Lo studente incontra spesso superfici del 2° ordine nel primo anno. All'inizio, i compiti su questo argomento possono sembrare semplici, ma mentre studi matematica superiore e approfondisci il lato scientifico, puoi finalmente smettere di orientarti su ciò che sta accadendo. Per evitare che ciò accada, è necessario non solo memorizzare, ma capire come si ottiene questa o quella superficie, come la modifica dei coefficienti influisce su di essa e sulla sua posizione rispetto al sistema di coordinate originale e come trovare un nuovo sistema (uno in cui il suo centro coincide con le coordinate di origine e l'asse di simmetria è parallelo a uno degli assi delle coordinate). Cominciamo dall'inizio.
Definizione
GMT è chiamata superficie del 2° ordine, le cui coordinate soddisfano l'equazione generale della seguente forma:
Fa(x, y, z)=0.
È chiaro che ogni punto appartenente alla superficie deve avere tre coordinate in una base designata. Sebbene in alcuni casi il luogo dei punti possa degenerare, ad esempio, in un piano. Significa solo che una delle coordinate è costante ed è uguale a zero nell'intero intervallo di valori accettabili.
La forma dipinta per intero dell'uguaglianza di cui sopra è simile a questa:
LA11x2+LA22y2 +LA33z2+2LA12xy+2A23 yz+2LA13xz+2A14x+2LA24y+2A 34z+LA44=0.
Anm – alcune costanti, x, y, z – variabili corrispondenti a coordinate affini di un punto. In questo caso almeno uno dei fattori costanti non deve essere uguale a zero, cioè nessun punto corrisponderà all'equazione.
Nella stragrande maggioranza degli esempi, molti fattori numerici sono ancora identici a zero e l'equazione è notevolmente semplificata. In pratica, determinare se un punto appartiene ad una superficie non è difficile (è sufficiente sostituirne le coordinate nell'equazione e verificare se l'identità è rispettata). Il punto chiave in tale lavoro è portare quest'ultimo a una forma canonica.
L'equazione scritta sopra definisce qualsiasi superficie (tutte elencate di seguito) del 2° ordine. Prenderemo in considerazione esempi di seguito.
Tipi di superfici del 2° ordine
Le equazioni delle superfici del 2° ordine differiscono solo per i valori dei coefficienti Anm. Dal punto di vista generale, per determinati valori delle costanti si possono ottenere varie superfici, classificate come segue:
- Cilindri.
- Tipo ellittico.
- Tipo iperbolico.
- Tipo conico.
- Tipo parabolico.
- Aerei.
Ciascuno dei tipi elencati ha una forma naturale e immaginaria: nella forma immaginaria, il luogo dei punti reali o degenera in una figura più semplice, oppure è del tutto assente.
Cilindri
Questo è il tipo più semplice, poiché una curva relativamente complessa giace solo alla base, fungendo da guida. I generatori sono rette perpendicolari al piano in cui giace la base.
Il grafico mostra un cilindro circolare, un caso speciale di cilindro ellittico. Nel piano XY, la sua proiezione sarà un'ellisse (nel nostro caso, un cerchio) - una guida, e in XZ - un rettangolo - poiché i generatori sono paralleli all'asse Z. Per ottenerlo dall'equazione generale, è necessario per dare ai coefficienti i seguenti valori:
Invece dei soliti simboli vengono utilizzati x, y, z, x con un numero di serie - non importa.
Infatti, 1/a2e le altre costanti qui indicate sono gli stessi coefficienti indicati nell'equazione generale, ma è consuetudine scriverli in questa forma - questo è la rappresentazione canonica. Inoltre, verrà utilizzata solo tale notazione.
Così si definisce un cilindro iperbolico. Lo schema è lo stesso: l'iperbole sarà la guida.
y2=2px
Un cilindro parabolico è definito in modo alquanto diverso: la sua forma canonica include un coefficiente p, chiamato parametro. Il coefficiente infatti è pari a q=2p, ma è consuetudine dividerlo nei due fattori presentati.
