I poliedri hanno attirato l'attenzione di matematici e scienziati anche nei tempi antichi. Gli egizi costruirono le piramidi. E i greci studiavano i "poliedri regolari". A volte sono chiamati solidi platonici. I "poliedri tradizionali" sono costituiti da facce piatte, bordi diritti e vertici. Ma la domanda principale è sempre stata quali regole devono soddisfare queste parti separate, nonché quali condizioni globali aggiuntive devono essere soddisfatte affinché un oggetto possa essere qualificato come poliedro. La risposta a questa domanda sarà presentata nell'articolo.
Problemi nella definizione
In cosa consiste questa cifra? Un poliedro è una forma solida chiusa che ha facce piatte e bordi dritti. Pertanto, il primo problema della sua definizione può essere chiamato proprio i lati della figura. Non tutte le facce che giacciono sui piani sono sempre un segno di un poliedro. Prendiamo come esempio il "cilindro triangolare". In cosa consiste? Parte della sua superficie tre a coppiei piani verticali che si intersecano non possono essere considerati poligoni. Il motivo è che non ha vertici. La superficie di una tale figura è formata sulla base di tre raggi che si incontrano in un punto.
Un altro problema: gli aerei. Nel caso del "cilindro triangolare" sta nelle loro parti illimitate. Una figura è considerata convessa se in essa si trova anche il segmento di linea che collega due punti qualsiasi dell'insieme. Presentiamo una delle loro proprietà importanti. Per gli insiemi convessi, è che l'insieme dei punti comuni all'insieme è lo stesso. C'è un altro tipo di figure. Questi sono poliedri 2D non convessi che hanno tacche o fori.
Forme che non sono poliedri
Un insieme piatto di punti può essere diverso (ad esempio, non convesso) e non soddisfare la consueta definizione di poliedro. Anche attraverso di esso, è limitato da sezioni di linee. Le linee di un poliedro convesso sono costituite da figure convesse. Tuttavia, questo approccio alla definizione esclude una figura che va all'infinito. Un esempio di ciò sarebbero tre raggi che non si incontrano nello stesso punto. Ma allo stesso tempo sono collegati ai vertici di un' altra figura. Tradizionalmente, per un poliedro era importante che fosse costituito da superfici piatte. Ma nel tempo, il concetto si è ampliato, il che ha portato a un significativo miglioramento nella comprensione della classe originale "più stretta" di poliedri, nonché all'emergere di una nuova definizione più ampia.
Corretto
Introduciamo un' altra definizione. Un poliedro regolare è quello in cui ogni faccia è una regolare congruentepoligoni convessi e tutti i vertici sono "gli stessi". Ciò significa che ogni vertice ha lo stesso numero di poligoni regolari. Usa questa definizione. Quindi puoi trovare cinque poliedri regolari.
Primi passi per il teorema di Eulero per i poliedri
I greci conoscevano il poligono, che oggi si chiama pentagramma. Questo poligono potrebbe essere chiamato regolare perché tutti i suoi lati hanno la stessa lunghezza. C'è anche un' altra nota importante. L'angolo tra due lati consecutivi è sempre lo stesso. Tuttavia, se disegnato su un piano, non definisce un insieme convesso e i lati del poliedro si intersecano. Tuttavia, non è sempre stato così. I matematici hanno a lungo considerato l'idea di poliedri regolari "non convessi". Il pentagramma era uno di questi. Erano consentiti anche i "poligoni a stella". Sono stati scoperti diversi nuovi esempi di "poliedri regolari". Ora sono chiamati poliedri di Keplero-Poinsot. Successivamente, G. S. M. Coxeter e Branko Grünbaum hanno esteso le regole e hanno scoperto altri "poliedri regolari".
Formula poliedrica
Lo studio sistematico di queste figure iniziò relativamente presto nella storia della matematica. Leonhard Euler è stato il primo a notare che una formula che mette in relazione il numero dei loro vertici, facce e spigoli vale per i poliedri 3D convessi.
Sembra così:
V + FA - MI=2, dove V è il numero di vertici poliedrici, F è il numero di spigoli del poliedro ed E è il numero di facce.
Leonhard Euler è svizzeromatematico considerato uno dei più grandi e produttivi scienziati di tutti i tempi. È stato cieco per la maggior parte della sua vita, ma la perdita della vista gli ha dato un motivo per diventare ancora più produttivo. Esistono diverse formule che portano il suo nome e quella che abbiamo appena esaminato è talvolta chiamata formula dei poliedri di Eulero.
