Alcuni problemi di matematica richiedono la capacità di calcolare la radice quadrata. Questi problemi includono la risoluzione di equazioni del secondo ordine. In questo articolo, presentiamo un metodo efficace per calcolare le radici quadrate e lo utilizziamo quando si lavora con le formule per le radici di un'equazione quadratica.
Cos'è una radice quadrata?
In matematica, questo concetto corrisponde al simbolo √. I dati storici dicono che iniziò ad essere utilizzato per la prima volta intorno alla prima metà del XVI secolo in Germania (la prima opera tedesca sull'algebra di Christoph Rudolf). Gli scienziati ritengono che questo simbolo sia una lettera latina trasformata r (radice significa "radice" in latino).
La radice di qualsiasi numero è uguale a tale valore, il cui quadrato corrisponde all'espressione radice. Nel linguaggio della matematica, questa definizione sarà simile a questa: √x=y se y2=x.
Anche la radice di un numero positivo (x > 0)un numero positivo (y > 0), ma se la radice è presa da un numero negativo (x < 0), allora il suo risultato sarà già un numero complesso, inclusa l'unità immaginaria i.
Ecco due semplici esempi:
√9=3 perché 32 =9; √(-9)=3i perché i2=-1.
Formula iterativa di Heron per trovare le radici quadrate
Gli esempi sopra sono molto semplici e calcolarne le radici non è difficile. Le difficoltà iniziano già a comparire quando si trovano i valori radice per qualsiasi valore che non può essere rappresentato come un quadrato di un numero naturale, ad esempio √10, √11, √12, √13, per non parlare del fatto che in pratica è necessario trovare le radici per i numeri non interi: ad esempio √(12, 15), √(8, 5) e così via.
In tutti i casi precedenti, dovrebbe essere utilizzato un metodo speciale per calcolare la radice quadrata. Attualmente sono noti molti di questi metodi: ad esempio, espansione in una serie di Taylor, divisione per colonna e alcuni altri. Di tutti i metodi conosciuti, forse il più semplice ed efficace è l'uso della formula iterativa di Heron, nota anche come metodo babilonese per determinare le radici quadrate (ci sono prove che gli antichi babilonesi lo usassero nei loro calcoli pratici).
Sia necessario determinare il valore di √x. La formula per trovare la radice quadrata è la seguente:
an+1=1/2(a+x/a), dove limn->∞(a)=> x.
Decifra questa notazione matematica. Per calcolare √x, dovresti prendere un numero a0 (può essere arbitrario, ma per un risultato rapido, dovresti sceglierlo in modo tale che (a0) 2 era il più vicino possibile a x, quindi sostituiscilo nella formula della radice quadrata specificata e ottieni un nuovo numero a1, che sarà già essere più vicino al valore desiderato è necessario sostituire a1 nell'espressione e ottenere a2 Questa procedura deve essere ripetuta fino ad ottenere la precisione richiesta.
Un esempio di applicazione della formula iterativa di Heron
L'algoritmo sopra descritto per ottenere la radice quadrata di un dato numero può suonare abbastanza complicato e confondere per molti, ma in re altà tutto risulta essere molto più semplice, poiché questa formula converge molto velocemente (soprattutto se un numero fortunato viene scelto a0).
Facciamo un semplice esempio: dobbiamo calcolare √11. Scegliamo a0=3, poiché 32=9, che è più vicino a 11 che a 42=16. Sostituendo nella formula, otteniamo:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 3/11, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Non ha senso continuare i calcoli, poiché abbiamo ottenuto che a2 e a3 iniziano a differire solo nel 5° decimale posto. Quindi, è stato sufficiente applicare solo 2 volte la formula acalcola √11 entro 0,0001.
Attualmente, calcolatrici e computer sono ampiamente utilizzati per calcolare le radici, tuttavia, è utile ricordare la formula contrassegnata per poter calcolare manualmente il loro valore esatto.
