Matrici e determinanti furono scoperti nel diciottesimo e diciannovesimo secolo. Inizialmente, il loro sviluppo ha riguardato la trasformazione di oggetti geometrici e la soluzione di sistemi di equazioni lineari. Storicamente, l'enfasi iniziale era sul determinante. Nei moderni metodi di elaborazione dell'algebra lineare, le matrici vengono considerate per prime. Vale la pena riflettere per un po' su questa domanda.
Risposte da quest'area di conoscenza
Le matrici forniscono un modo teoricamente e praticamente utile per risolvere molti problemi, come ad esempio:
- sistemi di equazioni lineari;
- equilibrio dei solidi (in fisica);
- teoria dei grafi;
- Il modello economico di Leontief;
- silvicoltura;
- computer grafica e tomografia;
- genetica;
- crittografia;
- reti elettriche;
- frattale.
In effetti, l'algebra delle matrici per "manichini" ha una definizione semplificata. Si esprime come segue: questo è un campo scientifico di conoscenza in cuii valori in questione vengono studiati, analizzati ed esplorati a fondo. In questa sezione di algebra vengono studiate varie operazioni sulle matrici studiate.
Come lavorare con le matrici
Questi valori sono considerati uguali se hanno le stesse dimensioni e ogni elemento dell'uno è uguale all'elemento corrispondente dell' altro. È possibile moltiplicare una matrice per qualsiasi costante. Questo dato è chiamato moltiplicazione scalare. Esempio: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Le matrici della stessa dimensione possono essere aggiunte e sottratte dagli input e i valori di dimensioni compatibili possono essere moltiplicati. Esempio: sommare due A e B: A=[21−10]B=[1423]. Ciò è possibile perché A e B sono entrambe matrici con due righe e lo stesso numero di colonne. È necessario aggiungere ogni elemento in A al corrispondente elemento in B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Le matrici vengono sottratte allo stesso modo in algebra.
La moltiplicazione della matrice funziona in modo leggermente diverso. Inoltre, possono esserci molti casi e opzioni, nonché soluzioni. Se moltiplichiamo la matrice Apq e Bmn, allora il prodotto Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. La voce della g-esima riga e dell'h-esima colonna di AB è la somma del prodotto delle corrispondenti voci in g A e h B. È possibile moltiplicare due matrici solo se il numero di colonne nella prima e di righe nella seconda sono uguali. Esempio: soddisfare la condizione per A e B considerati: A=[1−130]B=[2−11214]. Ciò è possibile perché la prima matrice contiene 2 colonne e la seconda contiene 2 righe. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Informazioni di base sulle matrici
I valori in questione organizzano informazioni come variabili e costanti e le memorizzano in righe e colonne, solitamente chiamate C. Ogni posizione nella matrice è chiamata elemento. Esempio: C=[1234]. Consiste di due righe e due colonne. L'elemento 4 si trova nella riga 2 e nella colonna 2. Di solito puoi nominare una matrice in base alle sue dimensioni, quella denominata Cmk ha m righe e k colonne.
Matrici espanse
Le considerazioni sono cose incredibilmente utili che emergono in molte aree di applicazione diverse. Le matrici erano originariamente basate su sistemi di equazioni lineari. Data la seguente struttura di disuguaglianze, è necessario prendere in considerazione la seguente matrice complementare:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Scrivi i coefficienti e rispondi ai valori, inclusi tutti i segni meno. Se l'elemento con un numero negativo, sarà uguale a "1". Cioè dato un sistema di equazioni (lineari), è possibile associarvi una matrice (griglia di numeri tra parentesi). È quello che contiene solo i coefficienti del sistema lineare. Questa è chiamata "matrice espansa". La griglia contenente i coefficienti dal lato sinistro di ogni equazione è stata "riempita" con le risposte dal lato destro di ogni equazione.
Record, cioèi valori B della matrice corrispondono ai valori x, y- e z nel sistema originale. Se è organizzato correttamente, prima di tutto controllalo. A volte è necessario riordinare i termini o inserire zeri come segnaposto nella matrice studiata o studiata.
Dato il seguente sistema di equazioni, possiamo scrivere immediatamente la matrice aumentata associata:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
In primo luogo, assicurati di riorganizzare il sistema come:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Quindi è possibile scrivere la matrice associata come: [11000113-1012]. Quando si forma uno esteso, vale la pena utilizzare zero per qualsiasi record in cui il punto corrispondente nel sistema di equazioni lineari è vuoto.