C'è un chiarimento. La formula di Eulero, tuttavia, funziona solo per i poliedri che seguono determinate regole. Risiedono nel fatto che il modulo non dovrebbe avere buchi. Ed è inaccettabile che si attraversi. Un poliedro inoltre non può essere composto da due parti unite insieme, come due cubi con lo stesso vertice. Eulero menzionò il risultato della sua ricerca in una lettera a Christian Goldbach nel 1750. Successivamente pubblicò due articoli in cui descriveva come cercava di trovare prove della sua nuova scoperta. Esistono infatti forme che danno una risposta diversa a V + F - E. La risposta alla somma F + V - E=X è chiamata caratteristica di Eulero. Lei ha un altro aspetto. Alcune forme possono anche avere una caratteristica di Eulero negativa
Teoria dei grafici
A volte si afferma che Descartes abbia derivato prima il teorema di Eulero. Sebbene questo scienziato abbia scoperto fatti sui poliedri tridimensionali che gli avrebbero permesso di derivare la formula desiderata, non ha fatto questo passaggio aggiuntivo. Oggi, Eulero è accreditato come il "padre" della teoria dei grafi. Ha risolto il problema del ponte di Konigsberg usando le sue idee. Ma lo scienziato non ha esaminato il poliedro nel contestoteoria dei grafi. Eulero ha cercato di dare una dimostrazione di una formula basata sulla scomposizione di un poliedro in parti più semplici. Questo tentativo non soddisfa gli standard moderni per la prova. Sebbene Eulero non abbia fornito la prima giustificazione corretta per la sua formula, non si possono provare congetture che non siano state fatte. Tuttavia, i risultati, che sono stati confermati in seguito, consentono di utilizzare il teorema di Eulero anche in questo momento. La prima dimostrazione è stata ottenuta dal matematico Adrian Marie Legendre.
Prova della formula di Eulero
Eulero formulò per primo la formula del poliedro come teorema sui poliedri. Oggi viene spesso trattato nel contesto più generale dei grafi connessi. Ad esempio, come strutture costituite da punti e segmenti di linea che li collegano, che si trovano nella stessa parte. Augustin Louis Cauchy è stata la prima persona a trovare questa importante connessione. Serviva come dimostrazione del teorema di Eulero. In sostanza, ha notato che il grafico di un poliedro convesso (o quello che oggi viene chiamato tale) è topologicamente omeomorfo a una sfera, ha un grafo planare connesso. Cos'è? Un grafo planare è uno che è stato disegnato nel piano in modo tale che i suoi bordi si incontrino o si intersechino solo in corrispondenza di un vertice. È qui che è stata trovata la connessione tra il teorema di Eulero e i grafici.
Un'indicazione dell'importanza del risultato è che David Epstein è stato in grado di raccogliere diciassette diverse prove. Ci sono molti modi per giustificare la formula poliedrica di Eulero. In un certo senso, le prove più ovvie sono i metodi che utilizzano l'induzione matematica. Il risultato può essere dimostratodisegnandolo lungo il numero di spigoli, facce o vertici del grafico.
Proof of Rademacher e Toeplitz
Particolarmente interessante è la seguente prova di Rademacher e Toeplitz, basata sull'approccio di Von Staudt. Per giustificare il teorema di Eulero, supponiamo che G sia un grafo connesso incorporato in un piano. Se ha schemi, è possibile escludere un bordo da ciascuno di essi in modo da preservare la proprietà che rimane connesso. Esiste una corrispondenza biunivoca tra le parti rimosse per andare al grafo connesso senza chiusura e quelle che non sono un arco infinito. Questa ricerca ha portato alla classificazione delle "superfici orientabili" in termini della cosiddetta caratteristica di Eulero.
Curva della Giordania. Teorema
La tesi principale, utilizzata direttamente o indirettamente nella dimostrazione della formula dei poliedri del teorema di Eulero per i grafici, dipende dalla curva di Jordan. Questa idea è legata alla generalizzazione. Dice che ogni semplice curva chiusa divide il piano in tre insiemi: punti su di esso, dentro e fuori di esso. Man mano che l'interesse per la formula poliedrica di Eulero si sviluppò nel diciannovesimo secolo, furono fatti molti tentativi per generalizzarla. Questa ricerca ha gettato le basi per lo sviluppo della topologia algebrica e l'ha collegata con l'algebra e la teoria dei numeri.