Equazioni del secondo ordine
Capire cos'è una radice quadrata e la capacità di calcolarla viene utilizzata quando si risolvono equazioni quadratiche. Queste equazioni sono uguaglianze con un'incognita, la cui forma generale è mostrata nella figura seguente.
Qui c, b e a sono alcuni numeri, e a non deve essere uguale a zero, e i valori di c e b possono essere del tutto arbitrari, incluso zero.
Qualsiasi valore di x che soddisfi l'uguaglianza indicata in figura è chiamato radice (questo concetto non va confuso con la radice quadrata √). Poiché l'equazione in esame ha il 2° ordine (x2), non possono esserci più di due numeri per le sue radici. Diamo un'occhiata a come trovare queste radici più avanti nell'articolo.
Trovare le radici di un'equazione quadratica (formula)
Questo metodo per risolvere il tipo di uguaglianza considerato è anche chiamato universale, ovvero il metodo attraverso il discriminante. Può essere applicato a qualsiasi equazione quadratica. La formula per il discriminante e le radici dell'equazione quadratica è la seguente:
Mostra che le radici dipendono dal valore di ciascuno dei tre coefficienti dell'equazione. Inoltre, il calcolox1 differisce dal calcolo x2 solo per il segno prima della radice quadrata. L'espressione radicale, che è uguale a b2 - 4ac, non è altro che il discriminante dell'uguaglianza considerata. Il discriminante nella formula per le radici di un'equazione quadratica gioca un ruolo importante perché determina il numero e il tipo di soluzioni. Quindi, se è zero, allora ci sarà solo una soluzione, se è positiva, allora l'equazione ha due radici reali, infine, il discriminante negativo porta a due radici complesse x1 e x 2.
Teorema di Vieta o alcune proprietà delle radici delle equazioni del secondo ordine
Alla fine del XVI secolo, uno dei fondatori dell'algebra moderna, il francese Francois Viet, studiando equazioni del secondo ordine, riuscì ad ottenere le proprietà delle sue radici. Matematicamente, possono essere scritti in questo modo:
x1 + x2=-b / a e x1 x 2=c / la.
Entrambe le uguaglianze sono facilmente ottenibili da chiunque, per questo è sufficiente eseguire le opportune operazioni matematiche con le radici ottenute tramite la formula con il discriminante.
La combinazione di queste due espressioni può essere giustamente chiamata la seconda formula delle radici di un'equazione quadratica, che permette di indovinarne le soluzioni senza utilizzare il discriminante. Va notato qui che sebbene entrambe le espressioni siano sempre valide, è conveniente usarle per risolvere un'equazione solo se può essere fattorizzata.
Il compito di consolidare le conoscenze acquisite
Risolviamo un problema matematico in cui dimostreremo tutte le tecniche discusse nell'articolo. Le condizioni del problema sono le seguenti: devi trovare due numeri per i quali il prodotto è -13 e la somma è 4.
Questa condizione ricorda subito il teorema di Vieta, applicando le formule per la somma delle radici quadrate e del loro prodotto, scriviamo:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / la=-13.
Assumendo a=1, allora b=-4 e c=-13. Questi coefficienti ci permettono di scrivere un'equazione del secondo ordine:
x2 - 4x - 13=0.
Utilizza la formula con il discriminante, otteniamo le seguenti radici:
x1, 2=(4 ± √RE)/2, RE=16 - 41(-13)=68.
Cioè, il compito è stato ridotto a trovare il numero √68. Nota che 68=417, quindi usando la proprietà della radice quadrata, otteniamo: √68=2√17.
Ora usiamo la formula della radice quadrata considerata: a0=4, quindi:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Non è necessario calcolare a3 perché i valori trovati differiscono solo di 0,02. Quindi, √68=8,246. Sostituendolo nella formula per x 1, 2, otteniamo:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 e x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Come puoi vedere, la somma dei numeri trovati è infatti 4, ma se trovi il loro prodotto, sarà uguale a -12,999, che soddisfa la condizione del problema con una precisione di 0,001.
