Matrix è un oggetto speciale in matematica. È raffigurato sotto forma di un tavolo rettangolare o quadrato, composto da un certo numero di righe e colonne. In matematica, esiste un'ampia varietà di tipi di matrici, che differiscono per dimensioni o contenuto. I numeri delle sue righe e colonne sono chiamati ordini. Questi oggetti sono usati in matematica per organizzare la scrittura di sistemi di equazioni lineari e cercare convenientemente i loro risultati. Le equazioni usando una matrice vengono risolte usando il metodo di Carl Gauss, Gabriel Cramer, aggiunte minori e algebriche e molti altri modi. L'abilità di base quando si lavora con le matrici è portarle in una forma standard. Tuttavia, prima, scopriamo quali tipi di matrici sono distinti dai matematici.
Tipo Null
Tutti i componenti di questo tipo di matrice sono zeri. Nel frattempo, il numero delle sue righe e colonne è completamente diverso.
Tipo quadrato
Il numero di colonne e righe di questo tipo di matrice è lo stesso. In altre parole, è un tavolo di forma "quadrata". Il numero delle sue colonne (o righe) è chiamato ordine. Casi particolari sono l'esistenza di una matrice di secondo ordine (matrice 2x2), quarto ordine (4x4), decimo (10x10), diciassettesimo (17x17) e così via.
Vettore colonna
Questo è uno dei tipi più semplici di matrici, contiene solo una colonna, che include tre valori numerici. Rappresenta una serie di termini liberi (numeri indipendenti dalle variabili) in sistemi di equazioni lineari.
Vettore riga
Visualizza simile alla precedente. Consiste di tre elementi numerici, a loro volta organizzati in una riga.
Tipo diagonale
Solo i componenti della diagonale principale (evidenziati in verde) assumono valori numerici nella forma diagonale della matrice. La diagonale principale inizia rispettivamente con l'elemento nell'angolo in alto a sinistra e termina con l'elemento in basso a destra. Il resto dei componenti è zero. Il tipo diagonale è solo una matrice quadrata di un certo ordine. Tra le matrici della forma diagonale se ne può individuare una scalare. Tutti i suoi componenti assumono gli stessi valori.
Matrice di identità
Una sottospecie della matrice diagonale. Tutti i suoi valori numerici sono unità. Usando un unico tipo di tabelle di matrici, esegui le sue trasformazioni di base o trova una matrice inversa a quella originale.
Tipo canonico
La forma canonica di una matrice è considerata una delle principali; il casting è spesso necessario per funzionare. Il numero di righe e colonne nella matrice canonica è diverso, non appartiene necessariamente al tipo quadrato. È in qualche modo simile alla matrice identità, tuttavia, nel suo caso, non tutte le componenti della diagonale principale assumono un valore uguale a uno. Possono esserci due o quattro unità diagonali principali (tutto dipende dalla lunghezza e dalla larghezza della matrice). Oppure potrebbero non esserci unità (quindi è considerato zero). Le restanti componenti del tipo canonico, così come gli elementi della diagonale e dell'identità, sono uguali a zero.
Tipo triangolo
Uno dei tipi più importanti di matrice, utilizzato durante la ricerca del suo determinante e durante l'esecuzione di semplici operazioni. Il tipo triangolare deriva dal tipo diagonale, quindi anche la matrice è quadrata. La vista triangolare della matrice è divisa in triangolare superiore e triangolare inferiore.
Nella matrice triangolare superiore (Fig. 1), solo gli elementi che si trovano al di sopra della diagonale principale assumono un valore pari a zero. I componenti della diagonale stessa e la parte della matrice sottostante contengono valori numerici.
Nella matrice triangolare inferiore (Fig. 2), invece, gli elementi posti nella parte inferiore della matrice sono uguali a zero.
Step Matrix
La vista è necessaria per trovare il rango di una matrice, così come per operazioni elementari su di essa (insieme al tipo triangolare). La matrice dei passi è così denominata perché contiene caratteristici "passi" di zeri (come mostrato in figura). Nel tipo a gradini si forma una diagonale di zeri (non necessariamente quella principale) e anche tutti gli elementi sotto questa diagonale hanno valori uguali a zero. Un prerequisito è il seguente: se nella matrice dei passaggi è presente una riga zero, anche le righe rimanenti sotto di essa non contengono valori numerici.
