I poliedri non solo occupano un posto di rilievo nella geometria, ma si verificano anche nella vita quotidiana di ogni persona. Per non parlare degli articoli per la casa creati artificialmente sotto forma di vari poligoni, che iniziano con una scatola di fiammiferi e terminano con elementi architettonici, cristalli a forma di cubo (sale), prisma (cristallo), piramide (scheelite), ottaedro (diamante), ecc. e.
Il concetto di poliedro, tipi di poliedri in geometria
La geometria come scienza contiene una sezione di stereometria che studia le caratteristiche e le proprietà delle figure tridimensionali. I corpi geometrici, i cui lati nello spazio tridimensionale sono formati da piani limitati (facce), sono chiamati "poliedri". I tipi di poliedri includono più di una dozzina di rappresentanti, che differiscono per il numero e la forma delle facce.
Tuttavia, tutti i poliedri hanno proprietà comuni:
- Hanno tutti 3 componenti essenziali: il viso(superficie di un poligono), vertice (angoli formati all'incrocio di facce), spigolo (lato di una figura o segmento formato all'incrocio di due facce).
- Ogni bordo del poligono collega due e solo due facce adiacenti l'una all' altra.
- Convessità significa che il corpo si trova completamente solo su un lato del piano su cui giace una delle facce. La regola si applica a tutte le facce del poliedro. Tali figure geometriche in stereometria sono chiamate poliedri convessi. L'eccezione sono i poliedri a forma di stella, che sono derivati da solidi geometrici poliedrici regolari.
I poliedri possono essere suddivisi condizionatamente in:
- Tipi di poliedri convessi, costituiti dalle seguenti classi: ordinari o classici (prisma, piramide, parallelepipedo), regolari (detti anche solidi platonici), semiregolari (secondo nome - solidi di Archimede).
- Poliedri non convessi (a forma di stella).
Prisma e le sue proprietà
La stereometria come branca della geometria studia le proprietà delle figure tridimensionali, i tipi di poliedri (un prisma è uno di questi). Un prisma è un corpo geometrico che ha necessariamente due facce assolutamente identiche (chiamate anche basi) che giacciono su piani paralleli e l'n-esimo numero di facce laterali sotto forma di parallelogrammi. A sua volta, il prisma ha anche diverse varietà, inclusi tipi di poliedri come:
- Parallelepiped - formato se la base è un parallelogramma -poligono con 2 coppie di angoli opposti uguali e 2 coppie di lati opposti congruenti.
- Un prisma diritto ha i bordi perpendicolari alla base.
- Il prisma inclinato è caratterizzato dalla presenza di angoli non retti (diversi da 90) tra le facce e la base.
- Un prisma regolare è caratterizzato da basi a forma di poligono regolare con facce laterali uguali.
Proprietà di base di un prisma:
- Basi congruenti.
- Tutti i bordi del prisma sono uguali e paralleli tra loro.
- Tutte le facce laterali sono a forma di parallelogramma.
Piramide
La piramide è un corpo geometrico, che consiste in una base e un numero n-esimo di facce triangolari, collegate in un punto: la parte superiore. Va notato che se le facce laterali della piramide sono necessariamente rappresentate da triangoli, allora la base può essere un poligono triangolare, o un quadrilatero, o un pentagono, e così via all'infinito. In questo caso, il nome della piramide corrisponderà al poligono alla base. Ad esempio, se un triangolo si trova alla base di una piramide, è una piramide triangolare, un quadrilatero è quadrangolare, ecc.
Le piramidi sono poliedri a forma di cono. I tipi di poliedri di questo gruppo, oltre a quelli sopra elencati, includono anche i seguenti rappresentanti:
- Una piramide regolare ha un poligono regolare alla base e la sua altezza è proiettata al centroun cerchio inscritto alla base o circoscritto ad essa.
- Una piramide rettangolare si forma quando uno dei bordi laterali si interseca con la base ad angolo retto. In questo caso, è anche corretto chiamare questo bordo l' altezza della piramide.
Proprietà piramidali:
- Se tutti gli spigoli laterali della piramide sono congruenti (della stessa altezza), allora si intersecano tutti con la base allo stesso angolo, e intorno alla base puoi disegnare un cerchio con un centro coincidente con la proiezione di la cima della piramide.
- Se la base della piramide è un poligono regolare, tutti i bordi laterali sono congruenti e le facce sono triangoli isoscele.
Poliedro regolare: tipi e proprietà dei poliedri
Nella stereometria, un posto speciale è occupato da corpi geometrici con facce assolutamente uguali, ai vertici dei quali sono collegati lo stesso numero di spigoli. Questi solidi sono chiamati solidi platonici o poliedri regolari. I tipi di poliedri con tali proprietà hanno solo cinque forme:
- Tetraedro.
- Esaedro.
- Ottaedro.
- Dodecaedro.
- Icosaedro.
