A giudicare dalla popolarità della richiesta "Teorema di Fermat - una breve dimostrazione", questo problema matematico è davvero di interesse per molti. Questo teorema fu affermato per la prima volta da Pierre de Fermat nel 1637 sul bordo di una copia di Aritmetica, dove affermò di avere una soluzione troppo grande per stare sul bordo.
La prima dimostrazione riuscita è stata pubblicata nel 1995: era la dimostrazione completa del teorema di Fermat di Andrew Wiles. È stato descritto come "progresso sbalorditivo" e ha portato Wiles a ricevere il Premio Abel nel 2016. Sebbene sia stata descritta in modo relativamente breve, la dimostrazione del teorema di Fermat ha anche dimostrato gran parte del teorema della modularità e ha aperto nuovi approcci a numerosi altri problemi e metodi efficaci per sollevare la modularità. Questi risultati hanno fatto avanzare la matematica di 100 anni nel futuro. La dimostrazione del piccolo teorema di Fermat oggi non lo èè qualcosa fuori dall'ordinario.
Il problema irrisolto ha stimolato lo sviluppo della teoria algebrica dei numeri nel 19° secolo e la ricerca di una dimostrazione del teorema della modularità nel 20° secolo. Questo è uno dei teoremi più notevoli nella storia della matematica, e fino alla dimostrazione completa della divisione dell'ultimo teorema di Fermat, era nel Guinness dei primati come "il problema matematico più difficile", una delle cui caratteristiche è che ha il maggior numero di prove non riuscite.
Sfondo storico
Equazione pitagorica x2 + y2=z2 ha un numero infinito di positivi soluzioni intere per x, y e z. Queste soluzioni sono conosciute come trinità pitagoriche. Intorno al 1637, Fermat scrisse a margine del libro che l'equazione più generale a + b =cnon ha soluzioni in numeri naturali se n è un intero maggiore di 2. Sebbene Fermat stesso abbia affermato di avere una soluzione al suo problema, non ha lasciato alcun dettaglio sulla sua dimostrazione. La dimostrazione elementare del teorema di Fermat, rivendicata dal suo creatore, fu piuttosto una sua vanagloriosa invenzione. Il libro del grande matematico francese fu scoperto 30 anni dopo la sua morte. Questa equazione, chiamata Ultimo teorema di Fermat, rimase irrisolta in matematica per tre secoli e mezzo.
Il teorema alla fine divenne uno dei problemi irrisolti più importanti in matematica. I tentativi di dimostrare ciò hanno causato uno sviluppo significativo della teoria dei numeri e con il passaggiotempo, l'ultimo teorema di Fermat divenne noto come un problema irrisolto in matematica.
Una breve storia delle prove
Se n=4, come dimostrato dallo stesso Fermat, basta dimostrare il teorema per indici n numeri primi. Nei due secoli successivi (1637-1839) la congettura fu dimostrata solo per i numeri primi 3, 5 e 7, sebbene Sophie Germain aggiornò e dimostrò un approccio che si applicava all'intera classe dei numeri primi. A metà del XIX secolo, Ernst Kummer lo estese e dimostrò il teorema per tutti i numeri primi regolari, per cui i primi irregolari venivano analizzati individualmente. Basandosi sul lavoro di Kummer e utilizzando sofisticate ricerche informatiche, altri matematici riuscirono ad estendere la soluzione del teorema, con l'obiettivo di coprire tutti i principali esponenti fino a quattro milioni, ma la dimostrazione per tutti gli esponenti non era ancora disponibile (il che significa che i matematici generalmente considerata la soluzione del teorema impossibile, estremamente difficile o irraggiungibile con le attuali conoscenze).
Il lavoro di Shimura e Taniyama
Nel 1955, i matematici giapponesi Goro Shimura e Yutaka Taniyama sospettavano che ci fosse una connessione tra le curve ellittiche e le forme modulari, due rami molto diversi della matematica. Conosciuta all'epoca come congettura di Taniyama-Shimura-Weyl e (in definitiva) come teorema di modularità, esisteva da sola, senza alcuna connessione apparente con l'ultimo teorema di Fermat. Di per sé era ampiamente considerato un importante teorema matematico, ma era considerato (come il teorema di Fermat) impossibile da dimostrare. A quelAllo stesso tempo, la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat (dividendo e applicando formule matematiche complesse) fu effettuata solo mezzo secolo dopo.