Quindi, abbiamo considerato i tipi più importanti di matrici necessari per lavorarci. Ora affrontiamo il compito di convertire una matrice nella forma richiesta.
Riduci a forma triangolare
Come portare la matrice a una forma triangolare? Molto spesso, nei compiti, è necessario convertire una matrice in una forma triangolare per trovare il suo determinante, altrimenti chiamato determinante. Quando si esegue questa procedura, è estremamente importante "conservare" la diagonale principale della matrice, perché il determinante di una matrice triangolare è esattamente il prodotto dei componenti della sua diagonale principale. Lascia che ti ricordi anche metodi alternativi per trovare il determinante. Il determinante di tipo quadrato si trova usando formule speciali. Ad esempio, puoi utilizzare il metodo del triangolo. Per altre matrici viene utilizzato il metodo di scomposizione per riga, colonna o relativi elementi. Puoi anche applicare il metodo dei minori e dei complementi algebrici della matrice.
DettagliAnalizziamo il processo per portare una matrice in una forma triangolare usando esempi di alcune attività.
Compito 1
È necessario trovare il determinante della matrice presentata, usando il metodo di portarla a una forma triangolare.
La matrice che ci viene data è una matrice quadrata del terzo ordine. Pertanto, per trasformarlo in una forma triangolare, dobbiamo annullare due componenti della prima colonna e una componente della seconda.
Per portarlo a una forma triangolare, inizia la trasformazione dall'angolo in basso a sinistra della matrice - dal numero 6. Per portarlo a zero, moltiplica la prima riga per tre e sottraila dall'ultima riga.
Importante! La riga superiore non cambia, ma rimane la stessa della matrice originale. Non è necessario scrivere una stringa quattro volte quella originale. Ma i valori delle stringhe i cui componenti devono essere annullati cambiano continuamente.
Successivamente, occupiamoci del valore successivo: l'elemento della seconda riga della prima colonna, numero 8. Moltiplica la prima riga per quattro e sottraila dalla seconda riga. Otteniamo zero.
Rimane solo l'ultimo valore: l'elemento della terza riga della seconda colonna. Questo è il numero (-1). Per portarlo a zero, sottrai il secondo dalla prima riga.
Controlliamo:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Quindi la risposta al compito è -22.
Compito 2
Dobbiamo trovare il determinante della matrice portandolo a una forma triangolare.
Matrice rappresentataappartiene al tipo quadrato ed è una matrice del quarto ordine. Ciò significa che tre componenti della prima colonna, due componenti della seconda colonna e un componente della terza colonna devono essere azzerati.
Iniziamo la sua riduzione dall'elemento situato nell'angolo in basso a sinistra - dal numero 4. Dobbiamo azzerare questo numero. Il modo più semplice per farlo è moltiplicare la riga superiore per quattro e quindi sottrarla dalla quarta riga. Scriviamo il risultato della prima fase della trasformazione.
Quindi, la componente della quarta riga è impostata su zero. Passiamo al primo elemento della terza riga, al numero 3. Eseguiamo un'operazione simile. Moltiplica per tre la prima riga, sottraila dalla terza riga e scrivi il risultato.
Successivamente, vediamo il numero 2 nella seconda riga. Ripetiamo l'operazione: moltiplica per due la riga superiore e sottraila dalla seconda.
Siamo riusciti ad azzerare tutti i componenti della prima colonna di questa matrice quadrata, ad eccezione del numero 1, l'elemento della diagonale principale che non necessita di trasformazione. Ora è importante mantenere gli zeri risultanti, quindi eseguiremo trasformazioni con righe, non colonne. Passiamo alla seconda colonna della matrice presentata.
Ricominciamo dal basso - dall'elemento della seconda colonna dell'ultima riga. Questo è il numero (-7). Tuttavia, in questo caso è più conveniente iniziare con il numero (-1) - l'elemento della seconda colonna della terza riga. Per azzerarlo, sottrarre la seconda riga dalla terza riga. Quindi moltiplichiamo la seconda riga per sette e la sottraiamo dalla quarta. Abbiamo zero invece dell'elemento situato nella quarta riga della seconda colonna. Passiamo ora al terzocolonna.
