Per trovare le funzioni di distribuzione delle variabili casuali e delle loro variabili, è necessario studiare tutte le caratteristiche di questo campo di conoscenza. Esistono diversi metodi per trovare i valori in questione, incluso modificare una variabile e generare un momento. La distribuzione è un concetto basato su elementi come dispersione, variazioni. Tuttavia, caratterizzano solo il grado di ampiezza di scattering.
Le funzioni più importanti delle variabili casuali sono quelle correlate e indipendenti e equamente distribuite. Ad esempio, se X1 è il peso di un individuo selezionato casualmente da una popolazione maschile, X2 è il peso di un altro, … e Xn è il peso di un' altra persona della popolazione maschile, allora dobbiamo sapere come funziona la casualità X è distribuito. In questo caso vale il teorema classico chiamato teorema del limite centrale. Ti permette di mostrare che per n grande la funzione segue le distribuzioni standard.
Funzioni di una variabile casuale
Il teorema del limite centrale serve per approssimare valori discreti in considerazione come binomio e Poisson. Le funzioni di distribuzione di variabili casuali sono considerate, prima di tutto, su valori semplici di una variabile. Ad esempio, se X è una variabile casuale continua con una propria distribuzione di probabilità. In questo caso, esploriamo come trovare la funzione di densità di Y utilizzando due diversi approcci, vale a dire il metodo della funzione di distribuzione e il cambiamento di variabile. Innanzitutto, vengono considerati solo i valori uno a uno. Quindi è necessario modificare la tecnica di modifica della variabile per trovarne la probabilità. Infine, dobbiamo imparare come la funzione di distribuzione cumulativa inversa può aiutare a modellare numeri casuali che seguono determinati schemi sequenziali.
Metodo di distribuzione dei valori considerati
Il metodo della funzione di distribuzione di probabilità di una variabile casuale è applicabile per trovare la sua densità. Quando si utilizza questo metodo, viene calcolato un valore cumulativo. Quindi, differenziandolo, puoi ottenere la densità di probabilità. Ora che abbiamo il metodo della funzione di distribuzione, possiamo guardare alcuni altri esempi. Sia X una variabile casuale continua con una certa densità di probabilità.
Qual è la funzione di densità di probabilità di x2? Se guardi o rappresenti la funzione (in alto ea destra) y \u003d x2, puoi notare che è una X crescente e 0 <y<1. Ora devi usare il metodo considerato per trovare Y. Innanzitutto, viene trovata la funzione di distribuzione cumulativa, devi solo differenziare per ottenere la densità di probabilità. Così facendo, otteniamo: 0<y<1. Il metodo di distribuzione è stato implementato con successo per trovare Y quando Y è una funzione crescente di X. A proposito, f(y) si integra in 1 su y.
Nell'ultimo esempio, è stata usata grande cura per indicizzare le funzioni cumulative e la densità di probabilità con X o Y per indicare a quale variabile casuale appartenevano. Ad esempio, quando trovi la funzione di distribuzione cumulativa di Y, abbiamo X. Se devi trovare una variabile casuale X e la sua densità, devi solo differenziarla.
Tecnica di cambiamento variabile
Sia X una variabile casuale continua data da una funzione di distribuzione con denominatore comune f (x). In questo caso, se metti il valore di y in X=v (Y), ottieni il valore di x, ad esempio v (y). Ora, dobbiamo ottenere la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua Y. Dove la prima e la seconda uguaglianza hanno luogo dalla definizione di Y cumulativa. La terza uguaglianza vale perché la parte della funzione per cui u (X) ≦ y è vero anche che X ≦ v (Y). E l'ultimo è fatto per determinare la probabilità in una variabile casuale continua X. Ora dobbiamo prendere la derivata di FY (y), la funzione di distribuzione cumulativa di Y, per ottenere la densità di probabilità Y.
Generalizzazione per la funzione di diminuzione
Sia X una variabile casuale continua con f (x) comune definita su c1<x<c2. E sia Y=u (X) una funzione decrescente di X con X=v (Y) inversa. Poiché la funzione è continua e decrescente, esiste una funzione inversa X=v (Y).
