Gli insegnanti di matematica introducono i loro studenti al concetto di "problema combinatorio" già in quinta elementare. Ciò è necessario per consentire loro di lavorare con compiti più complessi in futuro. La natura combinatoria di un problema può essere intesa come la possibilità di risolverlo enumerando gli elementi di un insieme finito.
Il segno principale di compiti di questo ordine è la domanda per loro, che suona come "Quante opzioni?" o "In quanti modi?" La soluzione dei problemi combinatori dipende direttamente dal fatto che il risolutore ne abbia compreso il significato, sia stato in grado di rappresentare correttamente l'azione o il processo descritto nel compito.
Come risolvere un problema combinatorio?
È importante determinare correttamente il tipo di tutte le connessioni nel problema in esame, ma è necessario verificare se ci sono ripetizioni di elementi in esso, se gli elementi stessi cambiano, se il loro ordine gioca un ruolo importante, e anche rispetto a qualche altrofattori.
Un problema combinatorio può avere una serie di restrizioni che possono essere poste sulle connessioni. In questo caso, dovrai calcolare completamente la sua soluzione e verificare se queste restrizioni hanno alcun effetto sulla connessione di tutti gli elementi. Se c'è davvero un'influenza, è necessario verificare quale.
Da dove cominciare?
Per prima cosa devi imparare a risolvere i problemi combinatori più semplici. Padroneggiare materiale semplice ti consentirà di imparare a comprendere compiti più complessi. Si consiglia di iniziare prima a risolvere i problemi con restrizioni che non vengono prese in considerazione quando si considera un'opzione più semplice.
Si consiglia inoltre di provare a risolvere prima quei problemi in cui è necessario considerare un numero minore di elementi comuni. In questo modo, sarai in grado di comprendere il principio della creazione di campioni e imparare a crearli tu stesso in futuro. Se il problema per il quale è necessario utilizzare la combinatoria consiste in una combinazione di più problemi più semplici, si consiglia di risolverlo in parti.
Risolvere problemi combinatori
Questi problemi possono sembrare facili da risolvere, ma la combinatoria è piuttosto difficile da padroneggiare, alcuni di essi non sono stati risolti negli ultimi centinaia di anni. Uno dei problemi più famosi è determinare il numero di quadrati magici di un ordine speciale quando il numero n è maggiore di 4.
Il problema combinatorio è strettamente correlato alla teoria della probabilità, apparsa in epoca medievale. Probabilitàl'origine di un evento può essere calcolata solo utilizzando la combinatoria, in questo caso sarà necessario alternare tutti i fattori in alcuni punti per ottenere la soluzione ottimale.
Risoluzione dei problemi
I problemi combinatori con una soluzione vengono utilizzati per insegnare agli alunni e agli studenti come lavorare con questo materiale. In generale, dovrebbero suscitare l'interesse di una persona e il desiderio di trovare una soluzione comune. Oltre ai calcoli matematici, è necessario applicare lo stress mentale e usare congetture.
Nel processo di risoluzione dei compiti prefissati, il bambino sarà in grado di sviluppare la sua immaginazione matematica e le sue capacità combinatorie, questo gli potrà essere molto utile in futuro. A poco a poco, il livello di complessità dei compiti da risolvere deve essere aumentato per non dimenticare le conoscenze esistenti e aggiungerne di nuove.
Metodo 1. Busto
I metodi per risolvere i problemi combinatori sono molto diversi tra loro, ma tutti possono essere utilizzati dallo studente per ottenere una risposta. Una delle vie più semplici, ma allo stesso tempo più lunghe, è la forza bruta. Con esso, devi solo esaminare tutte le possibili soluzioni senza compilare schemi e tabelle.
Di norma, la domanda in un problema del genere è relativa a possibili varianti dell'origine di un evento, ad esempio: quali numeri si possono fare usando i numeri 2, 4, 8, 9? Cercando tra tutte le opzioni, viene compilata una risposta, composta da possibili combinazioni. Questo metodo è ottimo se il numero di opzioni possibilirelativamente piccolo.
