Un piano è un oggetto geometrico le cui proprietà vengono utilizzate per costruire proiezioni di punti e linee, nonché per calcolare distanze e angoli diedri tra elementi di figure tridimensionali. Consideriamo in questo articolo quali equazioni possono essere utilizzate per studiare la posizione dei piani nello spazio.
Definizione del piano
Ognuno immagina intuitivamente quale oggetto verrà discusso. Da un punto di vista geometrico, un piano è un insieme di punti, qualsiasi vettore tra i quali deve essere perpendicolare a un vettore. Ad esempio, se ci sono m punti diversi nello spazio, è possibile ricavarne m(m-1) / 2 vettori diversi, collegando i punti a coppie. Se tutti i vettori sono perpendicolari a una direzione, allora questa è una condizione sufficiente che tutti i punti m appartengano allo stesso piano.
Equazione generale
Nella geometria spaziale, un piano viene descritto utilizzando equazioni che generalmente contengono tre coordinate sconosciute corrispondenti agli assi x, yez. Aottieni l'equazione generale in coordinate piane nello spazio, supponiamo che ci sia un vettore n¯(A; B; C) e un punto M(x0; y0; z0). Usando questi due oggetti, il piano può essere definito in modo univoco.
Infatti, supponiamo che esista un secondo punto P(x; y; z) le cui coordinate sono sconosciute. Secondo la definizione data sopra, il vettore MP¯ deve essere perpendicolare a n¯, cioè il loro prodotto scalare è uguale a zero. Quindi possiamo scrivere la seguente espressione:
(n¯MP¯)=0 o
LA(x-x0) + SI(y-y0) + C(z-z0)=0
Aprendo le parentesi e introducendo un nuovo coefficiente D, otteniamo l'espressione:
LAx + By + Cz + D=0 dove D=-1(LAx0+ By 0 + Cz0)
Questa espressione è chiamata equazione generale per il piano. È importante ricordare che i coefficienti davanti a x, yez formano le coordinate del vettore n¯(A; B; C) perpendicolare al piano. Coincide con la normale ed è una guida per l'aereo. Per determinare l'equazione generale, non importa dove è diretto questo vettore. Cioè, i piani costruiti sui vettori n¯ e -n¯ saranno gli stessi.
La figura sopra mostra un piano, un vettore normale ad esso e una linea perpendicolare al piano.
Segmenti tagliati dal piano sugli assi e l'equazione corrispondente
L'equazione generale consente di utilizzare semplici operazioni matematiche per determinare, inin quali punti il piano intersecherà gli assi delle coordinate. È importante conoscere queste informazioni per avere un'idea della posizione nello spazio dell'aereo, così come quando la si rappresenta nei disegni.
Per determinare i punti di intersezione nominati, viene utilizzata un'equazione in segmenti. È così chiamato perché contiene esplicitamente i valori delle lunghezze dei segmenti tagliati dal piano sugli assi delle coordinate, quando si contano dal punto (0; 0; 0). Otteniamo questa equazione.
Scrivi l'espressione generale per il piano come segue:
LAx + SIy + Cz=-RE
Le parti sinistra e destra possono essere divise per -D senza violare l'uguaglianza. Abbiamo:
LA/(-RE)x + SI/(-RE)y + C/(-RE)z=1 o
x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1
Disegna i denominatori di ogni termine con un nuovo simbolo, otteniamo:
p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C quindi
x/p + y/q + z/r=1
Questa è l'equazione menzionata sopra in segmenti. Ne consegue che il valore del denominatore di ciascun termine indica la coordinata dell'intersezione con l'asse corrispondente del piano. Ad esempio, interseca l'asse y nel punto (0; q; 0). Questo è facile da capire se si sostituiscono le coordinate zero xez nell'equazione.
Nota che se non ci sono variabili nell'equazione nei segmenti, significa che il piano non interseca l'asse corrispondente. Ad esempio, data l'espressione:
x/p + y/q=1
Ciò significa che il piano taglierà i segmenti p e q sugli assi xey, rispettivamente, ma sarà parallelo all'asse z.
Conclusione sul comportamento dell'aereo quandol'assenza di qualche variabile nella sua equazione vale anche per un'espressione di tipo generale, come mostrato nella figura seguente.
Equazione parametrica vettoriale
C'è un terzo tipo di equazione che permette di descrivere un piano nello spazio. Si chiama vettore parametrico perché è dato da due vettori che giacciono nel piano e due parametri che possono assumere valori arbitrariamente indipendenti. Mostriamo come ottenere questa equazione.
