Lo studio delle proprietà dello stato aggregato gassoso della materia è una delle aree importanti della fisica moderna. Considerando i gas su scala microscopica, si possono ottenere tutti i parametri macroscopici del sistema. Questo articolo rivelerà un'importante questione della teoria cinetica molecolare dei gas: qual è la distribuzione Maxwell delle molecole in termini di velocità.
Sfondo storico
L'idea del gas come sistema di microscopiche particelle in movimento ebbe origine nell'antica Grecia. Ci sono voluti più di 1700 anni perché la scienza lo sviluppasse.
Il fondatore della moderna teoria cinetica molecolare (MKT) del gas è giusto considerare Daniil Bernoulli. Nel 1738 pubblicò un'opera intitolata "Idrodinamica". In esso, Bernoulli ha delineato le idee dell'MKT che sono state utilizzate fino ad oggi. Quindi, lo scienziato credeva che i gas fossero composti da particelle che si muovono casualmente in tutte le direzioni. Numerose collisionile particelle con pareti del vaso sono percepite come presenza di pressione nei gas. Le velocità delle particelle sono strettamente correlate alla temperatura del sistema. La comunità scientifica non accettò le audaci idee di Bernoulli perché la legge di conservazione dell'energia non era ancora stata stabilita.
Successivamente, molti scienziati sono stati impegnati nella costruzione di un modello cinetico dei gas. Tra questi va segnalato Rudolf Clausius, che nel 1857 realizzò un semplice modello a gas. In esso, lo scienziato ha prestato particolare attenzione alla presenza di gradi di libertà traslazionali, rotazionali e vibrazionali nelle molecole.
Nel 1859, studiando il lavoro di Clausius, James Maxwell formulò la cosiddetta distribuzione di Maxwell sulle velocità molecolari. In effetti, Maxwell confermò le idee dell'MKT, supportandole con un apparato matematico. Successivamente Ludwig Boltzmann (1871) ha generalizzato le conclusioni della distribuzione di Maxwell. Ha postulato una distribuzione statistica più generale delle molecole su velocità ed energie. Attualmente è conosciuta come distribuzione Maxwell-Boltzmann.
Gas ideale. Postulati di base dell'ILC
Per capire cos'è la funzione di distribuzione Maxwell, è necessario comprendere chiaramente i sistemi per i quali questa funzione è applicabile. Stiamo parlando di un gas ideale. In fisica, questo concetto è inteso come una sostanza fluida, che consiste di particelle praticamente adimensionali che non hanno energia potenziale. Queste particelle si muovono ad alta velocità, quindi il loro comportamento è completamente determinato dall'energia cinetica. Inoltre, le distanze tra le particelle sono troppo grandi perrispetto alle loro dimensioni, quindi queste ultime sono trascurate.
I gas ideali sono descritti nell'MKT. I suoi principali postulati sono i seguenti:
- Gli impianti a gas sono costituiti da un numero enorme di particelle libere;
- Le particelle si muovono casualmente a velocità diverse in direzioni diverse lungo traiettorie diritte;
- le particelle collidono elasticamente con le pareti dei vasi (la probabilità che le particelle entrino in collisione tra loro è bassa a causa delle loro piccole dimensioni);
- La temperatura del sistema è determinata unicamente dall'energia cinetica media delle particelle, che viene preservata nel tempo se nel sistema viene stabilito l'equilibrio termodinamico.
Legge di distribuzione di Maxwell
Se una persona avesse uno strumento con cui è possibile misurare la velocità di una singola molecola di gas, allora, dopo aver condotto un esperimento appropriato, ne rimarrebbe sorpresa. L'esperimento mostrerebbe che ogni molecola di qualsiasi sistema gassoso si muove a una velocità del tutto arbitraria. In questo caso, nell'ambito di un sistema in equilibrio termico con l'ambiente, verrebbero rilevate sia molecole molto lente che molto veloci.
La legge di Maxwell sulla distribuzione della velocità delle molecole di gas è uno strumento che consente di determinare la probabilità di rilevare particelle con una data velocità v nel sistema in esame. La funzione corrispondente si presenta così:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
In questa espressione, m -massa della particella (molecola), k - costante di Boltzmann, T - temperatura assoluta. Quindi, se la natura chimica delle particelle (il valore di m) è nota, allora la funzione f(v) è determinata unicamente dalla temperatura assoluta. La funzione f(v) è chiamata densità di probabilità. Se ne prendiamo l'integrale per qualche limite di velocità (v; v+dv), allora otteniamo il numero di particelle Ni, che hanno velocità nell'intervallo specificato. Di conseguenza, se prendiamo l'integrale della densità di probabilità f(v) per i limiti di velocità da 0 a ∞, otteniamo il numero totale di molecole N nel sistema.
Rappresentazione grafica della densità di probabilità f(v)
La funzione di densità di probabilità ha una forma matematica alquanto complessa, quindi non è facile rappresentarne il comportamento a una data temperatura. Questo problema può essere risolto se lo rappresenti su un grafico bidimensionale. Una vista schematica del grafico di distribuzione Maxwell è mostrata sotto nella figura.