Nel 1984, Gerhard Frey notò un'ovvia connessione tra questi due problemi precedentemente non correlati e irrisolti. Una completa conferma che i due teoremi erano strettamente correlati è stata pubblicata nel 1986 da Ken Ribet, che sulla base di una dimostrazione parziale di Jean-Pierre Serra, che ha dimostrato tutte le parti tranne una, nota come "ipotesi epsilon". In parole povere, questi lavori di Frey, Serra e Ribe hanno mostrato che se il teorema di modularità potesse essere dimostrato, almeno per una classe semistabile di curve ellittiche, prima o poi sarebbe stata scoperta anche la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat. Qualsiasi soluzione che possa contraddire l'ultimo teorema di Fermat può essere utilizzata anche per contraddire il teorema di modularità. Pertanto, se il teorema di modularità si è rivelato vero, allora per definizione non può esserci una soluzione che contraddica l'ultimo teorema di Fermat, il che significa che avrebbe dovuto essere dimostrato presto.
Sebbene entrambi i teoremi fossero problemi difficili in matematica, considerati irrisolvibili, il lavoro dei due giapponesi fu il primo suggerimento su come l'ultimo teorema di Fermat potesse essere esteso e dimostrato per tutti i numeri, non solo per alcuni. Importante per i ricercatori che hanno scelto l'argomento di studio è stato il fatto che, contrariamente all'ultimo teorema di Fermat, il teorema di modularità era la principale area attiva di ricerca, per la qualesono state sviluppate prove, e non solo stranezze storiche, quindi il tempo dedicato al suo lavoro potrebbe essere giustificato da un punto di vista professionale. Tuttavia, il consenso generale era che risolvere la congettura Taniyama-Shimura si fosse rivelato inappropriato.
L'ultimo teorema di fattoria: dimostrazione di Wiles
Avendo appreso che Ribet aveva dimostrato la correttezza della teoria di Frey, il matematico inglese Andrew Wiles, interessato all'ultimo teorema di Fermat fin dall'infanzia e che ha esperienza di lavoro con curve ellittiche e domini adiacenti, ha deciso di provare a dimostrare il Taniyama-Shimura La congettura come metodo per dimostrare l'ultimo teorema di Fermat. Nel 1993, sei anni dopo aver annunciato il suo obiettivo, mentre lavorava segretamente al problema della risoluzione del teorema, Wiles riuscì a dimostrare una congettura correlata, che a sua volta lo avrebbe aiutato a dimostrare l'ultimo teorema di Fermat. Il documento di Wiles era enorme per dimensioni e portata.
Un difetto è stato scoperto in una parte del suo articolo originale durante la revisione tra pari e ha richiesto un altro anno di collaborazione con Richard Taylor per risolvere insieme il teorema. Di conseguenza, la dimostrazione finale di Wiles dell'ultimo teorema di Fermat non tardò ad arrivare. Nel 1995 è stato pubblicato su scala molto più piccola rispetto al precedente lavoro matematico di Wiles, a dimostrazione del fatto che non si sbagliava nelle sue precedenti conclusioni sulla possibilità di dimostrare il teorema. Il successo di Wiles è stato ampiamente pubblicizzato sulla stampa popolare e reso popolare in libri e programmi televisivi. Le parti rimanenti della congettura Taniyama-Shimura-Weil, che ora sono state dimostrate enoti come il teorema della modularità, sono stati successivamente dimostrati da altri matematici che si sono basati sul lavoro di Wiles tra il 1996 e il 2001. Per il suo successo, Wiles è stato onorato e ha ricevuto numerosi premi, tra cui l'Abel Prize 2016.
La dimostrazione di Wiles dell'ultimo teorema di Fermat è un caso speciale di risoluzione del teorema di modularità per curve ellittiche. Tuttavia, questo è il caso più famoso di un'operazione matematica su larga scala. Oltre a risolvere il teorema di Ribe, il matematico britannico ottenne anche una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat. L'ultimo teorema di Fermat e il teorema della modularità erano quasi universalmente considerati non dimostrabili dai matematici moderni, ma Andrew Wiles è stato in grado di dimostrare al mondo scientifico che anche gli esperti possono sbagliarsi.
Wyles annunciò per la prima volta la sua scoperta mercoledì 23 giugno 1993 in una conferenza di Cambridge intitolata "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". Tuttavia, nel settembre 1993, si è riscontrato che i suoi calcoli contenevano un errore. Un anno dopo, il 19 settembre 1994, in quello che avrebbe definito "il momento più importante della sua vita lavorativa", Wiles si imbatté in una rivelazione che gli permise di fissare la soluzione del problema al punto da soddisfare le esigenze matematiche comunità.