Gruppo Moebius
Si è presto scoperto che alcune superfici potevano essere "orientate" in modo coerente solo localmente, non globalmente. Il famoso gruppo di Möbius ne è un esempiosuperfici. È stato scoperto un po' prima da Johann Listing. Questo concetto include la nozione di genere di grafo: il minor numero di descrittori g. Deve essere aggiunto alla superficie della sfera e può essere incorporato sulla superficie estesa in modo tale che i bordi si incontrino solo ai vertici. Si scopre che qualsiasi superficie orientabile nello spazio euclideo può essere considerata come una sfera con un certo numero di maniglie.
Diagramma di Eulero
Lo scienziato ha fatto un' altra scoperta, che è usata ancora oggi. Questo cosiddetto diagramma di Eulero è una rappresentazione grafica di cerchi, solitamente usata per illustrare le relazioni tra insiemi o gruppi. I grafici di solito includono colori che si fondono nelle aree in cui i cerchi si sovrappongono. Gli insiemi sono rappresentati precisamente da cerchi o ovali, sebbene per essi possano essere utilizzate anche altre figure. Un'inclusione è rappresentata da una sovrapposizione di ellissi chiamate cerchi di Eulero.
Rappresentano insiemi e sottoinsiemi. L'eccezione sono i cerchi non sovrapposti. I diagrammi di Eulero sono strettamente correlati ad altre rappresentazioni grafiche. Sono spesso confusi. Questa rappresentazione grafica è chiamata diagrammi di Venn. A seconda dei set in questione, entrambe le versioni potrebbero sembrare uguali. Tuttavia, nei diagrammi di Venn, i cerchi sovrapposti non indicano necessariamente una comunanza tra gli insiemi, ma solo una possibile relazione logica se le loro etichette non sono incerchio intersecante. Entrambe le opzioni furono adottate per insegnare la teoria degli insiemi come parte del nuovo movimento matematico degli anni '60.
Teoremi di Fermat ed Eulero
Eulero ha lasciato un segno notevole nelle scienze matematiche. La teoria algebrica dei numeri è stata arricchita da un teorema a lui intitolato. È anche una conseguenza di un' altra importante scoperta. Questo è il cosiddetto teorema algebrico generale di Lagrange. Il nome di Eulero è anche associato al piccolo teorema di Fermat. Dice che se p è un numero primo e a è un intero non divisibile per p, allora:
ap-1 - 1 è divisibile per p.
A volte la stessa scoperta ha un nome diverso, che si trova spesso nella letteratura straniera. Sembra il teorema di Natale di Fermat. Il fatto è che la scoperta divenne nota grazie a una lettera di uno scienziato inviata alla vigilia del 25 dicembre 1640. Ma l'affermazione stessa è stata incontrata prima. È stato utilizzato da un altro scienziato di nome Albert Girard. Fermat ha solo cercato di dimostrare la sua teoria. L'autore accenna in un' altra lettera di essersi ispirato al metodo della discesa infinita. Ma non ha fornito alcuna prova. Successivamente, anche Eider si rivolse allo stesso metodo. E dopo di lui - molti altri famosi scienziati, tra cui Lagrange, Gauss e Minkosky.
Caratteristiche delle identità
Il Piccolo Teorema di Fermat è anche chiamato un caso speciale di un teorema della teoria dei numeri dovuto a Eulero. In questa teoria, la funzione identità di Eulero conta interi positivi fino a un dato intero n. Sono coprimi rispetto an. Il teorema di Eulero nella teoria dei numeri è scritto usando la lettera greca φ e assomiglia a φ(n). Può essere definito più formalmente come il numero di interi k nell'intervallo 1 ≦ k ≦ n per i quali il massimo comun divisore gcd(n, k) è 1. La notazione φ(n) può anche essere chiamata funzione phi di Eulero. Gli interi k di questa forma sono talvolta chiamati totativi. Al centro della teoria dei numeri, la funzione di identità di Eulero è moltiplicativa, il che significa che se due numeri m e n sono coprimi, allora φ(mn)=φ(m)φ(n). Svolge anche un ruolo chiave nella definizione del sistema di crittografia RSA.
La funzione di Eulero fu introdotta nel 1763. Tuttavia, a quel tempo il matematico non scelse alcun simbolo specifico per essa. In una pubblicazione del 1784, Eulero studiò questa funzione in modo più dettagliato e scelse la lettera greca π per rappresentarla. James Sylvester ha coniato il termine "totale" per questa caratteristica. Pertanto, è indicato anche come totale di Eulero. Il totale φ(n) di un intero positivo n maggiore di 1 è il numero di interi positivi minori di n che sono primi relativamente a n.φ(1) è definito come 1. La funzione di Eulero o funzione phi(φ) è una teoria dei numeri molto importante una funzione profondamente correlata ai numeri primi e al cosiddetto ordine degli interi.