C'è un altro tipo di cilindro: immaginario. Nessun punto reale appartiene a un tale cilindro. È descritto dall'equazionecilindro ellittico, ma invece di unità è -1.
Tipo ellittico
Un ellissoide può essere allungato lungo uno degli assi (lungo il quale dipende dai valori delle costanti a, b, c, sopra indicati; è ovvio che un coefficiente maggiore corrisponderà all'asse maggiore).
C'è anche un ellissoide immaginario - a patto che la somma delle coordinate moltiplicata per i coefficienti sia -1:
Iperboloidi
Quando appare un meno in una delle costanti, l'equazione dell'ellissoide si trasforma nell'equazione di un iperboloide a foglio singolo. Deve essere chiaro che questo meno non deve essere posizionato prima della coordinata x3! Determina solo quale degli assi sarà l'asse di rotazione dell'iperboloide (o parallelo ad esso, poiché quando nel quadrato compaiono termini aggiuntivi (ad esempio, (x-2)2) il centro della figura si sposta, di conseguenza, la superficie si sposta parallelamente agli assi delle coordinate). Questo vale per tutte le superfici del 2° ordine.
Inoltre, devi capire che le equazioni sono presentate in forma canonica e possono essere modificate variando le costanti (con il segno preservato!); mentre la loro forma (iperboloide, cono e così via) rimarrà la stessa.
Questa equazione è già data da un iperboloide a due fogli.
Superficie conica
Nessuna unità nell'equazione del cono - uguaglianza a zero.
Solo una superficie conica delimitata è chiamata cono. L'immagine sotto mostra che, in effetti, ci saranno due cosiddetti coni sul grafico.
Nota importante: in tutte le equazioni canoniche considerate, le costanti sono considerate positive per default. In caso contrario, il segno potrebbe influenzare il grafico finale.
I piani delle coordinate diventano i piani di simmetria del cono, il centro di simmetria si trova all'origine.
Ci sono solo vantaggi nell'equazione immaginaria del cono; possiede un singolo punto reale.
Paraboloidi
Le superfici di 2° ordine nello spazio possono assumere forme diverse anche con equazioni simili. Ad esempio, ci sono due tipi di paraboloidi.
x2/a2+y2/b2=2z
Un paraboloide ellittico, quando l'asse Z è perpendicolare al disegno, verrà proiettato in un'ellisse.
x2/a2-y2/b2=2z
Paraboloide iperbolico: sezioni con piani paralleli a ZY produrranno parabole e sezioni con piani paralleli a XY produrranno iperboli.
Aerei che si intersecano
Ci sono casi in cui le superfici del 2° ordine degenerano in un piano. Questi piani possono essere disposti in vari modi.
Prima considera i piani intersecanti:
x2/a2-y2/b2=0
Questa modifica dell'equazione canonica risulta in due soli piani intersecanti (immaginario!); tutti i punti reali sono sull'asse della coordinata che manca nell'equazione (nel canonico - l'asse Z).
Piani paralleli
y2=a2
Quando c'è solo una coordinata, le superfici del 2° ordine degenerano in una coppia di piani paralleli. Ricorda, qualsiasi altra variabile può prendere il posto di Y; quindi si otterranno piani paralleli ad altri assi.
y2=−a2
In questo caso, diventano immaginari.
Aerei coincidenti
y2=0
Con un'equazione così semplice, una coppia di piani degenera in uno - coincidono.
Non dimenticare che nel caso di una base tridimensionale, l'equazione sopra non definisce la retta y=0! Mancano le altre due variabili, ma ciò significa semplicemente che il loro valore è costante e uguale a zero.
Edificio
Uno dei compiti più difficili per uno studente è la costruzione di superfici del 2° ordine. È ancora più difficile spostarsi da un sistema di coordinate all' altro, dati gli angoli della curva rispetto agli assi e l'offset del centro. Ripetiamo come determinare in modo coerente la vista futura del disegno con un'analisimodo.
Per costruire una superficie del 2° ordine, hai bisogno di:
- porta l'equazione alla forma canonica;
- determinare il tipo di superficie oggetto di studio;
- costruire in base ai valori dei coefficienti.