Descrizione del lavoro
La dimostrazione del teorema di Fermat di Andrew Wiles usa molti metodi dalla geometria algebrica e dalla teoria dei numeri e ha molte ramificazioni in questiaree della matematica. Utilizza anche le costruzioni standard della moderna geometria algebrica, come la categoria degli schemi e la teoria di Iwasawa, così come altri metodi del 20° secolo che non erano disponibili per Pierre de Fermat.
I due articoli che contengono le prove sono lunghi 129 pagine e sono stati scritti nel corso di sette anni. John Coates ha descritto questa scoperta come una delle più grandi conquiste della teoria dei numeri e John Conway l'ha definita la più grande conquista matematica del 20° secolo. Wiles, al fine di dimostrare l'ultimo teorema di Fermat dimostrando il teorema di modularità per il caso speciale di curve ellittiche semistabili, ha sviluppato potenti metodi per sollevare la modularità e ha aperto nuovi approcci a numerosi altri problemi. Per aver risolto l'ultimo teorema di Fermat, fu nominato cavaliere e ricevette altri premi. Quando si seppe che Wiles aveva vinto il Premio Abel, l'Accademia norvegese delle scienze descrisse il suo successo come "una dimostrazione deliziosa ed elementare dell'ultimo teorema di Fermat".
Com'era
Una delle persone che ha esaminato il manoscritto originale di Wiles con la soluzione del teorema era Nick Katz. Nel corso della sua recensione, ha posto al britannico una serie di domande chiarificatrici che hanno portato Wiles ad ammettere che il suo lavoro contiene chiaramente una lacuna. In una parte critica della dimostrazione è stato commesso un errore che ha fornito una stima dell'ordine di un particolare gruppo: il sistema di Eulero utilizzato per estendere il metodo di Kolyvagin e Flach era incompleto. L'errore, tuttavia, non ha reso inutile il suo lavoro: ogni pezzo del lavoro di Wiles era di per sé molto significativo e innovativo, come lo erano moltisviluppi e metodi che creò nel corso della sua opera e che interessarono solo una parte del manoscritto. Tuttavia, questo lavoro originale, pubblicato nel 1993, non aveva realmente una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat.
Wyles ha trascorso quasi un anno cercando di riscoprire una soluzione al teorema, prima da solo e poi in collaborazione con il suo ex studente Richard Taylor, ma tutto sembrava essere vano. Entro la fine del 1993, erano circolate voci secondo cui la prova di Wiles aveva fallito nei test, ma non si sapeva quanto fosse grave quel fallimento. I matematici iniziarono a fare pressioni su Wiles affinché rivelasse i dettagli del suo lavoro, indipendentemente dal fatto che fosse stato fatto o meno, in modo che la più ampia comunità di matematici potesse esplorare e utilizzare qualsiasi cosa fosse in grado di ottenere. Invece di correggere rapidamente il suo errore, Wiles ha scoperto solo ulteriori aspetti difficili nella dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat e alla fine si è reso conto di quanto fosse difficile.
Wyles afferma che la mattina del 19 settembre 1994 era sul punto di arrendersi e di arrendersi, ed era quasi rassegnato a fallire. Era pronto a pubblicare il suo lavoro incompiuto in modo che altri potessero basarsi su di esso e scoprire dove si sbagliava. Il matematico inglese decise di darsi un'ultima possibilità e analizzò il teorema per l'ultima volta per cercare di capire i motivi principali per cui il suo approccio non funzionava, quando improvvisamente si rese conto che l'approccio di Kolyvagin-Flac non avrebbe funzionato finché non avesseincluderà anche la teoria di Iwasawa nel processo di dimostrazione, facendola funzionare.
Il 6 ottobre Wiles chiese a tre colleghi (incluso F altins) di rivedere il suo nuovo lavoro e il 24 ottobre 1994 presentò due manoscritti: "Curve ellittiche modulari e ultimo teorema di Fermat" e "Proprietà teoriche del anello di alcune algebre di Hecke", il secondo dei quali Wiles ha scritto insieme a Taylor e ha dimostrato che alcune condizioni erano soddisfatte per giustificare il passaggio corretto nell'articolo principale.
