Distanza tra linee parallele. Distanza tra piani paralleli

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Distanza tra linee parallele. Distanza tra piani paralleli
Distanza tra linee parallele. Distanza tra piani paralleli
Anonim

Linea e piano sono i due elementi geometrici più importanti che possono essere utilizzati per costruire forme diverse nello spazio 2D e 3D. Considera come trovare la distanza tra rette parallele e piani paralleli.

Compito di matematica in linea retta

Dal corso di geometria della scuola è noto che in un sistema di coordinate rettangolari bidimensionali una linea può essere specificata nella forma seguente:

y=kx + b.

Dove k e b sono numeri (parametri). La forma scritta di rappresentare una linea in un piano è un piano parallelo all'asse z nello spazio tridimensionale. In considerazione di ciò, in questo articolo, per l'assegnazione matematica di una retta, utilizzeremo una forma più conveniente e universale: quella vettoriale.

Assumiamo che la nostra retta sia parallela a qualche vettore u¯(a, b, c) e passi per il punto P(x0, y0, z0). In questo caso, in forma vettoriale, la sua equazione sarà rappresentata come segue:

(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).

Qui λ è un numero qualsiasi. Se rappresentiamo esplicitamente le coordinate espandendo l'espressione scritta, otterremo una forma parametrica di scrittura di una linea retta.

È conveniente lavorare con un'equazione vettoriale quando si risolvono vari problemi in cui è necessario determinare la distanza tra rette parallele.

Linee e distanza tra loro

Rette parallele in un piano
Rette parallele in un piano

Ha senso parlare della distanza tra le linee solo quando sono parallele (nel caso tridimensionale, c'è anche una distanza diversa da zero tra le linee oblique). Se le linee si intersecano, allora è ovvio che sono a distanza zero l'una dall' altra.

La distanza tra le rette parallele è la lunghezza della perpendicolare che le collega. Per determinare questo indicatore, è sufficiente scegliere un punto arbitrario su una delle linee e far cadere una perpendicolare da esso all' altro.

Descriviamo brevemente la procedura per trovare la distanza desiderata. Supponiamo di conoscere le equazioni vettoriali di due rette, che si presentano nella seguente forma generale:

(x, y, z)=P + λu¯;

(x, y, z)=Q + βv¯.

Costruisci un parallelogramma su queste linee in modo che uno dei lati sia PQ e l' altro, ad esempio, u. Ovviamente l' altezza di questa figura, tracciata dal punto P, è la lunghezza della perpendicolare richiesta. Per trovarlo, puoi applicare il seguente sempliceformula:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Poiché la distanza tra le rette è la lunghezza del segmento perpendicolare tra loro, allora secondo l'espressione scritta basta trovare il modulo del prodotto vettoriale di PQ¯ e u¯ e dividere il risultato per la lunghezza del vettore u¯.

Un esempio di attività per determinare la distanza tra linee rette

Distanza tra rette parallele
Distanza tra rette parallele

Due rette sono date dalle seguenti equazioni vettoriali:

(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);

(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).

Dalle espressioni scritte risulta chiaro che abbiamo due rette parallele. Infatti, se moltiplichiamo per -1 le coordinate del vettore di direzione della prima linea, otteniamo le coordinate del vettore di direzione della seconda linea, che indica il loro parallelismo.

La distanza tra le rette sarà calcolata utilizzando la formula scritta nel paragrafo precedente dell'articolo. Abbiamo:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);

u¯=(-2, 1, 3).

Allora otteniamo:

|u¯|=√14 cm;

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 cm.

Nota che invece dei punti P e Q, tutti i punti che appartengono a queste linee potrebbero essere usati per risolvere il problema. In questo caso, otterremmo la stessa distanza d.

Impostazione di un piano in geometria

Piano, punto e normale
Piano, punto e normale

La questione della distanza tra le linee è stata discussa in dettaglio sopra. Ora mostriamo come trovare la distanza tra piani paralleli.

