Angoli tra i piani. Come determinare l'angolo tra i piani

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-02 17:49

Quando si risolvono problemi geometrici nello spazio, ci sono spesso quelli in cui è necessario calcolare gli angoli tra diversi oggetti spaziali. In questo articolo considereremo la questione della ricerca degli angoli tra i piani e tra di essi e una retta.

Linea nello spazio

È noto che assolutamente qualsiasi retta nel piano può essere definita dalla seguente uguaglianza:

y=ax + b

Qui aeb ci sono alcuni numeri. Se rappresentiamo una retta nello spazio con la stessa espressione, otteniamo un piano parallelo all'asse z. Per la definizione matematica della retta spaziale si utilizza un metodo risolutivo diverso rispetto al caso bidimensionale. Consiste nell'usare il concetto di "vettore di direzione".

Il vettore di direzione di una retta mostra il suo orientamento nello spazio. Questo parametro appartiene alla linea. Poiché esiste un insieme infinito di vettori paralleli nello spazio, quindi per determinare in modo univoco l'oggetto geometrico considerato, è necessario anche conoscere le coordinate del punto che gli appartiene.

Supponiamo che ci siapunto P(x₀; y₀; z_{0) e vettore di direzione v¯(a; b; c), allora l'equazione di una retta può essere data come segue:}

(x; y; z)=P + αv¯ o

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Questa espressione è chiamata equazione vettoriale parametrica di una retta. Il coefficiente α è un parametro che può assumere qualsiasi valore reale. Le coordinate di una linea possono essere rappresentate esplicitamente espandendo questa uguaglianza:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Equazione del piano

Ci sono diversi modi per scrivere un'equazione per un piano nello spazio. Qui ne considereremo uno, che viene utilizzato più spesso quando si calcolano gli angoli tra due piani o tra uno di essi e una retta.

Se si conosce qualche vettore n¯(A; B; C), che è perpendicolare al piano desiderato, e il punto P(x₀; y ₀; z_{0), che gli appartiene, quindi l'equazione generale per quest'ultimo è:}

LAx + By + Cz + D=0 dove D=-1(LAx₀+ By ₀ + Cz₀₎

Abbiamo omesso la derivazione di questa espressione, che è abbastanza semplice. Qui notiamo solo che, conoscendo i coefficienti delle variabili nell'equazione del piano, si possono facilmente trovare tutti i vettori ad esso perpendicolari. Queste ultime sono dette normali e servono per calcolare gli angoli tra l'inclinazione e il piano e traanaloghi arbitrari.

La posizione dei piani e la formula per l'angolo tra di loro

Diciamo che ci sono due aerei. Quali sono le opzioni per la loro posizione relativa nello spazio. Poiché il piano ha due dimensioni infinite e uno zero, sono possibili solo due opzioni per il loro orientamento reciproco:

saranno paralleli tra loro;
possono sovrapporsi.

L'angolo tra i piani è l'indice tra i loro vettori di direzione, cioè tra le loro normali n₁¯ e n_2¯.

Ovviamente, se sono paralleli al piano, l'angolo di intersezione è zero tra di loro. Se si intersecano, allora è diverso da zero, ma sempre nitido. Un caso speciale di intersezione sarà l'angolo 90o, quando i piani sono reciprocamente perpendicolari tra loro.

L'angolo α tra n₁¯ e n_{2¯ è facilmente determinato dal prodotto scalare di questi vettori. Cioè, la formula ha luogo:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Supponiamo che le coordinate di questi vettori siano: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Quindi, usando le formule per calcolare il prodotto scalare e i moduli dei vettori attraverso le loro coordinate, l'espressione sopra può essere riscritta come:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Il modulo nel numeratore è apparso perché esclude i valori degli angoli ottusi.

Esempi di risoluzione di problemi per determinare l'angolo di intersezione dei piani

Sapendo come trovare l'angolo tra i piani, risolveremo il seguente problema. Vengono forniti due piani, le cui equazioni sono:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Qual è l'angolo tra i piani?

Per rispondere alla domanda del problema, ricordiamo che i coefficienti delle variabili nell'equazione generale del piano sono le coordinate del vettore guida. Per i piani indicati abbiamo le seguenti coordinate delle loro normali:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Ora troviamo il prodotto scalare di questi vettori e dei loro moduli, abbiamo:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Ora puoi sostituire i numeri trovati nella formula data nel paragrafo precedente. Otteniamo:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Il valore risultante corrisponde ad un angolo acuto di intersezione dei piani specificati nella condizionecompiti.

Ora considera un altro esempio. Dati due piani:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Si intersecano? Scriviamo i valori delle coordinate dei loro vettori di direzione, calcoliamo il loro prodotto scalare e moduli:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Allora l'angolo di intersezione è:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Questo angolo indica che i piani non si intersecano, ma sono paralleli. Il fatto che non corrispondano tra loro è facile da verificare. Prendiamo per questo un punto arbitrario appartenente al primo di essi, ad esempio P(0; 3; 2). Sostituendo le sue coordinate nella seconda equazione, otteniamo:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Ovvero, il punto P appartiene solo al primo piano.

Quindi due piani sono paralleli quando lo sono le loro normali.

Piano e linea retta

Nel caso di considerare la posizione relativa tra un piano e una retta, ci sono molte più opzioni che con due piani. Questo fatto è connesso al fatto che la linea retta è un oggetto unidimensionale. La linea e l'aereo possono essere:

Mutuamente paralleli, in questo caso il piano non interseca la retta;
quest'ultimo potrebbe appartenere al piano, mentre sarà anche parallelo ad esso;
entrambi gli oggetti possonosi intersecano ad angolo.

