Anche a scuola, tutti gli studenti conoscono il concetto di "geometria euclidea", le cui disposizioni principali sono incentrate su diversi assiomi basati su elementi geometrici come punto, piano, linea, movimento. Tutti insieme formano ciò che è stato a lungo conosciuto con il termine "spazio euclideo".
Lo spazio euclideo, la cui definizione si basa sul concetto di moltiplicazione scalare dei vettori, è un caso speciale di spazio lineare (affino) che soddisfa una serie di requisiti. Primo, il prodotto scalare dei vettori è assolutamente simmetrico, cioè il vettore con coordinate (x;y) è quantitativamente identico al vettore con coordinate (y;x), ma in direzione opposta.
In secondo luogo, se viene eseguito il prodotto scalare di un vettore con se stesso, il risultato di questa azione sarà positivo. L'unica eccezione sarà il caso in cui le coordinate iniziali e finali di questo vettore siano uguali a zero: in questo caso anche il suo prodotto con se stesso sarà uguale a zero.
In terzo luogo, il prodotto scalare è distributivo, ovvero è possibile scomporre una delle sue coordinate nella somma di due valori, il che non comporterà alcuna modifica nel risultato finale della moltiplicazione scalare dei vettori. Infine, in quarto luogo, quando i vettori vengono moltiplicati per lo stesso numero reale, anche il loro prodotto scalare aumenterà dello stesso fattore.
Se tutte queste quattro condizioni sono soddisfatte, possiamo dire con sicurezza di avere uno spazio euclideo.
Lo spazio euclideo da un punto di vista pratico può essere caratterizzato dai seguenti esempi specifici:
- Il caso più semplice è la presenza di un insieme di vettori con un prodotto scalare definito secondo le leggi di base della geometria.
- Lo spazio euclideo si ottiene anche se per vettori si intende un certo insieme finito di numeri reali con una data formula che ne descrive la somma scalare o prodotto.
- Un caso speciale di spazio euclideo è il cosiddetto spazio zero, che si ottiene se la lunghezza scalare di entrambi i vettori è uguale a zero.
Lo spazio euclideo ha una serie di proprietà specifiche. In primo luogo, il fattore scalare può essere tolto tra parentesi sia dal primo che dal secondo fattore del prodotto scalare, il risultato da questo non cambierà in alcun modo. In secondo luogo, insieme alla distributività del primo elemento dello scalareprodotto, agisce anche la distributività del secondo elemento. Inoltre, oltre alla somma scalare dei vettori, la distributività avviene anche nel caso di sottrazione vettoriale. Infine, in terzo luogo, quando un vettore viene moltiplicato scalarmente per zero, anche il risultato sarà zero.
Quindi, lo spazio euclideo è il concetto geometrico più importante utilizzato per risolvere i problemi con la disposizione reciproca dei vettori l'uno rispetto all' altro, che è caratterizzato da un concetto come il prodotto scalare.
