Nella descrizione matematica del moto rotatorio, è importante conoscere il momento di inerzia del sistema rispetto all'asse. Nel caso generale, la procedura per il reperimento di tale quantità prevede l'attuazione del processo di integrazione. Il cosiddetto teorema di Steiner semplifica il calcolo. Consideriamolo più in dettaglio nell'articolo.
Cos'è il momento d'inerzia?
Prima di dare la formulazione del teorema di Steiner, è necessario affrontare il concetto stesso di momento d'inerzia. Supponiamo che esista un corpo di una certa massa e di forma arbitraria. Questo corpo può essere un punto materiale o qualsiasi oggetto bidimensionale o tridimensionale (asta, cilindro, palla, ecc.). Se l'oggetto in questione compie un movimento circolare attorno ad un asse con accelerazione angolare costante α, allora si può scrivere la seguente equazione:
M=Iα
Qui, il valore M rappresenta il momento totale delle forze, che dà accelerazione α all'intero sistema. Viene chiamato il coefficiente di proporzionalità tra loro - Imomento d'inerzia. Questa quantità fisica viene calcolata utilizzando la seguente formula generale:
I=∫m (r2dm)
Qui r è la distanza tra l'elemento con massa dm e l'asse di rotazione. Questa espressione significa che è necessario trovare la somma dei prodotti delle distanze al quadrato r2 e della massa elementare dm. Cioè, il momento di inerzia non è una pura caratteristica del corpo, che lo distingue dall'inerzia lineare. Dipende dalla distribuzione della massa in tutto l'oggetto che ruota, nonché dalla distanza dall'asse e dall'orientamento del corpo rispetto ad esso. Ad esempio, un'asta avrà una I diversa se viene ruotata attorno al centro di massa e attorno all'estremità.
Momento di inerzia e teorema di Steiner
Il famoso matematico svizzero Jakob Steiner dimostrò il teorema degli assi paralleli e del momento d'inerzia, che ora porta il suo nome. Questo teorema postula che il momento di inerzia per qualsiasi corpo rigido di geometria arbitraria rispetto a qualche asse di rotazione sia uguale alla somma del momento di inerzia attorno all'asse che interseca il centro di massa del corpo ed è parallelo al primo, e il prodotto della massa corporea per il quadrato della distanza tra questi assi. Matematicamente, questa formulazione è scritta come segue:
IZ=IO + ml2
IZ e IO - momenti di inerzia attorno all'asse Z e all'asse O parallelo ad esso, che passa attraverso il centro di massa del corpo, l - distanza tra le linee Z e O.
Il teorema permette, conoscendo il valore di IO, di calcolarequalsiasi altro momento IZ su un asse parallelo a O.
Dimostrazione del teorema
La formula del teorema di Steiner può essere facilmente ottenuta da solo. Per fare ciò, considera un corpo arbitrario sul piano xy. Lascia che l'origine delle coordinate passi per il centro di massa di questo corpo. Calcoliamo il momento di inerzia IO che passa per l'origine perpendicolare al piano xy. Poiché la distanza da qualsiasi punto del corpo è espressa dalla formula r=√ (x2 + y2), otteniamo l'integrale:
IO=∫m (r2dm)=∫ m ((x2+y2) dm)
Ora spostiamo l'asse parallelo lungo l'asse x di una distanza l, ad esempio, in direzione positiva, quindi il calcolo per il nuovo asse del momento di inerzia sarà simile a questo:
IZ=∫m(((x+l)2+y 2)dm)
Espandi il quadrato completo tra parentesi e dividi gli integrandi, otteniamo:
IZ=∫m ((x2+l 2+2xl+y2)dm)=∫m ((x2 +y2)dm) + 2l∫m (xdm) + l 2∫mdm
Il primo di questi termini è il valore IO, il terzo termine, dopo l'integrazione, dà il termine l2m, e qui il secondo termine è zero. L'azzeramento dell'integrale specificato è dovuto al fatto che esso è ricavato dal prodotto di x e degli elementi di massa dm, che inla media dà zero, poiché il centro di massa è all'origine. Si ottiene così la formula del teorema di Steiner.
Il caso considerato sul piano può essere generalizzato ad un corpo tridimensionale.
Verifica della formula di Steiner sull'esempio di una canna
Facciamo un semplice esempio per dimostrare come utilizzare il teorema di cui sopra.
È noto che per un'asta di lunghezza L e massa m, il momento d'inerzia IO(l'asse passa per il baricentro) è pari a m L2 /12, e il momento IZ(l'asse passa per l'estremità dell'asta) è uguale a mL 2/3. Verifichiamo questi dati usando il teorema di Steiner. Poiché la distanza tra i due assi è L/2, otteniamo il momento IZ:
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
Cioè, abbiamo controllato la formula di Steiner e ottenuto lo stesso valore per IZ come nella sorgente.
Calcoli simili possono essere effettuati per altri corpi (cilindro, sfera, disco), ottenendo i momenti di inerzia necessari, e senza effettuare integrazioni.
Momento di inerzia e assi perpendicolari
Il teorema considerato riguarda gli assi paralleli. Per completezza di informazione, è anche utile fornire un teorema per gli assi perpendicolari. È formulato come segue: per un oggetto piatto di forma arbitraria, il momento di inerzia attorno a un asse perpendicolare ad esso sarà uguale alla somma di due momenti di inerzia attorno a due reciprocamente perpendicolari e giacentinel piano dell'oggetto assi, con tutti e tre gli assi che passano per lo stesso punto. Matematicamente, questo è scritto come segue:
Iz=Ix + Iy
Qui z, x, y sono tre assi di rotazione reciprocamente perpendicolari.
La differenza essenziale tra questo teorema e il teorema di Steiner è che è applicabile solo a oggetti solidi piatti (bidimensionali). Tuttavia, in pratica è molto usato, tagliando mentalmente il corpo in strati separati, e poi sommando i momenti di inerzia ottenuti.