I poliedri regolari devono il loro nome all'antico filosofo greco Platone, che nei suoi scritti descrisse questi corpi geometrici e li collegò con gli elementi naturali: terra, acqua, fuoco, aria. Alla quinta figura è stata assegnata la somiglianza con la struttura dell'universo. A suo avviso, gli atomi degli elementi naturali in forma assomigliano ai tipi di poliedri regolari. Grazie alla sua proprietà più eccitante -simmetria, questi corpi geometrici erano di grande interesse non solo per matematici e filosofi antichi, ma anche per architetti, artisti e scultori di tutti i tempi. La presenza di soli 5 tipi di poliedri a simmetria assoluta è stata considerata una scoperta fondamentale, a loro è stata addirittura assegnata una connessione con il principio divino.
Esaedro e le sue proprietà
A forma di esagono, i successori di Platone assunsero una somiglianza con la struttura degli atomi della terra. Naturalmente, allo stato attuale, questa ipotesi è stata completamente confutata, il che, tuttavia, non impedisce alle figure di attirare le menti di personaggi famosi con la loro estetica in tempi moderni.
In geometria, un esaedro, detto anche cubo, è considerato un caso speciale di parallelepipedo, che, a sua volta, è una specie di prisma. Di conseguenza, le proprietà del cubo sono correlate alle proprietà del prisma, con l'unica differenza che tutte le facce e gli angoli del cubo sono uguali tra loro. Le seguenti proprietà seguono da questo:
- Tutti gli spigoli del cubo sono congruenti e giacciono su piani paralleli l'uno rispetto all' altro.
- Tutte le facce sono quadrati congruenti (ce ne sono 6 in totale in un cubo), ognuno dei quali può essere preso come base.
- Tutti gli angoli dell'interfaccia sono 90.
- Un numero uguale di archi emana da ciascun vertice, ovvero 3.
- Il cubo ha 9 assi di simmetria, che si intersecano tutti nel punto di intersezione delle diagonali dell'esaedro, detto centro di simmetria.
Tetraedro
Un tetraedro è un tetraedro con facce uguali a forma di triangoli, ciascuno dei cui verticiè il punto di congiunzione di tre facce.
Proprietà del tetraedro regolare:
- Tutte le facce di un tetraedro sono triangoli equilateri, il che significa che tutte le facce di un tetraedro sono congruenti.
- Poiché la base è rappresentata da una figura geometrica regolare, cioè ha i lati uguali, le facce del tetraedro convergono con lo stesso angolo, cioè tutti gli angoli sono uguali.
- La somma degli angoli piatti in ciascuno dei vertici è 180, poiché tutti gli angoli sono uguali, quindi qualsiasi angolo di un tetraedro regolare è 60.
- Ciascuno dei vertici viene proiettato al punto di intersezione delle altezze della faccia opposta (ortocentrica).
L'ottaedro e le sue proprietà
Descrivendo i tipi di poliedri regolari, non si può non notare un oggetto come un ottaedro, che può essere rappresentato visivamente come due piramidi regolari quadrangolari incollate insieme da basi.
Proprietà dell'ottaedro:
- Il nome stesso di un corpo geometrico suggerisce il numero delle sue facce. L'ottaedro è costituito da 8 triangoli equilateri congruenti, in ciascuno dei vertici dei quali convergono un numero uguale di facce, ovvero 4.
- Poiché tutte le facce di un ottaedro sono uguali, anche i suoi angoli di interfaccia sono uguali, ciascuno dei quali è uguale a 60, e la somma degli angoli piani di uno qualsiasi dei vertici è quindi 240.
Dodecaedro
Se immaginiamo che tutte le facce di un corpo geometrico siano un pentagono regolare, allora otteniamo un dodecaedro -una figura di 12 poligoni.
Proprietà del dodecaedro:
- Tre facce si intersecano ad ogni vertice.
- Tutte le facce sono uguali e hanno la stessa lunghezza del bordo e la stessa area.
- Il dodecaedro ha 15 assi e piani di simmetria, e ognuno di essi passa attraverso il vertice della faccia e il centro del bordo opposto.
Icosaedro
Non meno interessante del dodecaedro, la figura dell'icosaedro è un corpo geometrico tridimensionale con 20 facce uguali. Tra le proprietà di un ventiedro regolare si possono notare le seguenti:
- Tutte le facce dell'icosaedro sono triangoli isoscele.
- Cinque facce convergono ad ogni vertice del poliedro e la somma degli angoli adiacenti del vertice è 300.
- L'icosaedro, come il dodecaedro, ha 15 assi e piani di simmetria che passano per i punti medi delle facce opposte.
Poligoni semiregolari
Oltre ai solidi platonici, il gruppo dei poliedri convessi comprende anche i solidi di Archimede, che sono poliedri regolari troncati. I tipi di poliedri di questo gruppo hanno le seguenti proprietà:
- I corpi geometrici hanno facce uguali a coppie di diversi tipi, ad esempio un tetraedro troncato ha 8 facce, come un tetraedro regolare, ma nel caso di un solido di Archimede, 4 facce saranno triangolari e 4 esagonali.
- Tutti gli angoli di un vertice sono congruenti.
Poliedri a stella
I rappresentanti di tipi non volumetrici di corpi geometrici sono poliedri stellati le cui facce si intersecano. Possono essere formati unendo due solidi 3D regolari o estendendo le loro facce.
Così, tali poliedri stellati sono conosciuti come: forme stellate dell'ottaedro, dodecaedro, icosaedro, cubottaedro, icosododecaedro.
