Radice quadrata aritmetica e sue proprietà

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-17 05:31

Abbiamo tutti studiato le radici quadrate aritmetiche a lezione di algebra a scuola. Succede che se la conoscenza non viene aggiornata, viene rapidamente dimenticata, lo stesso con le radici. Questo articolo sarà utile per gli studenti dell'ottavo anno che vogliono aggiornare le loro conoscenze in quest'area e altri studenti, perché lavoriamo con le radici nelle classi 9, 10 e 11.

Storia della radice e del grado

Anche nei tempi antichi, e in particolare nell'antico Egitto, le persone avevano bisogno di diplomi per eseguire operazioni sui numeri. Quando non esisteva un tale concetto, gli egiziani annotavano il prodotto dello stesso numero venti volte. Ma presto fu inventata una soluzione al problema: il numero di volte in cui il numero doveva essere moltiplicato per se stesso cominciò a essere scritto nell'angolo in alto a destra sopra di esso, e questa forma di registrazione è sopravvissuta fino ad oggi.

E la storia della radice quadrata iniziò circa 500 anni fa. Fu designato in modi diversi, e solo nel diciassettesimo secolo René Descartes introdusse un tale segno, che usiamo ancora oggi.

Cos'è una radice quadrata

Iniziamo spiegando cos'è una radice quadrata. La radice quadrata di un certo numero c è un numero non negativo che, al quadrato, sarà uguale a c. In questo caso, c è maggiore o uguale a zero.

Per portare un numero sotto la radice, lo facciamo al quadrato e vi mettiamo sopra il segno della radice:

32=9, 3=√9

Inoltre, non possiamo ottenere il valore della radice quadrata di un numero negativo, poiché qualsiasi numero in un quadrato è positivo, ovvero:

c² ≧ 0, se √c è un numero negativo, allora c^{2 < 0 - contrariamente alla regola.}

Per calcolare rapidamente le radici quadrate, devi conoscere la tabella dei quadrati dei numeri.

Proprietà

Consideriamo le proprietà algebriche della radice quadrata.

1) Per estrarre la radice quadrata del prodotto, devi prendere la radice di ogni fattore. Cioè, può essere scritto come il prodotto delle radici dei fattori:

√ac=√a × √c, ad esempio:

√36=√4 × √9

2) Quando si estrae una radice da una frazione, è necessario estrarre la radice separatamente dal numeratore e dal denominatore, ovvero scriverla come quoziente delle loro radici.

3) Il valore ottenuto prendendo la radice quadrata di un numero è sempre uguale al modulo di questo numero, poiché il modulo può essere solo positivo:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Per elevare una radice a qualsiasi potere, innalziamo ad essoespressione radicale:

(√с)⁴=√с^{4, ad esempio:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) Il quadrato della radice aritmetica di c è uguale a questo numero stesso:

(√s)2=s.

Radici dei numeri irrazionali

Diciamo che la radice di sedici è facile, ma come prendere la radice di numeri come 7, 10, 11?

Un numero la cui radice è una frazione infinita non periodica è detto irrazionale. Non possiamo estrarne la radice da soli. Possiamo solo confrontarlo con altri numeri. Ad esempio, prendi la radice di 5 e confrontala con √4 e √9. È chiaro che √4 < √5 < √9, quindi 2 < √5 < 3. Ciò significa che il valore della radice di cinque è compreso tra due e tre, ma ci sono molte frazioni decimali tra di loro, e scegliere ciascuno è un modo discutibile per trovare la radice.

Puoi eseguire questa operazione su una calcolatrice: questo è il modo più semplice e veloce, ma in terza media non ti verrà mai richiesto di estrarre numeri irrazionali dalla radice quadrata aritmetica. Devi solo ricordare i valori approssimativi della radice di due e della radice di tre:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Esempi

Ora, in base alle proprietà della radice quadrata, risolveremo diversi esempi:

1) √17² - 8²

Ricorda la formula per la differenza dei quadrati:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Conosciamo la proprietà della radice aritmetica quadrata - per estrarre la radice dal prodotto, devi estrarla da ogni fattore:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Applica un' altra proprietà della radice - il quadrato della radice aritmetica di un numero è uguale a questo numero stesso:

2 × 3 + 6=12

Importante! Spesso, quando iniziano a lavorare e risolvere esempi con radici quadrate aritmetiche, gli studenti commettono il seguente errore:

√12 + 3=√12 + √3 - non puoi farlo!

Non possiamo prendere la radice di ogni termine. Non esiste una regola del genere, ma è confusa con la radice di ogni fattore. Se avessimo questa voce:

√12 × 3, allora sarebbe corretto scrivere √12 × 3=√12 × √3.

E quindi possiamo solo scrivere:

√12 + 3=√15