Anche a scuola, ognuno di noi ha studiato equazioni e, sicuramente, sistemi di equazioni. Ma non molte persone sanno che ci sono diversi modi per risolverli. Oggi analizzeremo in dettaglio tutti i metodi per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari, che consistono in più di due uguaglianze.
Cronologia
Oggi è noto che l'arte di risolvere le equazioni e i loro sistemi ebbe origine nell'antica Babilonia e in Egitto. Tuttavia, le uguaglianze nella loro forma abituale sono apparse dopo la comparsa del segno di uguale "=", introdotto nel 1556 dal matematico inglese Record. A proposito, questo segno è stato scelto per un motivo: significa due segmenti uguali paralleli. In effetti, non c'è esempio migliore di uguaglianza.
Il fondatore delle moderne designazioni di lettere di incognite e segni di laurea è il matematico francese Francois Viet. Tuttavia, le sue designazioni differivano in modo significativo da quelle odierne. Ad esempio, ha indicato il quadrato di un numero sconosciuto con la lettera Q (lat. "quadratus") e il cubo con la lettera C (lat. "cubus"). Queste designazioni ora sembrano scomode, ma poiera il modo più comprensibile per scrivere sistemi di equazioni algebriche lineari.
Tuttavia, lo svantaggio dei metodi di soluzione di allora era che i matematici consideravano solo radici positive. Forse questo è dovuto al fatto che i valori negativi non avevano alcuna utilità pratica. In un modo o nell' altro, furono i matematici italiani Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli i primi a considerare le radici negative nel XVI secolo. E l'aspetto moderno, il metodo principale per risolvere le equazioni quadratiche (attraverso il discriminante) è stato creato solo nel XVII secolo grazie al lavoro di Cartesio e Newton.
A metà del 18° secolo, il matematico svizzero Gabriel Cramer trovò un nuovo modo per semplificare la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Questo metodo è stato successivamente intitolato a lui e ancora oggi lo usiamo. Ma parleremo del metodo Cramer un po' più avanti, ma per ora discuteremo di equazioni lineari e metodi per risolverle separatamente dal sistema.
Equazioni lineari
Le equazioni lineari sono le uguaglianze più semplici con le variabili. Sono classificati come algebrici. Le equazioni lineari sono scritte in forma generale come segue: 2+…a x =b. Avremo bisogno della loro rappresentazione in questa forma quando compileremo ulteriormente sistemi e matrici.
Sistemi di equazioni algebriche lineari
La definizione di questo termine è questa: è un insieme di equazioni che hanno incognite comuni e una soluzione comune. Di norma, a scuola tutto veniva deciso dai sistemicon due o anche tre equazioni. Ma ci sono sistemi con quattro o più componenti. Scopriamo prima come scriverli in modo che sia conveniente risolverli in seguito. In primo luogo, i sistemi di equazioni algebriche lineari avranno un aspetto migliore se tutte le variabili sono scritte come x con l'indice appropriato: 1, 2, 3 e così via. In secondo luogo, tutte le equazioni dovrebbero essere ridotte alla forma canonica: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Dopo tutti questi passaggi, possiamo iniziare a parlare di come trovare una soluzione ai sistemi di equazioni lineari. Le matrici saranno molto utili per questo.
Matrici
Una matrice è una tabella composta da righe e colonne e i suoi elementi si trovano alla loro intersezione. Questi possono essere valori o variabili specifici. Molto spesso, per designare elementi, vengono inseriti dei pedici sotto di essi (ad esempio, a11 o a23). Il primo indice indica il numero di riga e il secondo il numero di colonna. Sulle matrici, così come su qualsiasi altro elemento matematico, è possibile eseguire diverse operazioni. Quindi puoi:
1) Sottrarre e aggiungere tabelle della stessa dimensione.
2) Moltiplica una matrice per un numero o un vettore.
3) Trasposizione: trasforma le righe della matrice in colonne e le colonne in righe.
4) Moltiplica le matrici se il numero di righe di una di esse è uguale al numero di colonne dell' altra.
Discuteremo tutte queste tecniche in modo più dettagliato, poiché ci saranno utili in futuro. La sottrazione e l'aggiunta di matrici è molto semplice. Cosìse prendiamo matrici della stessa dimensione, ogni elemento di una tabella corrisponde a ogni elemento di un' altra. Quindi, aggiungiamo (sottriamo) questi due elementi (è importante che si trovino negli stessi posti nelle loro matrici). Quando si moltiplica una matrice per un numero o un vettore, è sufficiente moltiplicare ogni elemento della matrice per quel numero (o vettore). La trasposizione è un processo molto interessante. A volte è molto interessante vederlo nella vita reale, ad esempio quando si cambia l'orientamento di un tablet o di un telefono. Le icone sul desktop sono una matrice e quando si cambia la posizione, si traspone e si allarga, ma diminuisce in altezza.
