Un piano, insieme a un punto ea una retta, è un elemento geometrico di base. Con il suo uso, vengono costruite molte figure nella geometria spaziale. In questo articolo considereremo più in dettaglio la questione di come trovare un angolo tra due piani.
Concetto
Prima di parlare dell'angolo tra due piani, dovresti capire bene di quale elemento in geometria stiamo parlando. Capiamo la terminologia. Un piano è una collezione infinita di punti nello spazio, che collegano i quali otteniamo vettori. Quest'ultimo sarà perpendicolare a un vettore. Viene comunemente chiamata normale al piano.
La figura sopra mostra un piano e due vettori normali ad esso. Si può notare che entrambi i vettori giacciono sulla stessa retta. L'angolo tra loro è 180o.
Equazioni
L'angolo tra due piani può essere determinato se si conosce l'equazione matematica dell'elemento geometrico considerato. Esistono diversi tipi di tali equazioni,i cui nomi sono elencati di seguito:
- tipo generale;
- vettore;
- in segmenti.
Questi tre tipi sono i più convenienti per risolvere vari tipi di problemi, quindi vengono utilizzati più spesso.
Un'equazione di tipo generale è simile a questa:
LAx + SIy + Cz + D=0.
Qui x, y, z sono le coordinate di un punto arbitrario appartenente al piano dato. I parametri A, B, C e D sono numeri. La comodità di questa notazione sta nel fatto che i numeri A, B, C sono le coordinate di un vettore normale al piano.
La forma vettoriale del piano può essere rappresentata come segue:
x, y, z)=(x0, y0, z0) + α(a1, b1, c1) + β(a 2, b2, c2).
Qui (a2, b2, c2) e (a 1, b1, c1) - parametri di due vettori di coordinate che appartengono al piano considerato. Anche il punto (x0, y0, z0) giace su questo piano. I parametri α e β possono assumere valori indipendenti e arbitrari.
Infine, l'equazione del piano in segmenti è rappresentata nella seguente forma matematica:
x/p + y/q + z/l=1.
Qui p, q, l sono numeri specifici (compresi quelli negativi). Questo tipo di equazione è utile quando è necessario rappresentare un piano in un sistema di coordinate rettangolare, poiché i numeri p, q, l mostrano i punti di intersezione con gli assi x, yezaereo.
Nota che ogni tipo di equazione può essere convertito in qualsiasi altro usando semplici operazioni matematiche.
Formula per l'angolo tra due piani
Ora considera la seguente sfumatura. Nello spazio tridimensionale, due piani possono essere localizzati solo in due modi. O si intersecano o sono paralleli. Tra due piani, l'angolo è ciò che si trova tra i loro vettori guida (normali). Intersecandosi, 2 vettori formano 2 angoli (acuti e ottusi nel caso generale). L'angolo tra i piani è considerato acuto. Considera l'equazione.
La formula per l'angolo tra due piani è:
θ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|)).
È facile intuire che questa espressione è una diretta conseguenza del prodotto scalare dei vettori normali n1¯ e n2 ¯ per i piani considerati. Il modulo del prodotto scalare nel numeratore indica che l'angolo θ assumerà solo valori da 0o a 90o. Il prodotto dei moduli dei vettori normali al denominatore indica il prodotto delle loro lunghezze.
Nota, se (n1¯n2¯)=0, allora i piani si intersecano ad angolo retto.
Esempio di problema
Dopo aver capito quello che viene chiamato l'angolo tra due piani, risolveremo il seguente problema. Come esempio. Quindi, è necessario calcolare l'angolo tra tali piani:
2x - 3y + 4=0;
(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).
Per risolvere il problema, devi conoscere i vettori di direzione degli aerei. Per il primo piano, il vettore normale è: n1¯=(2, -3, 0). Per trovare il vettore normale del secondo piano, si devono moltiplicare i vettori dopo i parametri α e β. Il risultato è un vettore: n2¯=(5, -3, 2).
Per determinare l'angolo θ, utilizziamo la formula del paragrafo precedente. Otteniamo:
θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=
=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.
L'angolo calcolato in radianti corrisponde a 31.26o. Pertanto, i piani della condizione del problema si intersecano con un angolo di 31, 26o.