Metodo 2. Albero delle opzioni
Alcuni problemi combinatori possono essere risolti solo creando grafici che descrivano informazioni dettagliate su ciascun elemento. Disegnare un albero di possibili opzioni è un altro modo per trovare una risposta. È adatto per risolvere problemi non troppo difficili, in cui è presente una condizione aggiuntiva.
Un esempio di tale compito:
Quali numeri a cinque cifre possono essere ricavati dai numeri 0, 1, 7, 8? Per risolverlo, devi costruire un albero da tutte le possibili combinazioni e c'è una condizione aggiuntiva: il numero non può iniziare da zero. Pertanto, la risposta consisterà in tutti i numeri che inizieranno con 1, 7 o 8
Metodo 3. Formazione delle tabelle
I problemi combinatori possono essere risolti anche usando le tabelle. Sono simili all'albero delle possibili opzioni, poiché offrono una soluzione visiva alla situazione. Per trovare la risposta corretta, devi formare una tabella e sarà rispecchiata: le condizioni orizzontali e verticali saranno le stesse.
Possibili risposte si ottengono all'intersezione di colonne e righe. In questo caso non si otterranno risposte all'intersezione di una colonna e di una riga con gli stessi dati, queste intersezioni devono essere appositamente contrassegnate per non confondersi durante la compilazione della risposta finale. Questo metodo non è spesso scelto dagli studenti, molti preferiscono un albero con opzioni.
Metodo 4. Moltiplicazione
C'è un altro modo per risolvere i problemi combinatori: la regola della moltiplicazione. Lui sta beneè adatto nel caso in cui, a seconda della condizione, non sia necessario elencare tutte le soluzioni possibili, ma solo trovarne il numero massimo. Questo metodo è unico nel suo genere, viene utilizzato molto spesso quando si inizia a risolvere problemi combinatori.
Un esempio di tale compito potrebbe assomigliare a questo:
6 persone stanno aspettando l'esame nel corridoio. Quanti modi puoi usare per disporli nell'elenco generale? Per ottenere una risposta, è necessario chiarire quanti possono essere al primo posto, quanti al secondo, al terzo, ecc. La risposta sarà il numero 720
Combinatoria e le sue tipologie
Il compito combinatorio non è solo materiale scolastico, lo studiano anche gli studenti universitari. Esistono diversi tipi di combinatoria nella scienza e ognuno di essi ha la sua missione. La combinazione enumerativa dovrebbe considerare l'enumerazione e l'enumerazione di possibili configurazioni con condizioni aggiuntive.
La combinatoria strutturale è una componente del programma universitario, studia la teoria dei matroidi e dei grafi. La combinatoria estrema è anche correlata al materiale universitario e qui ci sono limitazioni individuali. Un' altra sezione è la teoria di Ramsey, che si occupa dello studio delle strutture in variazioni casuali degli elementi. Esiste anche la combinatoria linguistica, che affronta la questione della compatibilità di determinati elementi tra loro.
Metodo di insegnamento dei problemi combinatori
Secondo il tutorialpiani, l'età degli studenti, che è progettata per la conoscenza primaria di questo materiale e per la risoluzione di problemi combinatori, è di grado 5. È lì che per la prima volta questo argomento viene offerto alla considerazione degli studenti, questi prendono conoscenza del fenomeno della combinatoria e cercano di risolvere i compiti loro assegnati. Allo stesso tempo, è molto importante che quando si imposta un problema combinatorio, venga utilizzato un metodo quando i bambini stessi cercano risposte alle domande.
Tra le altre cose, dopo aver studiato questo argomento, sarà molto più facile introdurre il concetto di fattoriale e usarlo per risolvere equazioni, problemi, ecc. Pertanto, la combinatoria gioca un ruolo importante nell'istruzione superiore.
Problemi combinatori: perché servono?
Se sai quali sono i problemi combinatori, non incontrerai alcuna difficoltà con la loro soluzione. La tecnica per risolverli può essere utile quando è necessario creare programmi, programmi di lavoro, nonché calcoli matematici complessi che non sono adatti ai dispositivi elettronici.