Vediamo che parte da zero, poiché la velocità v delle molecole non può avere valori negativi. Il grafico termina da qualche parte nella regione delle alte velocità, scendendo dolcemente a zero (f(∞)->0). Colpisce anche la seguente caratteristica: la curva morbida è asimmetrica, diminuisce più nettamente per le basse velocità.
Una caratteristica importante del comportamento della funzione di densità di probabilità f(v) è la presenza di un massimo pronunciato su di essa. Secondo il significato fisico della funzione, questo massimo corrisponde al valore più probabile delle velocità delle molecole nel gassistema.
Velocità importanti per la funzione f(v)
La funzione di densità di probabilità f(v) e la sua rappresentazione grafica ci permettono di definire tre importanti tipi di velocità.
Il primo tipo di velocità che è ovvio e che è stato menzionato sopra è la velocità più probabile v1. Sul grafico, il suo valore corrisponde al massimo della funzione f(v). È questa velocità e valori vicini ad essa che avranno la maggior parte delle particelle del sistema. Non è difficile calcolarlo, per questo è sufficiente prendere la derivata prima rispetto alla velocità della funzione f(v) ed eguagliarla a zero. Come risultato di queste operazioni matematiche, otteniamo il risultato finale:
v1=√(2RT/M).
Qui R è la costante universale del gas, M è la massa molare delle molecole.
Il secondo tipo di velocità è il suo valore medio per tutte le N particelle. Indichiamolo con v2. Può essere calcolato integrando la funzione vf(v) su tutte le velocità. Il risultato della nota integrazione sarà la seguente formula:
v2=√(8RT/(piM)).
Poiché il rapporto è 8/pi>2, la velocità media è sempre leggermente superiore a quella più probabile.
Ogni persona che conosce un po' di fisica comprende che la velocità media v2 di molecole deve essere di grande importanza in un sistema a gas. Tuttavia, questa è un'ipotesi errata. Molto più importante è la velocità RMS. Indichiamolov3.
Secondo la definizione, la velocità quadratica media è la somma dei quadrati delle velocità individuali di tutte le particelle, divisa per il numero di queste particelle, e presa come radice quadrata. Può essere calcolato per la distribuzione di Maxwell se definiamo l'integrale su tutte le velocità della funzione v2f(v). La formula per la velocità quadratica media assumerà la forma:
v3=√(3RT/M).
L'uguaglianza mostra che questa velocità è maggiore di v2 e v1 per qualsiasi sistema a gas.
Quindi, tutti i tipi di velocità considerati sul grafico di distribuzione di Maxwell giacciono sull'estremo o alla sua destra.
Importanza di v3
È stato notato sopra che la velocità quadratica media è più importante per comprendere i processi fisici e le proprietà di un sistema di gas rispetto alla semplice velocità media v2. Questo è vero, poiché l'energia cinetica di un gas ideale dipende proprio da v3, e non da v2.
Se consideriamo un gas ideale monoatomico, allora vale la seguente espressione:
mv32/2=3/2kT.
Qui, ogni parte dell'equazione rappresenta l'energia cinetica di una particella di massa m. Perché l'espressione contiene esattamente il valore v3 e non la velocità media v2? Molto semplice: quando si determina l'energia cinetica di ciascuna particella, la sua velocità individuale v è al quadrato, quindi tutte le velocitàvengono sommati e divisi per il numero di particelle N. Cioè la procedura per determinare l'energia cinetica stessa porta al valore della velocità quadratica media.
Dipendenza della funzione f(v) dalla temperatura
Abbiamo stabilito in precedenza che la densità di probabilità delle velocità molecolari dipende unicamente dalla temperatura. Come cambierà la funzione se T viene aumentato o diminuito? La tabella seguente aiuterà a rispondere a questa domanda.
Si può notare che il riscaldamento del sistema chiuso porta alla sbavatura del picco e al suo spostamento verso velocità più elevate. Un aumento della temperatura porta ad un aumento di tutti i tipi di velocità e ad una diminuzione della densità di probabilità di ciascuno di essi. Il valore di picco diminuisce a causa della conservazione del numero di particelle N in un sistema chiuso.
In seguito, risolveremo un paio di problemi per consolidare il materiale teorico ricevuto.
Problemi con le molecole di azoto nell'aria
È necessario calcolare le velocità v1, v2 e v3 per azoto atmosferico a temperatura di 300 K (circa 27 oC).
La massa molare dell'azoto N2 è 28 g/mol. Usando le formule sopra, otteniamo:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problema con il serbatoio dell'ossigeno
L'ossigeno nel cilindro era a una certa temperatura T1. Quindi il pallone è stato posizionato in una stanza più fredda. Come cambierà il diagramma di distribuzione della velocità di Maxwell per le molecole di ossigeno quando il sistema raggiunge l'equilibrio termodinamico?
Ricordando la teoria, possiamo rispondere alla domanda del problema in questo modo: i valori di tutti i tipi di velocità delle molecole diminuiranno, il picco della funzione f(v) si sposterà a sinistra, diventa più stretto e più alto.