Supponiamo che ci siano un paio di vettori noti u ¯(a1; b1; c1) e v¯(a2; b2; c2). Se non sono paralleli, possono essere usati per impostare un piano specifico fissando l'inizio di uno di questi vettori in un punto noto M(x0; y0; z0). Se un vettore arbitrario MP¯ può essere rappresentato come una combinazione di vettori lineari u¯ e v¯, allora ciò significa che il punto P(x; y; z) appartiene allo stesso piano di u¯, v¯. Quindi, possiamo scrivere l'uguaglianza:
MP¯=αu¯ + βv¯
O scrivendo questa uguaglianza in termini di coordinate, otteniamo:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a1; b1; c1) + β(a 2; b2; c2)
L'uguaglianza presentata è un'equazione vettoriale parametrica per il piano. Alo spazio vettoriale sul piano u¯ e v¯ è chiamato generatori.
Successivamente, quando si risolve il problema, verrà mostrato come questa equazione può essere ridotta a una forma generale per un aereo.
Angolo tra i piani nello spazio
Intuitivamente, i piani nello spazio 3D possono intersecare o meno. Nel primo caso, è interessante trovare l'angolo tra di loro. Il calcolo di questo angolo è più difficile dell'angolo tra le linee, poiché si tratta di un oggetto geometrico diedro. Tuttavia, il già citato vettore guida per l'aereo viene in soccorso.
E' geometricamente stabilito che l'angolo diedro tra due piani che si intersecano è esattamente uguale all'angolo tra i loro vettori guida. Indichiamo questi vettori come n1¯(a1; b1; c1) e n2¯(a2; b2; c2). Il coseno dell'angolo tra di loro è determinato dal prodotto scalare. Cioè, l'angolo stesso nello spazio tra i piani può essere calcolato con la formula:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Qui il modulo al denominatore viene utilizzato per scartare il valore dell'angolo ottuso (tra i piani intersecanti è sempre minore o uguale a 90o).
In forma coordinata, questa espressione può essere riscritta come segue:
φ=arccos(|a1a2 + b1b 2 +c1c2|/(√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b22 + c 22)))
Piani perpendicolari e paralleli
Se i piani si intersecano e l'angolo diedro da essi formato è 90o, allora saranno perpendicolari. Un esempio di tali piani è un prisma rettangolare o un cubo. Queste figure sono formate da sei piani. Ad ogni vertice delle figure nominate ci sono tre piani perpendicolari tra loro.
Per sapere se i piani considerati sono perpendicolari, basta calcolare il prodotto scalare dei loro vettori normali. Una condizione sufficiente per la perpendicolarità nello spazio dei piani è il valore zero di questo prodotto.
I paralleli sono detti piani non intersecanti. A volte si dice anche che i piani paralleli si intersecano all'infinito. La condizione di parallelismo nello spazio dei piani coincide con quella condizione per i vettori di direzione n1¯ e n2¯. Puoi verificarlo in due modi:
- Calcola il coseno dell'angolo diedro (cos(φ)) usando il prodotto scalare. Se i piani sono paralleli, il valore sarà 1.
- Cerca di rappresentare un vettore attraverso un altro moltiplicando per un numero, ad esempio n1¯=kn2¯. Se questo può essere fatto, allora lo sono i piani corrispondentiparallelo.
La figura mostra due piani paralleli.
Ora diamo esempi per risolvere due problemi interessanti usando le conoscenze matematiche ottenute.
Come ottenere una forma generale da un'equazione vettoriale?
Questa è un'espressione vettoriale parametrica per un piano. Per facilitare la comprensione del flusso delle operazioni e dei trucchi matematici utilizzati, si consideri un esempio specifico:
(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)
Espandi questa espressione ed esprimi i parametri sconosciuti:
x=1 + 2α;
y=2 - α + β;
z=α + 3β
Allora:
α=(x - 1)/2;
β=y - 2 + (x - 1)/2;
z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)
Aprendo le parentesi nell'ultima espressione, otteniamo:
z=2x-2 + 3y - 6 o
2x + 3y - z - 8=0
Abbiamo ottenuto la forma generale dell'equazione per il piano specificato nell'enunciato del problema in forma vettoriale
Come costruire un aereo attraverso tre punti?
È possibile tracciare un unico piano per tre punti se questi punti non appartengono ad una singola retta. L'algoritmo per risolvere questo problema consiste nella seguente sequenza di azioni:
- trova le coordinate di due vettori collegando punti noti a coppie;
- calcola il loro prodotto incrociato e ottieni un vettore normale al piano;
- scrivi l'equazione generale usando il vettore trovato euno dei tre punti.
Facciamo un esempio concreto. Punti assegnati:
R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)
Le coordinate dei due vettori sono:
RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)
Il loro prodotto incrociato sarà:
n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)
Prendendo le coordinate del punto R, otteniamo l'equazione richiesta:
6x + 2y + 4z -10=0 o
3x + y + 2z -5=0
Si raccomanda di verificare la correttezza del risultato sostituendo le coordinate dei due punti rimanenti in questa espressione:
per P: 30 + (-3) + 24 -5=0;
per Q: 31 + (-2) + 22 -5=0
Si noti che era possibile non trovare il prodotto vettoriale, ma scrivere immediatamente l'equazione per il piano in una forma vettoriale parametrica.