Per risolvere questo problema, puoi raccogliere dati quantitativi e utilizzare la funzione di distribuzione cumulativa empirica. Con queste informazioni e attraenti, è necessario combinare campioni di mezzi, deviazioni standard, dati multimediali e così via.
Allo stesso modo, anche un modello probabilistico abbastanza semplice può avere un numero enorme di risultati. Ad esempio, se lanci una moneta 332 volte. Quindi il numero di risultati ottenuti dai lanci è maggiore di quello di google (10100) - un numero, ma non inferiore a 100 quintilioni di volte superiore alle particelle elementari nell'universo conosciuto. Non interessa un'analisi che dia una risposta a ogni possibile risultato. Sarebbe necessario un concetto più semplice, come il numero di teste o il tratto più lungo della croce. Per concentrarsi su questioni di interesse, si accetta un risultato specifico. La definizione in questo caso è la seguente: una variabile casuale è una funzione reale con uno spazio di probabilità.
L'intervallo S di una variabile casuale è talvolta chiamato spazio degli stati. Quindi, se X è il valore in questione, allora N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc e così via. L'ultima di queste, arrotondando X al numero intero più vicino, è chiamata funzione floor.
Funzioni di distribuzione
Una volta determinata la funzione di distribuzione di interesse per una variabile casuale x, la domanda di solito diventa: "Quali sono le probabilità che X rientri in un sottoinsieme di B valori?". Ad esempio, B={numeri dispari}, B={maggiore di 1} o B={tra 2 e 7} per indicare quei risultati che hanno X, il valorevariabile casuale, nel sottoinsieme A. Quindi, nell'esempio sopra, puoi descrivere gli eventi come segue.
{X è un numero dispari}, {X è maggiore di 1}={X> 1}, {X è compreso tra 2 e 7}={2 <X <7} per abbinare le tre opzioni precedenti per il sottoinsieme B. Molte proprietà di quantità casuali non sono correlate a una particolare X. Piuttosto, dipendono da come X alloca i suoi valori. Questo porta a una definizione che suona così: la funzione di distribuzione di una variabile casuale x è cumulativa ed è determinata da osservazioni quantitative.
Variabili casuali e funzioni di distribuzione
Quindi, puoi calcolare la probabilità che la funzione di distribuzione di una variabile casuale x assuma valori nell'intervallo per sottrazione. Pensa a includere o escludere gli endpoint.
Chiameremo discreta una variabile casuale se ha uno spazio degli stati finito o numerabilmente infinito. Quindi, X è il numero di teste su tre lanci indipendenti di una moneta distorta che sale con probabilità p. Dobbiamo trovare la funzione di distribuzione cumulativa di una variabile casuale discreta FX per X. Sia X il numero di picchi in un insieme di tre carte. Quindi Y=X3 tramite FX. FX inizia da 0, termina con 1 e non diminuisce all'aumentare dei valori x. La funzione di distribuzione cumulativa FX di una variabile casuale discreta X è costante, ad eccezione dei s alti. Quando si s alta, l'FX è continuo. Dimostra l'affermazione sul correttola continuità della funzione di distribuzione dalla proprietà di probabilità è possibile utilizzando la definizione. Suona così: una variabile casuale costante ha un FX cumulativo che è differenziabile.
Per mostrare come questo può accadere, possiamo fare un esempio: un bersaglio con raggio unitario. Presumibilmente. il dardo è distribuito uniformemente sull'area specificata. Per alcuni λ> 0. Pertanto, le funzioni di distribuzione delle variabili casuali continue aumentano in modo graduale. FX ha le proprietà di una funzione di distribuzione.
Un uomo aspetta alla fermata dell'autobus fino all'arrivo dell'autobus. Avendo deciso da solo che rifiuterà quando l'attesa raggiungerà i 20 minuti. Qui è necessario trovare la funzione di distribuzione cumulativa per T. L'ora in cui una persona sarà ancora alla stazione degli autobus o non partirà. Nonostante il fatto che la funzione di distribuzione cumulativa sia definita per ogni variabile casuale. Tuttavia, altre caratteristiche verranno utilizzate abbastanza spesso: la massa per una variabile discreta e la funzione di densità di distribuzione di una variabile casuale. Solitamente il valore viene emesso tramite uno di questi due valori.