Algebra di matrice: proprietà delle operazioni
Se è necessario formare elementi solo dai valori dei coefficienti, il valore considerato sarà simile a questo: [110011-101]. Questa è chiamata "matrice dei coefficienti".
Tenendo conto della seguente algebra matriciale estesa, è necessario migliorarla e aggiungere il sistema lineare associato. Detto questo, è importante ricordare che richiedono che le variabili siano ben organizzate e ordinate. E di solito quando ci sono tre variabili, usa x, yez in quest'ordine. Pertanto, il sistema lineare associato dovrebbe essere:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Dimensione matrice
Gli oggetti in questione sono spesso indicati dalla loro performance. La dimensione di una matrice in algebra è data comemisure, poiché la stanza può essere chiamata in modo diverso. Le misure misurate dei valori sono righe e colonne, non larghezza e lunghezza. Ad esempio, matrice A:
[1234]
[2345]
[3456].
Poiché A ha tre righe e quattro colonne, la dimensione di A è 3 × 4.
→
↓
Le linee vanno di lato. Le colonne vanno su e giù. "Riga" e "colonna" sono specifiche e non sono intercambiabili. Le dimensioni delle matrici sono sempre specificate con il numero di righe e quindi con il numero di colonne. Seguendo questa convenzione, il seguente B:
[123]
[234] è 2 × 3. Se una matrice ha lo stesso numero di righe delle colonne, viene chiamata "quadrato". Ad esempio, i valori dei coefficienti dall' alto:
[110]
[011]
[-101] è una matrice quadrata 3×3.
Notazione e formattazione della matrice
Nota di formattazione: ad esempio, quando devi scrivere una matrice, è importante utilizzare le parentesi quadre . Le barre dei valori assoluti || non vengono utilizzate perché hanno una direzione diversa in questo contesto. Parentesi o parentesi graffe {} non vengono mai utilizzate. O qualche altro simbolo di raggruppamento, o nessuno, poiché queste presentazioni non hanno alcun significato. In algebra, una matrice è sempre racchiusa tra parentesi quadre. È necessario utilizzare solo la notazione corretta, altrimenti le risposte possono essere considerate confuse.
Come accennato in precedenza, i valori contenuti in una matrice sono chiamati record. Per qualsiasi motivo, gli elementi in questione sono solitamente scrittile lettere maiuscole, come A o B, e le voci vengono specificate utilizzando le lettere minuscole corrispondenti, ma con pedici. Nella matrice A, i valori sono solitamente chiamati "ai, j", dove i è la riga di A e j è la colonna di A. Ad esempio, a3, 2=8. La voce per a1, 3 è 3.
Per le matrici più piccole, quelle con meno di dieci righe e colonne, la virgola del pedice viene talvolta omessa. Ad esempio, "a1, 3=3" potrebbe essere scritto come "a13=3". Ovviamente questo non funzionerà per matrici di grandi dimensioni poiché a213 sarà oscuro.
Tipi di matrice
A volte classificati in base alle loro configurazioni di record. Ad esempio, una tale matrice che ha tutte le voci zero sotto la "diagonale" diagonale in alto a sinistra in basso a destra è chiamata triangolare superiore. Tra l' altro, possono essercene altri tipi e tipi, ma non sono molto utili. Generalmente, per lo più percepito come triangolare superiore. I valori con esponenti diversi da zero solo orizzontalmente sono chiamati valori diagonali. Tipi simili hanno voci diverse da zero in cui tutti sono 1, tali risposte sono dette identiche (per ragioni che risulteranno chiare quando si imparerà e si capirà come moltiplicare i valori in questione). Esistono molti indicatori di ricerca simili. L'identità 3 × 3 è indicata con I3. Allo stesso modo, l'identità 4 × 4 è I4.
Algebra a matrice e spazi lineari
Nota che le matrici triangolari sono quadrate. Ma le diagonali sono triangolari. In considerazione di ciò, lo sonoquadrato. E le identità sono considerate diagonali e, quindi, triangolari e quadrate. Quando è necessario descrivere una matrice, di solito si specifica semplicemente la propria classificazione più specifica, poiché questa implica tutte le altre. Classifica le seguenti opzioni di ricerca:come 3 × 4. In questo caso, non sono quadrati. Pertanto, i valori non possono essere nient' altro. La seguente classificazione:è possibile come 3 × 3. Ma è considerato un quadrato e non ha niente di speciale. Classificazione dei seguenti dati:come 3 × 3 triangolare superiore, ma non è diagonale. È vero, nei valori in esame potrebbero esserci zeri aggiuntivi sopra o sopra lo spazio individuato e indicato. La classificazione in esame è ulteriormente: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], dove è rappresentata come una diagonale e, inoltre, le voci sono tutte 1. Quindi questa è un'identità 3 × 3, I3.