Nelle scuole con approfondimento di matematica e informatica vengono studiati anche problemi combinatori; per questo vengono compilati corsi speciali, sussidi didattici e compiti. Di norma, diversi problemi di questo tipo possono essere inclusi nell'esame di matematica dello stato unificato, di solito sono "nascosti" nella parte C.
Come risolvere rapidamente un problema combinatorio?
È molto importante essere in grado di vedere il problema combinatoriorapidamente, poiché può avere una formulazione velata, questo è particolarmente importante quando si supera l'esame, dove ogni minuto conta. Annota separatamente le informazioni che vedi nel testo del problema su un pezzo di carta, quindi prova ad analizzarle nei termini dei quattro modi che conosci.
Se puoi inserire informazioni in una tabella o in un' altra formazione, prova a risolverlo. Se non riesci a classificarlo, in questo caso è meglio lasciarlo per un po' e passare a un altro compito per non perdere tempo prezioso. Questa situazione può essere evitata risolvendo un certo numero di compiti di questo tipo in anticipo.
Dove posso trovare esempi?
L'unica cosa che ti aiuterà a imparare a risolvere i problemi combinatori sono gli esempi. Puoi trovarli in speciali raccolte matematiche vendute nei negozi di letteratura educativa. Tuttavia, lì puoi trovare informazioni solo per studenti universitari, gli scolari dovranno cercare compiti aggiuntivi, di norma, i compiti per loro sono inventati da altri insegnanti.
Gli insegnanti di istruzione superiore credono che gli studenti debbano formarsi e offrire loro costantemente ulteriore letteratura educativa. Una delle migliori raccolte è "Methods of Discrete Analysis in Solving Combinatorial Problems", scritta nel 1977 e pubblicata ripetutamente dalle principali case editrici del paese. È lì che puoi trovare attività che erano rilevanti in quel momento e rimangono rilevanti oggi.
Cosa succede se devi fare un problema combinatorio?
Molto spesso, i problemi combinatori devono essere compostiinsegnanti che sono obbligati a insegnare agli studenti a pensare fuori dagli schemi. Qui tutto dipenderà dal potenziale creativo del compilatore. Si consiglia di prestare attenzione alle raccolte esistenti e provare a comporre un problema in modo che combini diversi modi per risolverlo contemporaneamente e abbia dati diversi dal libro.
Gli insegnanti universitari in questo senso sono molto più liberi dei docenti di scuola, spesso danno ai propri studenti il compito di elaborare loro stessi problemi combinatori con metodi di risoluzione dettagliati e spiegazioni. Se non siete né l'uno né l' altro, potete chiedere aiuto a chi ha veramente capito il problema, così come assumere un tutor privato. Un'ora accademica è sufficiente per risolvere diversi problemi simili.
Combinatoria: la scienza del futuro?
Molti specialisti nel campo della matematica e della fisica ritengono che sia il problema combinatorio che può diventare un impulso nello sviluppo di tutte le scienze tecniche. È sufficiente adottare un approccio non standard per risolvere determinati problemi e quindi sarà possibile rispondere alle domande che perseguitano gli scienziati da diversi secoli. Alcuni di loro sostengono seriamente che la combinatoria sia un aiuto per tutte le scienze moderne, in particolare l'astronautica. Sarà molto più facile calcolare le traiettorie di volo delle navi usando problemi combinatori e ti permetteranno anche di determinare la posizione esatta di alcuni corpi celesti.
L'implementazione di un approccio non standard è iniziata da tempo nei paesi asiatici, dove anche gli studentimoltiplicazione, sottrazione, addizione e divisione vengono risolte utilizzando metodi combinatori. Con sorpresa di molti scienziati europei, la tecnica funziona davvero. Le scuole in Europa finora hanno solo iniziato a imparare dall'esperienza dei loro colleghi. Quando esattamente la combinatoria diventerà uno dei rami principali della matematica, è difficile indovinare. Ora la scienza viene studiata dai principali scienziati del mondo che cercano di renderla popolare.
