Tra tutte le leggi della teoria della probabilità, la legge della distribuzione normale ricorre più spesso, anche più spesso di quella uniforme. Forse questo fenomeno ha una natura fondamentale profonda. Dopotutto, questo tipo di distribuzione si osserva anche quando diversi fattori partecipano alla rappresentazione di un intervallo di variabili casuali, ognuna delle quali influisce a suo modo. La distribuzione normale (o gaussiana) in questo caso si ottiene sommando diverse distribuzioni. È a causa dell'ampia distribuzione che la legge sulla distribuzione normale ha preso il nome.
Ogni volta che si parla di una media, che si tratti di precipitazioni mensili, reddito pro capite o rendimento di classe, per calcolarne il valore viene solitamente utilizzata la distribuzione normale. Questo valore medio è chiamato aspettativa matematica e corrisponde al massimo sul grafico (di solito indicato come M). Con una corretta distribuzione, la curva è simmetrica rispetto al massimo, ma in re altà non è sempre così, e questoconsentito.
Per descrivere la normale legge di distribuzione di una variabile casuale, è anche necessario conoscere la deviazione standard (indicata con σ - sigma). Imposta la forma della curva sul grafico. Maggiore è σ, più piatta sarà la curva. D' altra parte, minore è σ, più accuratamente viene determinato il valore medio della quantità nel campione. Pertanto, con grandi deviazioni standard, si deve dire che il valore medio si trova in un certo intervallo di numeri e non corrisponde a nessun numero.
Come altre leggi della statistica, la normale legge della distribuzione di probabilità si mostra migliore, maggiore è il campione, ad es. il numero di oggetti che partecipano alle misurazioni. Tuttavia, qui si manifesta un altro effetto: con un campione ampio, la probabilità di incontrare un certo valore di una quantità, compresa la media, diventa molto piccola. I valori sono raggruppati solo attorno alla media. Pertanto, è più corretto dire che una variabile casuale sarà vicina a un certo valore con tale o tale grado di probabilità.
Determina quanto è alta la probabilità e la deviazione standard aiuta. Nell'intervallo "tre sigma", cioè M +/- 3σ, corrisponde al 97,3% di tutti i valori nel campione e circa il 99% rientra nell'intervallo cinque sigma. Questi intervalli vengono solitamente utilizzati per determinare, quando necessario, i valori massimi e minimi dei valori nel campione. La probabilità che esca il valore della quantitàl'intervallo cinque sigma è trascurabile. In pratica, vengono solitamente utilizzati intervalli di tre sigma.
La legge di distribuzione normale può essere multidimensionale. In questo caso, si presume che un oggetto abbia diversi parametri indipendenti espressi in un'unità di misura. Ad esempio, la deviazione di un proiettile dal centro del bersaglio verticalmente e orizzontalmente durante lo sparo sarà descritta da una distribuzione normale bidimensionale. Il grafico di tale distribuzione nel caso ideale è simile alla figura di rotazione di una curva piatta (gaussiana), che è stata menzionata sopra.
