Le equazioni quadririche compaiono spesso in una serie di problemi di matematica e fisica, quindi ogni studente dovrebbe essere in grado di risolverle. Questo articolo descrive in dettaglio i metodi principali per risolvere le equazioni quadratiche e fornisce anche esempi del loro utilizzo.
Quale equazione si chiama quadratica
Prima di tutto, risponderemo alla domanda di questo paragrafo per capire meglio di cosa tratterà l'articolo. Quindi, l'equazione quadratica ha la seguente forma generale: c + bx+ax2=0, dove a, b, c sono alcuni numeri, che sono chiamati coefficienti. Qui a≠0 è una condizione obbligatoria, altrimenti l'equazione indicata degenera in una lineare. I coefficienti rimanenti (b, c) possono assumere qualsiasi valore, compreso lo zero. Pertanto, espressioni come ax2=0, dove b=0 e c=0, oppure c+ax2=0, dove b=0, oppure bx+ax2=0, dove c=0 sono anche equazioni quadratiche, che sono dette incomplete, poiché o il coefficiente lineare b in esse è zero o zeroè un termine libero c, oppure svaniscono entrambi.
Un'equazione in cui a=1 è chiamata ridotta, cioè ha la forma: x2 + с/a + (b/a)x=0.
La soluzione di un'equazione quadratica è trovare tali valori x che soddisfino la sua uguaglianza. Questi valori sono chiamati radici. Poiché l'equazione in esame è un'espressione di secondo grado, ciò significa che il numero massimo delle sue radici non può superare due.
Quali metodi esistono per risolvere le equazioni quadrate
In generale, ci sono 4 metodi di soluzione. I loro nomi sono elencati di seguito:
- Stato in fattori.
- Aggiunta al quadrato.
- Usare una formula nota (tramite il discriminante).
- Il metodo di soluzione è geometrico.
Come puoi vedere dall'elenco sopra, i primi tre metodi sono algebrici, quindi sono usati più spesso dell'ultimo, che implica il tracciamento di una funzione.
C'è un altro modo per risolvere le equazioni quadrate usando il teorema di Vieta. Potrebbe essere incluso 5° nell'elenco sopra, tuttavia, ciò non è fatto, poiché il teorema di Vieta è una semplice conseguenza del 3° metodo.
Più avanti nell'articolo considereremo più in dettaglio i metodi di soluzione indicati e forniremo anche esempi del loro uso per trovare le radici di equazioni specifiche.
Metodo 1. Fattorizzazione
Per questo metodo nella matematica delle equazioni quadratiche, c'è un bellissimonome: fattorizzazione. L'essenza di questo metodo è la seguente: è necessario presentare l'equazione quadratica come prodotto di due termini (espressioni), che devono essere uguali a zero. Dopo tale rappresentazione, puoi utilizzare la proprietà del prodotto, che sarà uguale a zero solo quando uno o più (tutti) dei suoi membri sono zero.
Ora considera la sequenza di azioni specifiche che devono essere eseguite per trovare le radici dell'equazione:
- Sposta tutti i membri in una parte dell'espressione (ad esempio, a sinistra) in modo che solo 0 rimanga nell' altra parte (a destra).
- Rappresenta la somma dei termini in una parte dell'equazione come prodotto di due equazioni lineari.
- Imposta ciascuna delle espressioni lineari a zero e risolvile.
Come puoi vedere, l'algoritmo di fattorizzazione è abbastanza semplice, tuttavia, la maggior parte degli studenti ha difficoltà durante l'implementazione del 2° punto, quindi lo spiegheremo più in dettaglio.
Per indovinare quali 2 espressioni lineari, moltiplicate tra loro, daranno l'equazione quadratica desiderata, devi ricordare due semplici regole:
- I coefficienti lineari di due espressioni lineari, quando moltiplicati tra loro, dovrebbero dare il primo coefficiente dell'equazione quadratica, ovvero il numero a.
- I termini liberi delle espressioni lineari, quando moltiplicati, dovrebbero dare il numero c dell'equazione desiderata.
Dopo che tutti i numeri di fattori sono stati selezionati, devono essere moltiplicati e, se danno l'equazione desiderata, andare al passaggio 3 inl'algoritmo sopra, altrimenti dovresti cambiare i moltiplicatori, ma devi farlo in modo che le regole di cui sopra siano sempre seguite.
Esempio di soluzione con metodo di fattorizzazione
Mostriamo chiaramente come l'algoritmo per risolvere un'equazione quadratica è comporre e trovare radici sconosciute. Sia data un'espressione arbitraria, ad esempio, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Passiamo alla sua soluzione, osservando la sequenza di punti da 1 a 3, che sono riportati nel paragrafo precedente dell'articolo.