Funzioni di massa
Questi valori sono considerati dalle seguenti proprietà, che hanno un carattere generale (di massa). La prima si basa sul fatto che le probabilità non sono negative. Il secondo segue dall'osservazione che l'insieme per ogni x=2S, lo spazio degli stati per X, forma una partizione della libertà probabilistica di X. Esempio: lancio di una moneta distorta i cui risultati sono indipendenti. Puoi continuare a faredeterminate azioni finché non ottieni un tiro di testa. Sia X una variabile casuale che fornisce il numero di code davanti alla prima testa. E p indica la probabilità in una data azione.
Quindi, la funzione di probabilità di massa ha le seguenti caratteristiche. Poiché i termini formano una sequenza numerica, X è chiamata variabile casuale geometrica. Schema geometrico c, cr, cr2,.,,, crn ha una somma. E, quindi, sn ha un limite come n 1. In questo caso, la somma infinita è il limite.
La funzione di massa sopra forma una sequenza geometrica con un rapporto. Pertanto, i numeri naturali a e b. La differenza dei valori nella funzione di distribuzione è uguale al valore della funzione di massa.
I valori di densità in esame hanno una definizione: X è una variabile casuale la cui distribuzione FX ha una derivata. FX che soddisfa Z xFX (x)=fX (t) dt-1 è chiamata funzione di densità di probabilità. E X è chiamata variabile casuale continua. Nel teorema fondamentale del calcolo, la funzione di densità è la derivata della distribuzione. Puoi calcolare le probabilità calcolando integrali definiti.
Poiché i dati vengono raccolti da più osservazioni, per modellare le procedure sperimentali deve essere considerata più di una variabile casuale alla volta. Pertanto, l'insieme di questi valori e la loro distribuzione congiunta per le due variabili X1 e X2 significa visualizzare eventi. Per le variabili casuali discrete, vengono definite funzioni di massa probabilistiche congiunte. Per quelli continui si considerano fX1, X2, dovela densità di probabilità congiunta è soddisfatta.
Variabili casuali indipendenti
Due variabili casuali X1 e X2 sono indipendenti se due eventi ad esse associati sono uguali. In parole povere, la probabilità che due eventi {X1 2 B1} e {X2 2 B2} avvengano contemporaneamente, y, è uguale al prodotto delle variabili di cui sopra, che ciascuno di essi avvenga individualmente. Per variabili casuali discrete indipendenti, esiste una funzione di massa probabilistica congiunta, che è il prodotto del volume ionico limite. Per variabili casuali continue indipendenti, la funzione di densità di probabilità congiunta è il prodotto dei valori di densità marginale. Infine, consideriamo n osservazioni indipendenti x1, x2,.,,, xn derivanti da una densità o funzione di massa sconosciuta f. Ad esempio, un parametro sconosciuto nelle funzioni per una variabile casuale esponenziale che descrive il tempo di attesa per un bus.
Imitazione di variabili casuali
L'obiettivo principale di questo campo teorico è fornire gli strumenti necessari per sviluppare procedure di inferenza basate su solidi principi di scienza statistica. Pertanto, un caso d'uso molto importante per il software è la capacità di generare pseudo-dati per imitare le informazioni effettive. Ciò consente di testare e migliorare i metodi di analisi prima di doverli utilizzare in database reali. Questo è necessario per esplorare le proprietà dei dati attraversomodellazione. Per molte famiglie di variabili casuali comunemente usate, R fornisce i comandi per generarle. Per altre circostanze, saranno necessari metodi per modellare una sequenza di variabili casuali indipendenti che hanno una distribuzione comune.