Di seguito sono riportati tutti i tipi considerati:
Per consolidare, descriviamo in dettaglio un esempio di questo tipo di attività.
Esempi
Supponiamo che ci sia un'equazione:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60 anni+144=0
Portiamolo alla forma canonica. Individuiamo i quadrati pieni, cioè sistemiamo i termini disponibili in modo tale che siano l'espansione del quadrato della somma o differenza. Ad esempio: se (a+1)2=a2+2a+1 allora a2+2a +1=(a+1)2. Effettueremo la seconda operazione. In questo caso non è necessario aprire le parentesi, poiché ciò complicherà solo i calcoli, ma è necessario eliminare il fattore comune 6 (tra parentesi con il quadrato pieno della Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
La variabile z compare in questo caso solo una volta - per ora puoi lasciarla da sola.
Analizziamo l'equazione in questa fase: tutte le incognite sono precedute da un segno più; quando diviso per sei, ne rimane uno. Pertanto, abbiamo un'equazione che definisce un ellissoide.
Nota che 144 è stato preso in considerazione in 150-6, dopodiché il -6 è stato spostato a destra. Perché doveva essere fatto in questo modo? Ovviamente, il massimo divisore in questo esempio è -6, quindi dopo averlo divisouno è lasciato a destra, bisogna “rimandare” esattamente 6 da 144 (il fatto che uno debba essere a destra è indicato dalla presenza di un termine libero - una costante non moltiplicata per un'incognita).
Dividi tutto per sei e ottieni l'equazione canonica dell'ellissoide:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Nella classificazione delle superfici del 2° ordine usata in precedenza, viene considerato un caso speciale quando il centro della figura è all'origine delle coordinate. In questo esempio, è offset.
Assumiamo che ogni parentesi con incognite sia una nuova variabile. Ovvero: a=x-1, b=y+5, c=z. Nelle nuove coordinate il centro dell'ellissoide coincide con il punto (0, 0, 0), quindi a=b=c=0, da cui: x=1, y=-5, z=0. Nelle coordinate iniziali, il centro della figura giace nel punto (1, -5, 0).
L'ellissoide sarà ottenuto da due ellissi: la prima nel piano XY e la seconda nel piano XZ (o YZ - non importa). I coefficienti per i quali sono divise le variabili sono al quadrato nell'equazione canonica. Pertanto, nell'esempio sopra, sarebbe più corretto dividere per la radice di due, uno e la radice di tre.
L'asse minore della prima ellisse, parallelo all'asse Y, è due. L'asse maggiore parallelo all'asse x è due radici di due. L'asse minore della seconda ellisse, parallelo all'asse Y, rimane lo stesso: è uguale a due. E l'asse maggiore, parallelo all'asse Z, è uguale a due radici di tre.
Con l'aiuto dei dati ottenuti dall'equazione originale convertendo alla forma canonica, possiamo disegnare un ellissoide.
Riassumendo
Coperto in questo articolol'argomento è abbastanza ampio, ma, in effetti, come puoi vedere ora, non molto complicato. Il suo sviluppo, infatti, termina nel momento in cui si memorizzano i nomi e le equazioni delle superfici (e, ovviamente, come si presentano). Nell'esempio sopra, abbiamo discusso ogni passaggio in dettaglio, ma portare l'equazione alla forma canonica richiede una conoscenza minima della matematica superiore e non dovrebbe causare alcuna difficoltà allo studente.
L'analisi del programma futuro sull'uguaglianza esistente è già un compito più difficile. Ma per la sua soluzione di successo, è sufficiente capire come vengono costruite le corrispondenti curve del secondo ordine: ellissi, parabole e altre.
Casi di degenerazione: una sezione ancora più semplice. A causa dell'assenza di alcune variabili, non solo i calcoli sono semplificati, come accennato in precedenza, ma anche la costruzione stessa.
Non appena riuscirai a nominare con sicurezza tutti i tipi di superficie, varia le costanti, trasformando il grafico in una o nell' altra forma: l'argomento sarà padroneggiato.
Successo nei tuoi studi!
