Il mondo è organizzato in modo tale che la soluzione di un gran numero di problemi si riduce alla ricerca delle radici di un'equazione quadratica. Le radici delle equazioni sono importanti per descrivere vari modelli. Questo era noto anche ai geometri dell'antica Babilonia. Anche astronomi e ingegneri sono stati costretti a risolvere tali problemi. Nel VI secolo d. C., lo scienziato indiano Aryabhata sviluppò le basi per trovare le radici di un'equazione quadratica. Le formule furono completate nel 19° secolo.
Concetti generali
Ti invitiamo a familiarizzare con le regolarità di base delle uguaglianze quadratiche. In generale, l'uguaglianza può essere scritta come segue:
ax2 + bx + c=0, Il numero di radici di un'equazione quadratica può essere uguale a uno o due. Una rapida analisi può essere fatta usando il concetto di discriminante:
Re=b2 - 4ac
A seconda del valore calcolato, otteniamo:
- Quando D > 0 ci sono due radici diverse. La formula generale per determinare le radici di un'equazione quadratica è simile a (-b± √D) / (2a).
- D=0, in questo caso la radice è uno e corrisponde al valore x=-b / (2a)
- D < 0, per un valore negativo del discriminante, non c'è soluzione all'equazione.
Nota: se il discriminante è negativo, l'equazione non ha radici solo nella regione dei numeri reali. Se l'algebra è estesa al concetto di radici complesse, l'equazione ha una soluzione.
Diamo una catena di azioni che conferma la formula per trovare le radici.
Dalla forma generale dell'equazione, segue:
ascia2 + bx=-c
Moltiplichiamo le parti destra e sinistra per 4a e aggiungiamo b2, otteniamo
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Trasforma il lato sinistro nel quadrato del polinomio (2ax + b)2. Estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri dell'equazione 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), trasferiamo il coefficiente b a destra, otteniamo:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Da qui segue:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Cosa era necessario per mostrare.
Caso speciale
In alcuni casi, la soluzione del problema può essere semplificata. Quindi, per un coefficiente pari b otteniamo una formula più semplice.
Indica k=1/2b, quindi la formula della forma generale delle radici dell'equazione quadratica assume la forma:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Quando D=0, otteniamo x=-k / a
Un altro caso speciale è la soluzione dell'equazione con a=1.
Per la forma x2 + bx + c=0 le radici saranno x=-k ± √(k2 - c) con discriminante maggiore di 0. Nel caso in cui D=0, la radice sarà determinata da una semplice formula: x=-k.
Usa i grafici
Qualsiasi persona, senza nemmeno saperlo, si trova costantemente di fronte a fenomeni fisici, chimici, biologici e persino sociali che sono ben descritti da una funzione quadratica.
Nota: la curva costruita sulla base di una funzione quadratica si chiama parabola.
Ecco alcuni esempi.
- Quando si calcola la traiettoria di un proiettile, viene utilizzata la proprietà del movimento lungo una parabola di un corpo sparato ad angolo rispetto all'orizzonte.
- La proprietà di una parabola di distribuire uniformemente il carico è ampiamente utilizzata in architettura.
Capendo l'importanza della funzione parabolica, vediamo come utilizzare il grafico per esplorarne le proprietà, utilizzando i concetti di "discriminante" e "radici di un'equazione quadratica".
A seconda del valore dei coefficienti aeb, ci sono solo sei opzioni per la posizione della curva:
- Il discriminante è positivo, aeb hanno segni diversi. I rami della parabola guardano in alto, l'equazione quadratica ha due soluzioni.
- Discriminante e il coefficiente b sono uguali a zero, il coefficiente a è maggiore di zero. Il grafico è nella zona positiva, l'equazione ha 1 radice.
- Il discriminante e tutti i coefficienti sono positivi. L'equazione quadratica non ha soluzione.
- Discriminante e coefficiente a sono negativi, b è maggiore di zero. I rami del grafico sono diretti verso il basso, l'equazione ha due radici.
- Discriminante eil coefficiente b è uguale a zero, il coefficiente a è negativo. La parabola guarda in basso, l'equazione ha una radice.
- I valori del discriminante e di tutti i coefficienti sono negativi. Non ci sono soluzioni, i valori della funzione sono completamente in zona negativa.
Nota: l'opzione a=0 non è considerata, poiché in questo caso la parabola degenera in una retta.
Tutto quanto sopra è ben illustrato dalla figura seguente.
Esempi di problem solving
Condizione: utilizzando le proprietà generali, crea un'equazione quadratica le cui radici sono uguali tra loro.
Soluzione:
secondo la condizione del problema x1 =x2, oppure -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Semplificazione della notazione:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, apri le parentesi e dai termini simili. L'equazione diventa 2√(b2 - 4ac)=0. Questa affermazione è vera quando b2 - 4ac=0, quindi b 2=4ac, quindi il valore b=2√(ac) viene sostituito nell'equazione
ax2 + 2√(ac)x + c=0, nella forma ridotta otteniamo x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Risposta:
per a diverso da 0 e qualsiasi c, esiste una sola soluzione se b=2√(c / a).
Le equazioni quadririche, per tutta la loro semplicità, sono di grande importanza nei calcoli ingegneristici. Quasi tutti i processi fisici possono essere descritti con una certa approssimazionefunzioni di potenza dell'ordine n. L'equazione quadratica sarà la prima approssimazione di questo tipo.