Consideriamo prima l'ultimo caso, poiché richiede l'introduzione del concetto di angolo di intersezione.

Linea e piano, l'angolo tra loro

Se una retta interseca un piano, allora si dice inclinata rispetto ad esso. Il punto di intersezione è chiamato base del pendio. Per determinare l'angolo tra questi oggetti geometrici, è necessario abbassare una retta perpendicolare al piano da qualsiasi punto. Quindi il punto di intersezione della perpendicolare con il piano e il punto di intersezione della linea inclinata con esso formano una linea retta. Quest'ultima è chiamata proiezione della linea originale sul piano in esame. L'angolo acuto tra la linea e la sua proiezione è quello richiesto.

Una definizione alquanto confusa dell'angolo tra un piano e un obliquo chiarirà la figura seguente.

Qui l'angolo ABO è l'angolo tra la linea AB e il piano a.

Per scrivere la formula, considera un esempio. Siano una retta ed un piano, che sono descritti dalle equazioni:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

LAx + SIx + Cx + D=0

È facile calcolare l'angolo desiderato per questi oggetti se trovi il prodotto scalare tra i vettori di direzione della linea e del piano. L'angolo acuto risultante deve essere sottratto da 90o, quindi si ottiene tra una retta e un piano.

La figura sopra mostra l'algoritmo descritto per la ricercaangolo considerato. Qui β è l'angolo tra la normale e la retta, e α è tra la retta e la sua proiezione sul piano. Si può vedere che la loro somma è 90o.

Sopra, è stata presentata una formula che risponde alla domanda su come trovare un angolo tra i piani. Ora diamo l'espressione corrispondente per il caso di una retta e di un piano:

α=arcsin(|aLA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(LA ² + SI ² + C ²⁾⁾⁾

Il modulo nella formula consente di calcolare solo gli angoli acuti. La funzione arcseno è apparsa al posto dell'arcoseno a causa dell'uso della corrispondente formula di riduzione tra le funzioni trigonometriche (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Problema: un piano interseca una retta

Ora mostriamo come lavorare con la formula sopra. Risolviamo il problema: è necessario calcolare l'angolo tra l'asse y e il piano dato dall'equazione:

y - z + 12=0

Questo aereo è mostrato nell'immagine.

Puoi vedere che interseca gli assi yez nei punti (0; -12; 0) e (0; 0; 12), rispettivamente, ed è parallelo all'asse x.

Il vettore di direzione della linea y ha coordinate (0; 1; 0). Un vettore perpendicolare a un dato piano è caratterizzato da coordinate (0; 1; -1). Applichiamo la formula per l'angolo di intersezione di una retta e di un piano, otteniamo:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Problema: retta parallela al piano

Adesso decidiamosimile al problema precedente, la cui questione è posta diversamente. Si conoscono le equazioni del piano e della retta:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

È necessario scoprire se questi oggetti geometrici sono paralleli tra loro.

Abbiamo due vettori: la direzione della retta è (0; 2; 2) e la direzione del piano è (1; 1; -1). Trova il loro prodotto di punta:

01 + 12 - 12=0

Lo zero risultante indica che l'angolo tra questi vettori è 90o, il che dimostra che la linea e il piano sono paralleli.

Ora controlliamo se questa linea è solo parallela o giace anche nel piano. Per fare ciò, seleziona un punto arbitrario sulla linea e controlla se appartiene al piano. Ad esempio, prendiamo λ=0, allora il punto P(1; 0; 0) appartiene alla retta. Sostituisci nell'equazione del piano P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Il punto P non appartiene al piano, il che significa che non c'è nemmeno l'intera linea.

Dove è importante conoscere gli angoli tra gli oggetti geometrici considerati?

Le formule e gli esempi di problem solving di cui sopra non sono solo di interesse teorico. Sono spesso usati per determinare quantità fisiche importanti di figure tridimensionali reali, come prismi o piramidi. È importante poter determinare l'angolo tra i piani quando si calcolano i volumi delle figure e le aree delle loro superfici. Inoltre, se nel caso di un prisma rettilineo è possibile non utilizzare queste formule per determinarevalori specificati, quindi per qualsiasi tipo di piramide il loro utilizzo è inevitabile.

Di seguito, considera un esempio di utilizzo della teoria di cui sopra per determinare gli angoli di una piramide a base quadrata.

Piramide e i suoi angoli

La figura sotto mostra una piramide, alla base della quale giace un quadrato di lato a. L' altezza della figura è h. Devi trovare due angoli:

tra superficie laterale e base;
tra la costa laterale e la base.

Per risolvere il problema, devi prima entrare nel sistema di coordinate e determinare i parametri dei vertici corrispondenti. La figura mostra che l'origine delle coordinate coincide con il punto al centro della base quadrata. In questo caso, il piano di base è descritto dall'equazione:

z=0

Ovvero, per ogni xey, il valore della terza coordinata è sempre zero. Il piano laterale ABC interseca l'asse z nel punto B(0; 0; h) e l'asse y nel punto con coordinate (0; a/2; 0). Non attraversa l'asse x. Ciò significa che l'equazione del piano ABC può essere scritta come:

y / (a / 2) + z / h=1 o

2hy + az - ah=0

Il vettore AB¯ è un bordo laterale. Le sue coordinate di inizio e fine sono: A(a/2; a/2; 0) e B(0; 0; h). Quindi le coordinate del vettore stesso:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Abbiamo trovato tutte le equazioni ei vettori necessari. Ora resta da usare le formule considerate.

Prima calcoliamo nella piramide l'angolo tra i piani della basee laterale. I corrispondenti vettori normali sono: n₁¯(0; 0; 1) e n_{2¯(0; 2h; a). Quindi l'angolo sarà:}