Uno degli assiomi della geometria afferma che attraverso due punti qualsiasi è possibile tracciare un'unica retta. Questo assioma testimonia che esiste un'espressione numerica univoca che descrive in modo univoco l'oggetto geometrico unidimensionale specificato. Considera nell'articolo la domanda su come scrivere l'equazione di una retta passante per due punti.
Che cos'è un punto e una linea?
Prima di considerare la questione della costruzione nello spazio e sul piano di una retta di un'equazione passante per una coppia di punti diversi, si dovrebbero definire gli oggetti geometrici specificati.
Un punto è determinato in modo univoco da un insieme di coordinate in un dato sistema di assi di coordinate. Oltre a loro, non ci sono più caratteristiche per il punto. È un oggetto a dimensione zero.
Quando si parla di una linea retta, ogni persona immagina una linea raffigurata su un foglio di carta bianco. Allo stesso tempo, è possibile dare una definizione geometrica esattaquesto oggetto. Una retta è un tale insieme di punti per i quali la connessione di ciascuno di essi con tutti gli altri darà un insieme di vettori paralleli.
Questa definizione viene utilizzata quando si imposta l'equazione vettoriale di una retta, che verrà discussa di seguito.
Poiché qualsiasi linea può essere contrassegnata con un segmento di lunghezza arbitraria, si dice che sia un oggetto geometrico unidimensionale.
Funzione vettore numero
Un'equazione per due punti di una retta passante può essere scritta in forme diverse. Negli spazi tridimensionali e bidimensionali, l'espressione numerica principale e intuitivamente comprensibile è un vettore.
Assumiamo che ci sia qualche segmento diretto u¯(a; b; c). Nello spazio 3D, il vettore u¯ può iniziare in qualsiasi punto, quindi le sue coordinate definiscono un insieme infinito di vettori paralleli. Tuttavia, se scegliamo un punto specifico P(x0; y0; z0) e mettiamo esso come inizio del vettore u¯, quindi, moltiplicando questo vettore per un numero reale arbitrario λ, si possono ottenere tutti i punti di una retta nello spazio. Cioè, l'equazione vettoriale sarà scritta come:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Ovviamente, per il caso sull'aereo, la funzione numerica assume la forma:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Il vantaggio di questo tipo di equazione rispetto alle altre (a segmenti, canonica,forma generale) sta nel fatto che contiene esplicitamente le coordinate del vettore di direzione. Quest'ultimo è spesso usato per determinare se le linee sono parallele o perpendicolari.
Generale in segmenti e funzione canonica per una retta nello spazio bidimensionale
Quando si risolvono problemi, a volte è necessario scrivere l'equazione di una retta passante per due punti in una determinata forma specifica. Pertanto, dovrebbero essere forniti altri modi per specificare questo oggetto geometrico nello spazio bidimensionale (per semplicità consideriamo il caso sul piano).
Iniziamo con un'equazione generale. Ha la forma:
LAx + SIy + C=0
Di norma, sul piano l'equazione di una retta è scritta in questa forma, solo y è esplicitamente definita tramite x.
Ora trasforma l'espressione sopra come segue:
LAx + SIy=-C=>
x/(-C/LA) + y/(-C/SI)=1
Questa espressione è chiamata equazione in segmenti, poiché il denominatore di ogni variabile mostra per quanto tempo il segmento di linea si interrompe sull'asse delle coordinate corrispondente rispetto al punto iniziale (0; 0).
Resta da fare un esempio dell'equazione canonica. Per fare ciò, scriviamo esplicitamente l'uguaglianza del vettore:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Esprimiamo il parametro λ da qui e uguagliamo le uguaglianze risultanti:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
L'ultima uguaglianza è chiamata equazione in forma canonica o simmetrica.
Ognuno di essi può essere convertito in vettoriale e viceversa.
L'equazione di una retta passante per due punti: una tecnica di compilazione
Torna alla domanda dell'articolo. Supponiamo che ci siano due punti nello spazio:
M(x1; y1; z1) e N(x 2; y2; z2)
L'unica retta passa attraverso di loro, la cui equazione è molto facile da comporre in forma vettoriale. Per fare ciò, calcoliamo le coordinate del segmento orientato MN¯, abbiamo:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Non è difficile intuire che questo vettore sarà la guida per la retta, la cui equazione deve essere ottenuta. Sapendo che passa anche per M e N, puoi usare le coordinate di uno qualsiasi di essi per un'espressione vettoriale. Quindi l'equazione desiderata assume la forma:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Per il caso nello spazio bidimensionale, otteniamo una simile uguaglianza senza la partecipazione della variabile z.
Non appena l'uguaglianza del vettore per la linea è scritta, può essere tradotta in qualsiasi altra forma richiesta dalla domanda del problema.
Compito:scrivi un'equazione generale
È noto che una retta passa per i punti di coordinate (-1; 4) e (3; 2). Occorre comporre l'equazione di una retta passante per esse, in forma generale, esprimendo y in termini di x.
Per risolvere il problema, scriviamo prima l'equazione in forma vettoriale. Le coordinate vettoriali (guida) sono:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Allora la forma vettoriale dell'equazione della retta è la seguente:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Rimane da scrivere in forma generale nella forma y(x). Riscriviamo esplicitamente questa uguaglianza, esprimiamo il parametro λ e lo escludiamo dall'equazione:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Dall'equazione canonica risultante, esprimiamo y e arriviamo alla risposta alla domanda del problema:
y=-0,5x + 3,5
La validità di questa uguaglianza può essere verificata sostituendo le coordinate dei punti specificati nell'enunciato del problema.
Problema: una retta passante per il centro del segmento
Ora risolviamo un problema interessante. Supponiamo che siano dati due punti M(2; 1) e N(5; 0). È noto che una retta passa per il punto medio del segmento che collega i punti ed è ad esso perpendicolare. Scrivi l'equazione di una retta passante per il centro del segmento in forma vettoriale.
L'espressione numerica desiderata può essere formata calcolando la coordinata di questo centro e determinando il vettore di direzione, cheil segmento forma un angolo 90o.
Il punto medio del segmento è:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Calcoliamo ora le coordinate del vettore MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Poiché il vettore di direzione per la retta desiderata è perpendicolare a MN¯, il loro prodotto scalare è uguale a zero. Ciò consente di calcolare le coordinate sconosciute (a; b) del vettore di governo:
a3 - b=0=>
b=3a
Adesso scrivi l'equazione vettoriale:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Qui abbiamo sostituito il prodotto aλ con un nuovo parametro β.
Così abbiamo realizzato l'equazione di una retta passante per il centro del segmento.