In questa colonna, dobbiamo azzerare solo un numero - 4. È facile da fare: basta aggiungere la terza all'ultima riga e vedere lo zero di cui abbiamo bisogno.
Dopo tutte le trasformazioni, abbiamo portato la matrice proposta a una forma triangolare. Ora, per trovare il suo determinante, devi solo moltiplicare gli elementi risultanti della diagonale principale. Otteniamo: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Pertanto, la soluzione è il numero 160.
Quindi, ora la questione di portare la matrice a una forma triangolare non ti renderà difficile.
Riduzione alla forma a gradini
Nelle operazioni elementari sulle matrici, la forma a gradini è meno "richiesta" di quella triangolare. È più comunemente usato per trovare il rango di una matrice (cioè il numero delle sue righe diverse da zero) o per determinare righe linearmente dipendenti e indipendenti. Tuttavia, la visualizzazione a matrice a gradini è più versatile, poiché è adatta non solo per il tipo quadrato, ma per tutti gli altri.
Per ridurre una matrice a una forma a gradini, devi prima trovare il suo determinante. Per questo, i metodi di cui sopra sono adatti. Lo scopo di trovare il determinante è scoprire se può essere convertito in una matrice di passi. Se il determinante è maggiore o minore di zero, puoi procedere in sicurezza all'attività. Se è uguale a zero, non funzionerà per ridurre la matrice a una forma a gradini. In questo caso è necessario verificare se ci sono errori nel record o nelle trasformazioni di matrice. Se non ci sono tali imprecisioni, il compito non può essere risolto.
Vediamo comeportare la matrice in una forma a gradini usando esempi di diverse attività.
Attività 1. Trova il rango della tabella di matrice data.
Davanti a noi c'è una matrice quadrata del terzo ordine (3x3). Sappiamo che per trovare il grado è necessario ridurlo a una forma a gradini. Pertanto, dobbiamo prima trovare il determinante della matrice. Utilizzando il metodo del triangolo: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinante=12. È maggiore di zero, il che significa che la matrice può essere ridotta a una forma a gradini. Iniziamo le sue trasformazioni.
Iniziamo con l'elemento della colonna di sinistra della terza riga - il numero 2. Moltiplica la riga superiore per due e sottraila dalla terza. Grazie a questa operazione, sia l'elemento di cui abbiamo bisogno che il numero 4 - l'elemento della seconda colonna della terza riga - si sono trasformati in zero.
Successivamente, azzera l'elemento della seconda riga della prima colonna - il numero 3. Per fare ciò, moltiplica la riga superiore per tre e sottraila dalla seconda.
Vediamo che la riduzione ha prodotto una matrice triangolare. Nel nostro caso, la trasformazione non può essere continuata, poiché le componenti rimanenti non possono essere azzerate.
Quindi, concludiamo che il numero di righe contenenti valori numerici in questa matrice (o il suo rango) è 3. Risposta al compito: 3.
Attività 2. Determina il numero di righe linearmente indipendenti di questa matrice.
Dobbiamo trovare stringhe che non possono essere invertite da nessuna trasformazionea zero. Infatti, dobbiamo trovare il numero di righe diverso da zero, ovvero il rango della matrice rappresentata. Per fare questo, semplifichiamolo.
Vediamo una matrice che non appartiene al tipo quadrato. Ha dimensioni 3x4. Iniziamo anche il cast dall'elemento nell'angolo in basso a sinistra - il numero (-1).
Aggiungi la prima riga alla terza. Quindi, sottrai il secondo da esso per portare il numero 5 a zero.
Ulteriori trasformazioni sono impossibili. Quindi, concludiamo che il numero di linee linearmente indipendenti in esso e la risposta al compito è 3.
Ora portare la matrice in una forma a gradini non è un compito impossibile per te.
Sugli esempi di questi compiti, abbiamo analizzato la riduzione di una matrice a una forma triangolare e una forma a gradini. Per annullare i valori desiderati delle tabelle di matrice, in alcuni casi è necessario mostrare immaginazione e trasformare correttamente le loro colonne o righe. Buona fortuna in matematica e lavoro con le matrici!