Elemento 1. Sposta tutti i termini sul lato sinistro e disponili nella sequenza classica per un'equazione quadratica. Abbiamo la seguente uguaglianza: 2x+(-8)+x2=0.
Articolo 2. Lo scomponiamo in un prodotto di equazioni lineari. Poiché a=1 e c=-8, selezioneremo, ad esempio, un tale prodotto (x-2)(x+4). Soddisfa le regole per la ricerca dei fattori attesi di cui al paragrafo precedente. Se apriamo le parentesi, otteniamo: -8+2x+x2, ovvero otteniamo esattamente la stessa espressione del lato sinistro dell'equazione. Ciò significa che abbiamo indovinato correttamente i moltiplicatori e possiamo procedere al 3° passaggio dell'algoritmo.
Elemento 3. Uguaglia ogni fattore a zero, otteniamo: x=-4 e x=2.
Se ci sono dubbi sul risultato, si consiglia di verificare sostituendo le radici trovate nell'equazione originale. In questo caso abbiamo: 22+22-8=0 e 2(-4)+(-4)2 -8=0. Radici trovate correttamente.
Quindi, usando il metodo della fattorizzazione, abbiamo trovato che l'equazione data ha due radici diha: 2 e -4.
Metodo 2. Complemento al quadrato completo
Nell'algebra delle equazioni quadrate non è sempre possibile utilizzare il metodo del moltiplicatore, poiché nel caso di valori frazionari dei coefficienti dell'equazione quadratica sorgono difficoltà nell'implementazione del paragrafo 2 dell'algoritmo.
Il metodo del quadrato completo, a sua volta, è universale e può essere applicato a equazioni quadratiche di qualsiasi tipo. La sua essenza è eseguire le seguenti operazioni:
- I termini dell'equazione contenente i coefficienti aeb devono essere trasferiti in una parte dell'equazione e il termine libero c nell' altra.
- Successivamente, le parti dell'uguaglianza (destra e sinistra) devono essere divise per il coefficiente a, ovvero presentare l'equazione in forma ridotta (a=1).
- Somma i termini con coefficienti aeb da rappresentare come un quadrato di un'equazione lineare. Poiché a \u003d 1, il coefficiente lineare sarà uguale a 1, come per il termine libero dell'equazione lineare, quindi dovrebbe essere uguale alla metà del coefficiente lineare dell'equazione quadratica ridotta. Dopo aver redatto il quadrato dell'espressione lineare, è necessario sommare il numero corrispondente alla parte destra dell'uguaglianza, dove si trova il termine libero, che si ottiene espandendo il quadrato.
- Prendi la radice quadrata con i segni "+" e "-" e risolvi l'equazione lineare già ottenuta.
L'algoritmo descritto può a prima vista essere percepito come piuttosto complicato, tuttavia, in pratica è più facile da implementare rispetto al metodo di fattorizzazione.
Un esempio di soluzione che utilizza il complemento quadrato completo
Diamo un esempio di un'equazione quadratica per addestrare la sua soluzione con il metodo descritto nel paragrafo precedente. Sia data l'equazione quadratica -10 - 6x+5x2=0. Iniziamo a risolverla seguendo l'algoritmo sopra descritto.
Elemento 1. Usiamo il metodo di trasferimento quando risolviamo equazioni quadrate, otteniamo: - 6x+5x2=10.
Punto 2. La forma ridotta di questa equazione si ottiene dividendo per il numero 5 di ciascuno dei suoi membri (se entrambe le parti sono divise o moltiplicate per lo stesso numero, l'uguaglianza sarà preservata). Come risultato delle trasformazioni, otteniamo: x2 - 6/5x=2.
Articolo 3. Metà del coefficiente - 6/5 è -6/10=-3/5, usa questo numero per completare il quadrato, otteniamo: (-3/5+x) 2 . Lo espandiamo e il termine libero risultante dovrebbe essere sottratto dal lato sinistro dell'uguaglianza per soddisfare la forma originale dell'equazione quadratica, che equivale ad aggiungerlo al lato destro. Di conseguenza, otteniamo: (-3/5+x)2=59/25.
Punto 4. Calcola la radice quadrata con segni positivi e negativi e trova le radici: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Le due radici trovate hanno i seguenti valori: x1=(√59+3)/5 e x1=(3-√59)/5.