Poiché matrici analoghe sono per definizione quadrate, è sufficiente utilizzare un singolo indice per trovarne le dimensioni. Affinché due matrici siano uguali, devono avere lo stesso parametro e avere le stesse voci negli stessi punti. Ad esempio, supponiamo che ci siano due elementi in esame: A=[1 3 0] [-2 0 0] e B=[1 3] [-2 0]. Questi valori non possono essere gli stessi in quanto hanno dimensioni diverse.
Anche se A e B sono: A=[3 6] [2 5] [1 4] e B=[1 2 3] [4 5 6] - non sono ancora la stessa cosa stessa cosa. A e B hanno ciascunosei voci e hanno anche gli stessi numeri, ma questo non è sufficiente per le matrici. A è 3 × 2. E B è una matrice 2 × 3. A per 3 × 2 non è 2 × 3. Non importa se A e B hanno la stessa quantità di dati o anche gli stessi numeri dei record. Se A e B non hanno la stessa dimensione e forma, ma hanno valori identici in luoghi simili, non sono uguali.
Operazioni simili nell'area in esame
Questa proprietà dell'uguaglianza di matrice può essere trasformata in compiti per la ricerca indipendente. Ad esempio, vengono fornite due matrici e si indica che sono uguali. In questo caso, dovrai usare questa uguaglianza per esplorare e ottenere risposte per i valori delle variabili.
Esempi e soluzioni di matrici in algebra possono essere variati, specialmente quando si tratta di uguaglianze. Dato che si considerano le seguenti matrici, è necessario trovare i valori xey. Affinché A e B siano uguali, devono avere la stessa dimensione e forma. In effetti, sono tali, perché ognuna di esse è 2 × 2 matrici. E dovrebbero avere gli stessi valori negli stessi posti. Allora a1, 1 deve essere uguale a b1, 1, a1, 2 deve essere uguale a b1, 2 e così via). Ma, a1, 1=1 ovviamente non è uguale a b1, 1=x. Affinché A sia identico a B, la voce deve avere a1, 1=b1, 1, quindi può essere 1=x. Allo stesso modo, gli indici a2, 2=b2, 2, quindi 4=y. Allora la soluzione è: x=1, y=4. Dato che quanto seguele matrici sono uguali, devi trovare i valori di x, y e z. Per avere A=B, i coefficienti devono avere tutte le voci uguali. Cioè, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 e così via. In particolare, deve:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Come puoi vedere dalle matrici selezionate: con 1, 1-, 2, 2- e 3, 1-elementi. Risolvendo queste tre equazioni, otteniamo la risposta: x=4, y=-6 ez=9. L'algebra delle matrici e le operazioni sulle matrici sono diverse da quelle a cui tutti sono abituati, ma non sono riproducibili.
Informazioni aggiuntive in quest'area
L'algebra delle matrici lineari è lo studio di insiemi simili di equazioni e delle loro proprietà di trasformazione. Questo campo di conoscenza consente di analizzare le rotazioni nello spazio, approssimare i minimi quadrati, risolvere equazioni differenziali associate, determinare un cerchio passante per tre punti dati e risolvere molti altri problemi di matematica, fisica e tecnologia. L'algebra lineare di una matrice non è proprio il senso tecnico della parola usata, cioè uno spazio vettoriale v su un campo f, ecc.
Matrice e determinante sono strumenti di algebra lineare estremamente utili. Uno dei compiti centrali è la soluzione dell'equazione matriciale Ax=b, per x. Anche se questo potrebbe teoricamente essere risolto usando l'inverso x=A-1 b. Altri metodi, come l'eliminazione gaussiana, sono numericamente più affidabili.
Oltre ad essere usato per descrivere lo studio di insiemi lineari di equazioni, il specificatoil termine sopra è anche usato per descrivere un certo tipo di algebra. In particolare, L su un campo F ha la struttura di un anello con tutti i consueti assiomi di addizione e moltiplicazione interna, insieme alle leggi distributive. Pertanto, gli conferisce più struttura di un anello. L'algebra delle matrici lineari ammette anche un'operazione esterna di moltiplicazione per scalari che sono elementi del campo sottostante F. Ad esempio, l'insieme di tutte le trasformazioni considerate da uno spazio vettoriale V a se stesso su un campo F è formato su F. Un altro esempio di lineare l'algebra è l'insieme di tutte le matrici quadrate reali su un campo R numeri reali.
