Prisma esagonale e le sue principali caratteristiche

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-02 17:49

La geometria spaziale è lo studio dei prismi. Le loro caratteristiche importanti sono il volume in esse contenuto, la superficie e il numero degli elementi costitutivi. Nell'articolo considereremo tutte queste proprietà per un prisma esagonale.

Di quale prisma stiamo parlando?

Un prisma esagonale è una figura formata da due poligoni con sei lati e sei angoli e sei parallelogrammi che collegano gli esagoni contrassegnati in un'unica formazione geometrica.

La figura mostra un esempio di questo prisma.

L'esagono segnato in rosso è chiamato base della figura. Ovviamente, il numero delle sue basi è uguale a due, ed entrambe sono identiche. Le facce giallo-verdastre di un prisma sono dette lati. Nella figura sono rappresentati da quadrati, ma in generale sono parallelogrammi.

Il prisma esagonale può essere inclinato e diritto. Nel primo caso gli angoli tra la base ed i lati non sono rettilinei, nel secondo sono pari a 90o. Inoltre, questo prisma può essere corretto e errato. Esagonale regolareil prisma deve essere diritto e avere un esagono regolare alla base. Il prisma sopra nella figura soddisfa questi requisiti, quindi è chiamato corretto. Più avanti nell'articolo studieremo solo le sue proprietà, come caso generale.

Elementi

Per ogni prisma i suoi elementi principali sono spigoli, facce e vertici. Il prisma esagonale non fa eccezione. La figura sopra consente di contare il numero di questi elementi. Quindi, otteniamo 8 facce o lati (due basi e sei parallelogrammi laterali), il numero di vertici è 12 (6 vertici per ogni base), il numero di bordi di un prisma esagonale è 18 (sei laterali e 12 per le basi).

Nel 1750, Leonhard Euler (un matematico svizzero) stabilì per tutti i poliedri, che includono un prisma, una relazione matematica tra i numeri degli elementi indicati. Questa relazione assomiglia a:

numero di spigoli=numero di facce + numero di vertici - 2.

Le cifre sopra soddisfano questa formula.

Diagonali prismatiche

Tutte le diagonali di un prisma esagonale possono essere divise in due tipi:

• quelli che giacciono nei piani delle sue facce;
• quelli che appartengono all'intero volume della figura.

L'immagine sotto mostra tutte queste diagonali.

Si può vedere che D₁ è la diagonale laterale, D₂ e D₃ sono le diagonali l'intero prisma, D₄ e D_{5 - le diagonali della base.}

Le lunghezze delle diagonali dei lati sono uguali tra loro. È facile calcolarli usando il noto teorema di Pitagora. Sia a la lunghezza del lato dell'esagono, b la lunghezza del bordo laterale. Allora la diagonale ha lunghezza:

Re₁=√(a² + b^2).

Diagonale D₄ è anche facile da determinare. Se ricordiamo che un esagono regolare si inserisce in una circonferenza di raggio a, allora D_{4 è il diametro di questa circonferenza, cioè otteniamo la seguente formula:}

Re_4=2la.

Diagonal D₅Le basi sono un po' più difficili da trovare. Per fare ciò, considera un triangolo equilatero ABC (vedi Fig.). Per lui AB=BC=a, l'angolo ABC è 120^{o. Se abbassiamo l' altezza da questo angolo (sarà anche la bisettrice e la mediana), allora metà della base AC sarà uguale a:}

AC/2=ABpeccato(60o)=a√3/2.

Il lato AC è la diagonale di D_{5, quindi otteniamo:}

Re_5=AC=√3a.

Ora non resta che trovare le diagonali RE₂e RE_{3di un prisma esagonale regolare. Per fare ciò, devi vedere che sono le ipotenuse dei corrispondenti triangoli rettangoli. Usando il teorema di Pitagora, otteniamo:}

Re₂=√(RE₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

Re₃=√(RE₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Quindi, la diagonale più grande per qualsiasi valore di aeb èRe_2.

Superficie

Per capire qual è la posta in gioco, il modo più semplice è considerare lo sviluppo di questo prisma. È mostrato nell'immagine.

Si può notare che per determinare l'area di tutti i lati della figura in esame è necessario calcolare separatamente l'area del quadrilatero e l'area dell'esagono, quindi moltiplicarle per gli interi corrispondenti uguali al numero di ogni n-gon nel prisma e sommare i risultati. Esagoni 2, rettangoli 6.

Per l'area di un rettangolo otteniamo:

S_1=ab.

Allora l'area della superficie laterale è:

S_2=6ab.

Per determinare l'area di un esagono, il modo più semplice è usare la formula corrispondente, che assomiglia a:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Sostituendo il numero n uguale a 6 in questa espressione, otteniamo l'area di un esagono:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Questa espressione va moltiplicata per due per ottenere l'area delle basi del prisma:

S_os=3√3a^2.

Rimane da aggiungere S_os e S_{2 per ottenere la superficie totale della figura:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Volume prisma

Dopo la formula perarea di una base esagonale, calcolare il volume contenuto nel prisma in questione è facile come sgusciare le pere. Per fare ciò, devi solo moltiplicare l'area di una base (esagono) per l' altezza della figura, la cui lunghezza è uguale alla lunghezza del bordo laterale. Otteniamo la formula:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Si noti che il prodotto della base per l' altezza dà il valore del volume di qualsiasi prisma, compreso quello obliquo. In quest'ultimo caso, però, il calcolo dell' altezza è complicato, poiché non sarà più uguale alla lunghezza della nervatura laterale. Come per un prisma esagonale regolare, il valore del suo volume è funzione di due variabili: i lati a e b.