Diamo un' altra occhiata a un processo come la moltiplicazione di matrici. Anche se non ci sarà utile, sarà comunque utile conoscerlo. Puoi moltiplicare due matrici solo se il numero di colonne in una tabella è uguale al numero di righe nell' altra. Prendiamo ora gli elementi di una riga di una matrice e gli elementi della colonna corrispondente di un' altra. Moltiplichiamoli tra loro e poi li aggiungiamo (cioè, ad esempio, il prodotto degli elementi a11 e a12 per b 12e b22 saranno uguali a: a11b12 + a 12 b22). Si ottiene così un elemento della tabella, che viene ulteriormente riempito con un metodo simile.
Ora possiamo iniziare a vedere come viene risolto il sistema di equazioni lineari.
Metodo Gauss
Questo argomento inizia a passare anche a scuola. Conosciamo bene il concetto di "sistema di due equazioni lineari" e sappiamo come risolverlo. Ma cosa succede se il numero di equazioni è maggiore di due? Il metodo Gauss ci aiuterà in questo.
Ovviamente, questo metodo è comodo da usare se si crea una matrice dal sistema. Ma non puoi trasformarlo e risolverlo nella sua forma più pura.
Quindi in che modo questo metodo risolve il sistema di equazioni gaussiane lineari? A proposito, anche se questo metodo prende il suo nome, è stato scoperto nei tempi antichi. Gauss propone quanto segue: eseguire operazioni con equazioni al fine di ridurre eventualmente l'intero insieme a una forma a gradini. Cioè, è necessario che dall' alto verso il basso (se posizionato correttamente) dalla prima all'ultima equazione diminuisca un'incognita. In altre parole, dobbiamo assicurarci di ottenere, diciamo, tre equazioni: nella prima - tre incognite, nella seconda - due, nella terza - una. Quindi dall'ultima equazione troviamo la prima incognita, sostituiamo il suo valore nella seconda o prima equazione, quindi troviamo le due restanti variabili.
Metodo Cramer
Per padroneggiare questo metodo, è fondamentale padroneggiare le abilità di addizione, sottrazione di matrici e devi anche essere in grado di trovare determinanti. Pertanto, se fai tutto questo male o non sai come fare, dovrai imparare e fare pratica.
Qual è l'essenza di questo metodo e come farlo in modo da ottenere un sistema di equazioni di Cramer lineari? Tutto è molto semplice. Dobbiamo costruire una matrice dai coefficienti numerici (quasi sempre) di un sistema di equazioni algebriche lineari. Per fare ciò, prendi semplicemente i numeri davanti alle incognite e disponilitabella nell'ordine in cui sono registrati nel sistema. Se il numero è preceduto da un segno "-", scriviamo un coefficiente negativo. Quindi, abbiamo compilato la prima matrice dai coefficienti delle incognite, escludendo i numeri dopo i segni di uguale (naturalmente, l'equazione dovrebbe essere ridotta alla forma canonica, quando solo il numero è a destra, e tutte le incognite con coefficienti a sinistra). Quindi devi creare molte altre matrici, una per ogni variabile. Per fare ciò, sostituiamo a turno ogni colonna con coefficienti nella prima matrice con una colonna di numeri dopo il segno di uguale. Quindi, otteniamo diverse matrici e poi troviamo i loro determinanti.
Dopo aver trovato i determinanti, la questione è piccola. Abbiamo una matrice iniziale e ci sono diverse matrici risultanti che corrispondono a diverse variabili. Per ottenere le soluzioni del sistema, dividiamo il determinante della tabella risultante per il determinante della tabella iniziale. Il numero risultante è il valore di una delle variabili. Allo stesso modo, troviamo tutte le incognite.
Altri metodi
Ci sono molti altri metodi per ottenere la soluzione di sistemi di equazioni lineari. Ad esempio, il cosiddetto metodo di Gauss-Jordan, che viene utilizzato per trovare soluzioni a un sistema di equazioni quadratiche ed è anche associato all'uso di matrici. Esiste anche un metodo Jacobi per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari. È il più facile da adattare a un computer e viene utilizzato nell'informatica.
Casi difficili
La complessità di solito si verifica quando il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili. Allora possiamo dire con certezza che o il sistema è incoerente (cioè non ha radici), oppure il numero delle sue soluzioni tende all'infinito. Se abbiamo il secondo caso, allora dobbiamo scrivere la soluzione generale del sistema di equazioni lineari. Conterrà almeno una variabile.
Conclusione
Arriviamo alla fine. Riassumendo: abbiamo analizzato cosa sono un sistema e una matrice, abbiamo imparato a trovare una soluzione generale per un sistema di equazioni lineari. Inoltre, sono state prese in considerazione altre opzioni. Abbiamo scoperto come si risolve il sistema di equazioni lineari: il metodo di Gauss e il metodo di Cramer. Abbiamo parlato di casi difficili e di altri modi per trovare soluzioni.
In effetti, questo argomento è molto più ampio, e se vuoi capirlo meglio, ti consigliamo di leggere una letteratura più specializzata.