Poiché i calcoli eseguiti sono relativi alle radici, c'è un' alta probabilità di sbagliare. Pertanto, si raccomanda di verificare la correttezza delle radici x2 e x1. Otteniamo per x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Sostituisci orax2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Così, abbiamo mostrato che le radici trovate dell'equazione sono vere.
Metodo 3. Applicazione della nota formula
Questo metodo per risolvere le equazioni quadratiche è forse il più semplice, poiché consiste nel sostituire i coefficienti in una formula nota. Per usarlo, non è necessario pensare a compilare algoritmi di soluzione, è sufficiente ricordare una sola formula. È mostrato nell'immagine sopra.
In questa formula, l'espressione radicale (b2-4ac) è chiamata discriminante (D). Dal suo valore dipende da quali radici si ottengono. Ci sono 3 casi:
- D>0, quindi la radice due ha equazioni reali e diverse.
- D=0, si ottiene la radice, che può essere calcolata dall'espressione x=-b/(a2).
- D<0, quindi ottieni due diverse radici immaginarie, che sono rappresentate come numeri complessi. Ad esempio, il numero 3-5i è complesso, mentre l'unità immaginaria i soddisfa la proprietà: i2=-1.
Un esempio di soluzione calcolando il discriminante
Diamo un esempio di un'equazione quadratica per esercitarsi usando la formula sopra. Trova le radici per -3x2-6+3x+4x=0. Per prima cosa, calcola il valore del discriminante, otteniamo: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Poiché si ottiene D<0, significa che le radici dell'equazione considerata sono numeri complessi. Troviamoli sostituendo il valore trovato D nella formula data nel paragrafo precedente (è mostrato anche nella foto sopra). Otteniamo: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metodo 4. Utilizzo del grafico delle funzioni
È anche chiamato il metodo grafico per risolvere le equazioni quadrate. Va detto che, di regola, viene utilizzato non per l'analisi quantitativa, ma per quella qualitativa dell'equazione in esame.
L'essenza del metodo è tracciare una funzione quadratica y=f(x), che è una parabola. Quindi, è necessario determinare in quali punti la parabola interseca l'asse x (X), saranno le radici dell'equazione corrispondente.
Per sapere se una parabola intersecherà l'asse X, basta conoscere la posizione del suo minimo (massimo) e la direzione dei suoi rami (possono aumentare o diminuire). Ci sono due proprietà di questa curva da ricordare:
- Se a>0 - le parabole del ramo sono rivolte verso l' alto, al contrario, se a<0, allora scendono.
- La coordinata minima (massima) di una parabola è sempre x=-b/(2a).
Ad esempio, devi determinare se l'equazione -4x+5x2+10=0. La parabola corrispondente sarà diretta verso l' alto, poiché a=5>0. Il suo estremo ha coordinate: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Poiché il minimo della curva si trova sopra l'asse x (y=9, 2), quindi non interseca quest'ultimo per nessunx valori. Cioè, l'equazione data non ha radici reali.
Teorema di Vieta
Come notato sopra, questo teorema è una conseguenza del metodo n. 3, che si basa sull'applicazione di una formula con un discriminante. L'essenza del teorema di Vieta è che consente di collegare i coefficienti dell'equazione e le sue radici nell'uguaglianza. Otteniamo le uguaglianze corrispondenti.
Usiamo la formula per calcolare le radici attraverso il discriminante. Sommando due radici, otteniamo: x1+x2=-b/a. Ora moltiplichiamo le radici tra loro: x1x2, dopo una serie di semplificazioni otteniamo il numero c/a.
Quindi, per risolvere le equazioni quadratiche del teorema di Vieta, puoi usare le due uguaglianze ottenute. Se tutti e tre i coefficienti di un'equazione sono noti, allora le radici possono essere trovate risolvendo il sistema appropriato di queste due equazioni.
Un esempio di utilizzo del teorema di Vieta
Devi scrivere un'equazione quadratica se sai che ha la forma x2+c=-bx e le sue radici sono 3 e -4.
Poiché a=1 nell'equazione in esame, le formule Vieta saranno simili a: x2+x1=-b e x2x1=p. Sostituendo i valori noti delle radici, otteniamo: b=1 e c=-12. Di conseguenza, l'equazione quadratica ridotta ripristinata sarà simile a: x2-12=-1x. Puoi sostituire il valore delle radici in esso e assicurarti che l'uguaglianza sia valida.
Applicazione inversa del teorema di Vieta, ovvero il calcolo delle radici performa nota dell'equazione, consente ai piccoli interi a, b e c di trovare rapidamente (intuitivamente) soluzioni.
