiasi ordine. Cioè, per una permutazione di ventotto carte, ci sono ventotto opzioni P_28=28!
Di conseguenza, si scopre che se consideriamo la soluzione quando la prima carta è sopra la seconda, ci sono 29 ⋅ 28 possibilità extra!=29!
Usando lo stesso metodo, devi calcolare il numero di opzioni ridondanti per il caso quando la prima carta è sotto la seconda. Risulta anche 29 ⋅ 28!=29!
Ne consegue che ci sono 2 ⋅ 29 opzioni extra!, mentre ci sono 30 modi necessari per costruire un mazzo! - 2 ⋅ 29!. Resta solo da contare.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Ora devi moltiplicare insieme tutti i numeri da uno a ventinove, e poi alla fine moltiplicare tutto per 28. La risposta è 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Soluzione dell'esempio. Formula per il numero di collocamento
In questo problema, devi scoprire in quanti modi ci sono per mettere quindici volumi su uno scaffale, ma a condizione che ci siano trenta volumi in totale.
Questo problema ha una soluzione leggermente più semplice del precedente. Utilizzando la formula già nota, è necessario calcolare il numero totale di locazioni da trenta volumi di quindici.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000
La risposta, rispettivamente, sarà 202 843 204 931 727 360 000.
Ora prendiamo il compito un po' più difficile. Devi scoprire in quanti modi ci sono per disporre trenta libri su due scaffali, a condizione che solo quindici volumi possano essere su uno scaffale.
Prima di iniziare la soluzione, vorrei chiarire che alcuni problemi vengono risolti in diversi modi, quindi ci sono due modi in questo, ma in entrambi viene utilizzata la stessa formula.
In questo problema, puoi prendere la risposta dal precedente, perché lì abbiamo calcolato quante volte puoi riempire uno scaffale con quindici libri per-diversamente. Risultò A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Calcoleremo il secondo ripiano usando la formula di permutazione, perché in esso sono inseriti quindici libri, mentre ne rimangono solo quindici. Usa la formula P_15=15!.
Risulta che il totale sarà A_30^15 ⋅ P_15 modi, ma, inoltre, il prodotto di tutti i numeri da trenta a sedici dovrà essere moltiplicato per il prodotto di numeri da uno a quindici, poiché un risultato, il prodotto di tutti i numeri da uno a trenta, quindi la risposta è 30!
Ma questo problema può essere risolto in un modo diverso, più facile. Per fare questo, puoi immaginare che ci sia uno scaffale per trenta libri. Tutti sono posizionati su questo piano, ma poiché la condizione richiede che ci siano due ripiani, ne tagliamo uno lungo a metà, ne risulta due quindici ciascuno. Da ciò risulta che le opzioni di posizionamento possono essere P_30=30!.
Soluzione dell'esempio. Formula per la combinazione numero
Ora considereremo una variante del terzo problema dalla combinatoria. Devi scoprire quanti modi ci sono per sistemare quindici libri, a patto che tu debba sceglierne trenta assolutamente identici.
Per la soluzione, ovviamente, verrà applicata la formula per il numero di combinazioni. Dalla condizione diventa chiaro che l'ordine dei quindici libri identici non è importante. Pertanto, inizialmente devi scoprire il numero totale di combinazioni di trenta libri di quindici.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: quindici !=155 117 520
Ecco fatto. Utilizzando questa formula, nel più breve tempo possibile è stato possibilerisolvere un tale problema, la risposta, rispettivamente, è 155 117 520.
Soluzione dell'esempio. La classica definizione di probabilità
Con la formula sopra, puoi trovare la risposta a un semplice problema. Ma aiuterà a vedere visivamente e seguire il corso delle azioni.
Nel problema viene indicato che ci sono dieci palline assolutamente identiche nell'urna. Di questi, quattro sono gialli e sei blu. Una palla viene presa dall'urna. Devi scoprire la probabilità di diventare blu.
Per risolvere il problema, è necessario designare l'acquisizione della palla blu come evento A. Questa esperienza può avere dieci esiti, che, a loro volta, sono elementari e ugualmente probabili. Allo stesso tempo, su dieci, sei sono favorevoli all'evento A. Risolviamo secondo la formula:
P(LA)=6: 10=0, 6
Applicando questa formula, abbiamo scoperto che la probabilità di ottenere la pallina blu è 0,6.
Soluzione dell'esempio. Probabilità della somma degli eventi
Ora verrà presentata una variante, che viene risolta utilizzando la formula per la probabilità della somma degli eventi. Quindi, a condizione che ci siano due scatole, la prima contiene una palla grigia e cinque bianche, e la seconda contiene otto palline grigie e quattro bianche. Di conseguenza, uno di loro è stato prelevato dalla prima e dalla seconda casella. Devi scoprire qual è la possibilità che le palline che ottieni siano grigie e bianche.
Per risolvere questo problema, devi etichettare gli eventi.
- Quindi, A - prendi una palla grigia dalla prima casella: P(A)=1/6.
- A' – prendi una palla bianca anche dalla prima casella: P(A')=5/6.
- B – la pallina grigia è già stata estratta dalla seconda casella: P(B)=2/3.
- B' – prendi una palla grigia dalla seconda casella: P(B')=1/3.
A seconda della condizione del problema, deve verificarsi uno dei fenomeni: AB' o A'B. Usando la formula, otteniamo: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Ora è stata utilizzata la formula della moltiplicazione delle probabilità. Quindi, per scoprire la risposta, devi applicare l'equazione per la loro aggiunta:
P=P(AB' + LA'B)=P(AB') + P(LA'B)=11/18.
Ecco come, usando la formula, puoi risolvere problemi simili.
Risultato
L'articolo fornisce informazioni sull'argomento "Teoria della probabilità", in cui la probabilità di un evento gioca un ruolo cruciale. Naturalmente, non tutto è stato preso in considerazione, ma, sulla base del testo presentato, si può teoricamente familiarizzare con questa sezione della matematica. La scienza in questione può essere utile non solo nel lavoro professionale, ma anche nella vita di tutti i giorni. Con il suo aiuto, puoi calcolare qualsiasi possibilità di qualsiasi evento.
Il testo ha anche toccato date significative nella storia della formazione della teoria della probabilità come scienza, e i nomi delle persone le cui opere sono state investite in essa. È così che la curiosità umana ha portato al fatto che le persone hanno imparato a calcolare anche eventi casuali. Una volta erano solo interessati a questo, ma oggi lo sanno già tutti. E nessuno dirà cosa ci attende in futuro, quali altre brillanti scoperte legate alla teoria in esame verranno fatte. Ma una cosa è certa: la ricerca non si ferma!
