Ogni studente durante lo studio della stereometria al liceo si è imbattuto in un cono. Due caratteristiche importanti di questa figura spaziale sono la superficie e il volume. In questo articolo mostreremo come trovare il volume di un cono tondo.
Cono tondo come figura di rotazione di un triangolo rettangolo
Prima di passare direttamente all'argomento dell'articolo, è necessario descrivere il cono da un punto di vista geometrico.
Che ci sia un triangolo rettangolo. Se lo ruoti attorno a una qualsiasi delle gambe, il risultato di questa azione sarà la cifra desiderata, mostrata nella figura seguente.
Qui, la gamba AB fa parte dell'asse del cono e la sua lunghezza corrisponde all' altezza della figura. Il secondo tratto (segmento CA) sarà il raggio del cono. Durante la rotazione, descriverà un cerchio che delimita la base della figura. L'ipotenusa BC è chiamata generatrice della figura, o sua generatrice. Il punto B è l'unico vertice del cono.
Date le proprietà del triangolo ABC, possiamo scrivere la relazione tra la generatrice g, raggio r e altezza h come segueuguaglianza:
g2=h2+ r2
Questa formula è utile per risolvere molti problemi geometrici con la figura in questione.
Formula del volume del cono
Il volume di qualsiasi figura spaziale è l'area dello spazio, che è limitata dalle superfici di questa figura. Ci sono due di queste superfici per un cono:
- Laterale o conico. È formato da tutte le generatrici.
- Fondazione. In questo caso, è un cerchio.
Ottieni la formula per determinare il volume di un cono. Per fare questo, lo tagliamo mentalmente in molti strati paralleli alla base. Ciascuno degli strati ha uno spessore dx, che tende a zero. L'area Sx del livello ad una distanza x dalla parte superiore della figura è uguale alla seguente espressione:
Sx=pir2x2/h 2
La validità di questa espressione può essere verificata intuitivamente sostituendo i valori x=0 e x=h. Nel primo caso otterremo un'area uguale a zero, nel secondo caso sarà uguale all'area della base rotonda.
Per determinare il volume del cono, devi sommare piccoli "volumi" di ogni livello, cioè dovresti usare il calcolo integrale:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Calcolando questo integrale, arriviamo alla formula finale per un cono rotondo:
V=1/3pir2h
È interessante notare che questa formula è completamente simile a quella usata per calcolare il volume di una piramide arbitraria. Questa coincidenza non è casuale, perché ogni piramide diventa un cono quando il numero dei suoi bordi aumenta all'infinito.
Problema di calcolo del volume
È utile fare un esempio di risoluzione del problema, che dimostrerà l'uso della formula derivata per il volume V.
Dato un cono rotondo la cui area di base è 37 cm2, e il generatore della figura è tre volte il raggio. Qual è il volume del cono?
Abbiamo il diritto di usare la formula del volume se conosciamo due quantità: l' altezza he il raggio r. Troviamo le formule che le determinano in base alla condizione del problema.
Il raggio r può essere calcolato conoscendo l'area del cerchio So, abbiamo:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Usando la condizione del problema, scriviamo l'uguaglianza per il generatore g:
g=3r=3√(So/pi)
Conoscendo le formule per r e g, calcola l' altezza h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Abbiamo trovato tutti i parametri necessari. Ora è il momento di inserirli nella formula per V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Resta da sostituirearea base So e calcolare il valore del volume: V=119,75 cm3.