Variabili casuali discrete e pattern di comando. Il comando sample viene utilizzato per creare campioni casuali semplici e stratificati. Di conseguenza, se viene immessa una sequenza x, sample(x, 40) seleziona 40 record da x in modo tale che tutte le scelte di dimensione 40 abbiano la stessa probabilità. Questo utilizza il comando R predefinito per il recupero senza sostituzione. Può essere utilizzato anche per modellare variabili casuali discrete. Per fare ciò, è necessario fornire uno spazio di stato nel vettore x e la funzione di massa f. Una chiamata a sostituire=TRUE indica che il campionamento si verifica con la sostituzione. Quindi, per fornire un campione di n variabili casuali indipendenti che hanno una funzione di massa comune f, viene utilizzato il campione (x, n, replace=TRUE, prob=f).
Determinato che 1 è il valore più piccolo rappresentato e 4 è il più grande di tutti. Se il comando prob=f viene omesso, il campione campionerà uniformemente dai valori nel vettore x. È possibile confrontare la simulazione rispetto alla funzione di massa che ha generato i dati osservando il doppio segno di uguale,==. E ricalcolando le osservazioni che prendono ogni possibile valore per x. Puoi fare un tavolo. Ripetere l'operazione per 1000 e confrontare la simulazione con la funzione di massa corrispondente.
Illustrazione della trasformazione di probabilità
Primosimulare funzioni di distribuzione omogenea di variabili casuali u1, u2,.,,, un sull'intervallo [0, 1]. Circa il 10% dei numeri dovrebbe essere compreso tra [0, 3, 0, 4]. Ciò corrisponde al 10% delle simulazioni sull'intervallo [0, 28, 0, 38] per una variabile casuale con la funzione di distribuzione FX mostrata. Allo stesso modo, circa il 10% dei numeri casuali dovrebbe trovarsi nell'intervallo [0, 7, 0, 8]. Ciò corrisponde a simulazioni del 10% sull'intervallo [0, 96, 1, 51] della variabile casuale con la funzione di distribuzione FX. Questi valori sull'asse x possono essere ottenuti prendendo l'inverso da FX. Se X è una variabile casuale continua con densità fX positiva ovunque nel suo dominio, allora la funzione di distribuzione è strettamente crescente. In questo caso, FX ha una funzione FX-1 inversa nota come funzione quantile. FX (x) u solo quando x FX-1 (u). La trasformazione di probabilità segue dall'analisi della variabile casuale U=FX (X).
FX ha un intervallo da 0 a 1. Non può essere inferiore a 0 o superiore a 1. Per valori di u compresi tra 0 e 1. Se U può essere simulato, è necessario che sia simulato tramite una funzione quantile. Prendi la derivata per vedere che la densità u varia entro 1. Poiché la variabile casuale U ha una densità costante nell'intervallo dei suoi valori possibili, è chiamata uniforme sull'intervallo [0, 1]. È modellato in R con il comando runif. L'identità è chiamata trasformazione probabilistica. Puoi vedere come funziona nell'esempio del bersaglio per le freccette. X tra 0 e 1, funzionedistribuzione u=FX (x)=x2, e quindi la funzione quantile x=FX-1 (u). È possibile modellare osservazioni indipendenti della distanza dal centro del pannello delle freccette, e quindi creare variabili casuali uniformi U1, U2,.,, Un. La funzione di distribuzione e la funzione empirica si basano su 100 simulazioni della distribuzione di un bersaglio. Per una variabile casuale esponenziale, presumibilmente u=FX (x)=1 - exp (- x), e quindi x=- 1 ln (1 - u). A volte la logica consiste in affermazioni equivalenti. In questo caso, è necessario concatenare le due parti dell'argomento. L'identità dell'intersezione è simile per tutti i 2 {S i i} S, invece di qualche valore. L'unione Ci è uguale allo spazio degli stati S e ciascuna coppia si esclude a vicenda. Poiché Bi - è diviso in tre assiomi. Ogni controllo si basa sulla probabilità corrispondente P. Per ogni sottoinsieme. Usare un'identità per assicurarsi che la risposta non dipenda dal fatto che gli endpoint dell'intervallo siano inclusi.
Funzione esponenziale e sue variabili
Per ogni risultato in tutti gli eventi, viene utilizzata in ultima analisi la seconda proprietà della continuità delle probabilità, che è considerata assiomatica. La legge di distribuzione della funzione di una variabile casuale qui mostra che ciascuna ha la propria soluzione e risposta.