Questi due articoli sono stati esaminati e infine pubblicati come edizione full-text negli Annals of Mathematics del maggio 1995. I nuovi calcoli di Andrew furono ampiamente analizzati e alla fine accettati dalla comunità scientifica. In questi articoli è stato stabilito il teorema di modularità per curve ellittiche semistabili, l'ultimo passo verso la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, 358 anni dopo la sua creazione.
Storia del grande problema
Risolvere questo teorema è stato considerato il più grande problema in matematica per molti secoli. Nel 1816 e nel 1850 l'Accademia francese delle scienze offrì un premio per una dimostrazione generale dell'ultimo teorema di Fermat. Nel 1857 l'Accademia assegnò 3.000 franchi e una medaglia d'oro a Kummer per le sue ricerche sui numeri ideali, sebbene non si candidò per il premio. Un altro premio gli fu offerto nel 1883 dall'Accademia di Bruxelles.
Premio Wolfskell
Nel 1908, l'industriale e matematico dilettante tedesco Paul Wolfskel lasciò in eredità 100.000 marchi d'oro (una grande quantità per quel tempo)Accademia delle Scienze di Gottinga, in modo che questo denaro diventi un premio per la dimostrazione completa dell'ultimo teorema di Fermat. Il 27 giugno 1908, l'Accademia pubblicò nove regole di aggiudicazione. Tra le altre cose, queste regole richiedevano che la prova fosse pubblicata in una rivista peer-reviewed. Il premio doveva essere assegnato solo due anni dopo la pubblicazione. Il concorso doveva scadere il 13 settembre 2007, circa un secolo dopo l'inizio. Il 27 giugno 1997, Wiles ha ricevuto il premio in denaro di Wolfschel e poi altri $ 50.000. Nel marzo 2016, ha ricevuto 600.000 euro dal governo norvegese come parte del Premio Abel per "una straordinaria dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat con l'aiuto della congettura di modularità per curve ellittiche semistabili, aprendo una nuova era nella teoria dei numeri". Fu il trionfo mondiale dell'umile inglese.
Prima della dimostrazione di Wiles, il teorema di Fermat, come accennato in precedenza, era considerato per secoli assolutamente irrisolvibile. Migliaia di prove errate in vari momenti sono state presentate al comitato di Wolfskell, per un importo di circa 10 piedi (3 metri) di corrispondenza. Solo nel primo anno di esistenza del premio (1907-1908) furono presentate 621 domande che pretendevano di risolvere il teorema, sebbene negli anni '70 il loro numero fosse sceso a circa 3-4 domande al mese. Secondo F. Schlichting, revisore di Wolfschel, la maggior parte delle prove si basava su metodi elementari insegnati nelle scuole ed era spesso presentata come "persone con un background tecnico ma carriere senza successo". Secondo lo storico della matematica Howard Aves, l'ultimoIl teorema di Fermat ha stabilito una sorta di record: questo è il teorema con il maggior numero di dimostrazioni errate.
Gli allori di Farm sono andati ai giapponesi
Come accennato in precedenza, intorno al 1955, i matematici giapponesi Goro Shimura e Yutaka Taniyama scoprirono una possibile connessione tra due rami apparentemente completamente diversi della matematica: curve ellittiche e forme modulari. Il teorema di modularità risultante (allora noto come congettura di Taniyama-Shimura) afferma che ogni curva ellittica è modulare, il che significa che può essere associata a una forma modulare unica.
La teoria è stata inizialmente liquidata come improbabile o altamente speculativa, ma è stata presa più sul serio quando il teorico dei numeri André Weil ha trovato prove a sostegno delle conclusioni giapponesi. Di conseguenza, l'ipotesi è stata spesso definita ipotesi di Taniyama-Shimura-Weil. È entrata a far parte del programma Langlands, che è un elenco di ipotesi importanti che devono essere dimostrate in futuro.
Anche dopo un attento esame, la congettura è stata riconosciuta dai matematici moderni come estremamente difficile, o forse inaccessibile alla dimostrazione. Ora questo particolare teorema attende il suo Andrew Wiles, che potrebbe sorprendere il mondo intero con la sua soluzione.
Teorema di Fermat: dimostrazione di Perelman
Nonostante il mito popolare, il matematico russo Grigory Perelman, nonostante tutto il suo genio, non ha nulla a che fare con il teorema di Fermat. Il che, tuttavia, non le toglie nulla.numerosi contributi alla comunità scientifica.