Ognuno rappresenta cos'è un aereo. Secondo la definizione matematica, l'elemento geometrico specificato è un insieme di punti. Inoltre, se componi tutti i possibili vettori utilizzando questi punti, tutti saranno perpendicolari a un singolo vettore. Quest'ultimo è solitamente chiamato normale al piano.

Per specificare l'equazione di un piano nello spazio tridimensionale, viene spesso utilizzata la forma generale dell'equazione. Si presenta così:

LAx + SIy + Cz + D=0.

Dove le lettere latine maiuscole sono dei numeri. È conveniente usare questo tipo di equazione piana perché in essa sono fornite esplicitamente le coordinate del vettore normale. Sono A, B, C.

È facile vedere che due piani sono paralleli solo quando le loro normali sono parallele.

Come trovare la distanza tra due piani paralleli ?

Piani paralleli
Piani paralleli

Per determinare la distanza specificata, dovresti capire chiaramente cosa è in gioco. La distanza tra piani paralleli tra loro è intesa come la lunghezza del segmento perpendicolare ad essi. Le estremità di questo segmento appartengono ai piani.

L'algoritmo per risolvere questi problemi è semplice. Per fare ciò, devi trovare le coordinate di qualsiasi punto che appartiene a uno dei due piani. Quindi, dovresti usare questa formula:

d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(LA2 + B2 + C2).

Poiché la distanza è un valore positivo, il segno del modulo è al numeratore. La formula scritta è universale, poiché consente di calcolare la distanza dal piano a qualsiasi elemento geometrico. Basta conoscere le coordinate di un punto di questo elemento.

Per completezza, notiamo che se le normali di due piani non sono parallele tra loro, allora tali piani si intersecheranno. La distanza tra loro sarà quindi zero.

Il problema di determinare la distanza tra i piani

Piani paralleli e intersecanti
Piani paralleli e intersecanti

È noto che due piani sono dati dalle seguenti espressioni:

y/5 + x/(-3) + z/1=1;

-x + 3/5y + 3z – 2=0.

È necessario dimostrare che i piani sono paralleli e anche determinare la distanza tra loro.

Per rispondere alla prima parte del problema, devi portare la prima equazione in una forma generale. Si noti che è dato nella cosiddetta forma di equazione in segmenti. Moltiplica le sue parti sinistra e destra per 15 e sposta tutti i termini su un lato dell'equazione, otteniamo:

-5x + 3y + 15z – 15=0.

Scriviamo le coordinate di due vettori normali dei piani:

1¯=(-5, 3, 15);

2¯=(-1, 3/5, 3).

Si può vedere che se n2¯ viene moltiplicato per 5, otterremo esattamente le coordinate n1¯. Quindi, i piani considerati sonoparallelo.

Per calcolare la distanza tra piani paralleli, seleziona un punto arbitrario del primo di essi e usa la formula sopra. Prendiamo ad esempio il punto (0, 0, 1) che appartiene al primo piano. Quindi otteniamo:

d=|Ax0+ By0+ Cz0 + RE|/√(LA2 + B2 + C2)=

=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.

La distanza desiderata è 31 mm.

Distanza tra piano e linea

Piano e retta paralleli
Piano e retta paralleli

Le conoscenze teoriche fornite ci permettono anche di risolvere il problema della determinazione della distanza tra una retta e un piano. Si è già detto sopra che la formula valida per i calcoli tra piani è universale. Può anche essere usato per risolvere il problema. Per fare ciò, seleziona un punto qualsiasi che appartiene alla retta data.

Il problema principale nel determinare la distanza tra gli elementi geometrici considerati è la prova del loro parallelismo (in caso negativo, allora d=0). Il parallelismo è facile da dimostrare se si calcola il prodotto scalare della normale e il vettore di direzione della retta. Se gli elementi in esame sono paralleli, allora questo prodotto sarà uguale a zero.

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