Durante lo studio delle proprietà di un'equazione quadratica, è stata impostata una restrizione: per un discriminante inferiore a zero, non c'è soluzione. È stato subito stabilito che si tratta di un insieme di numeri reali. La mente curiosa di un matematico sarà interessata: qual è il segreto contenuto nella clausola sui valori reali?
Nel tempo, i matematici hanno introdotto il concetto di numeri complessi, dove il valore condizionale della seconda radice di meno uno viene preso come unità.
Sfondo storico
La teoria matematica si sviluppa in modo sequenziale, dal semplice al complesso. Scopriamo come è nato il concetto chiamato "numero complesso" e perché è necessario.
Da tempo immemorabile, la base della matematica era il solito resoconto. I ricercatori conoscevano solo l'insieme naturale dei valori. L'addizione e la sottrazione erano semplici. Man mano che le relazioni economiche diventavano più complesse, iniziò ad essere utilizzata la moltiplicazione invece di aggiungere gli stessi valori. C'è un'operazione inversa amoltiplicazione - divisione.
Il concetto di numero naturale limitava l'uso delle operazioni aritmetiche. È impossibile risolvere tutti i problemi di divisione sull'insieme dei valori interi. Il lavoro con le frazioni ha portato prima al concetto di valori razionali e poi a valori irrazionali. Se per il razionale è possibile indicare la posizione esatta del punto sulla linea, per l'irrazionale è impossibile indicare un tale punto. Puoi solo approssimare l'intervallo. L'unione di numeri razionali e irrazionali formava un insieme reale, che può essere rappresentato come una certa linea con una data scala. Ogni passo lungo la linea è un numero naturale, e tra di loro ci sono valori razionali e irrazionali.
L'era della matematica teorica è iniziata. Lo sviluppo dell'astronomia, della meccanica, della fisica ha richiesto la soluzione di equazioni sempre più complesse. In generale, sono state trovate le radici dell'equazione quadratica. Quando hanno risolto un polinomio cubico più complesso, gli scienziati sono incappati in una contraddizione. Il concetto di radice cubica da un negativo ha senso, ma per una radice quadrata si ottiene incertezza. Inoltre, l'equazione quadratica è solo un caso speciale di quella cubica.
Nel 1545, l'italiano J. Cardano propose di introdurre il concetto di numero immaginario.
Questo numero è la seconda radice di meno uno. Il termine numero complesso si formò finalmente solo trecento anni dopo, nelle opere del famoso matematico Gauss. Propose di estendere formalmente tutte le leggi dell'algebra al numero immaginario. La linea reale è stata estesa aaerei. Il mondo è più grande.
Concetti di base
Richiama una serie di funzioni che hanno restrizioni sul set reale:
- y=arcsin(x), definito tra negativo e positivo 1.
- y=ln(x), il logaritmo decimale ha senso con argomenti positivi.
- radice quadrata y=√x, calcolata solo per x ≧ 0.
Denotando i=√(-1), introduciamo tale concetto come un numero immaginario, questo rimuoverà tutte le restrizioni dal dominio di definizione delle funzioni di cui sopra. Espressioni come y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) hanno senso in uno spazio di numeri complessi.
La forma algebrica può essere scritta come un'espressione z=x + i×y sull'insieme dei valori reali di xey, e i2 =-1.
Il nuovo concetto rimuove tutte le restrizioni sull'uso di qualsiasi funzione algebrica e assomiglia a un grafico di una retta in coordinate di valori reali e immaginari.
Aereo complesso
La forma geometrica dei numeri complessi ci permette di rappresentare visivamente molte delle loro proprietà. Sull'asse Re(z) segniamo i valori x reali, su Im(z) - i valori immaginari di y, quindi il punto z sul piano visualizzerà il valore complesso richiesto.
Definizioni:
- Re(z) - asse reale.
- Im(z) - indica l'asse immaginario.
- z - punto condizionale di un numero complesso.
- Viene chiamato il valore numerico della lunghezza del vettore da zero a zmodulo.
- Assi reali e immaginari dividono l'aereo in quarti. Con un valore positivo delle coordinate - I quarto. Quando l'argomento dell'asse reale è inferiore a 0 e l'asse immaginario è maggiore di 0 - II trimestre. Quando le coordinate sono negative - III quarto. L'ultimo quarto trimestre contiene molti valori reali positivi e valori immaginari negativi.
Quindi, su un piano con valori di coordinate xey, si può sempre visualizzare un punto di un numero complesso. Il personaggio i viene introdotto per separare la parte reale da quella immaginaria.
Proprietà
- Quando il valore dell'argomento immaginario è zero, otteniamo solo un numero (z=x), che si trova sull'asse reale e appartiene all'insieme reale.
- Caso speciale in cui il valore dell'argomento reale diventa zero, l'espressione z=i×y corrisponde alla posizione del punto sull'asse immaginario.
- La forma generale di z=x + i×y sarà per valori diversi da zero degli argomenti. Indica la posizione del punto che caratterizza il numero complesso in uno dei quarti.
Notazione trigonometrica
Richiama il sistema di coordinate polari e la definizione delle funzioni trigonometriche sin e cos. È ovvio che con l'aiuto di queste funzioni è possibile descrivere la posizione di qualsiasi punto sul piano. Per fare ciò è sufficiente conoscere la lunghezza del raggio polare e l'angolo di inclinazione rispetto all'asse reale.
Definizione. Una voce della forma ∣z ∣ moltiplicata per la somma delle funzioni trigonometriche cos(ϴ) e della parte immaginaria i ×sin(ϴ) è chiamata numero complesso trigonometrico. Qui la designazione è l'angolo di inclinazione rispetto all'asse reale
ϴ=arg(z) e r=∣z∣, lunghezza del raggio.
Dalla definizione e dalle proprietà delle funzioni trigonometriche, segue una formula Moivre molto importante:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Utilizzando questa formula, è conveniente risolvere molti sistemi di equazioni contenenti funzioni trigonometriche. Soprattutto quando si pone il problema dell'elevazione al potere.
Modulo e fase
Per completare la descrizione di un insieme complesso, proponiamo due importanti definizioni.
Conoscendo il teorema di Pitagora, è facile calcolare la lunghezza del raggio nel sistema di coordinate polari.
r=∣z∣=√(x2 + y2), tale notazione su uno spazio complesso è chiamata " module" e caratterizza la distanza da 0 a un punto del piano.
L'angolo di inclinazione del fascio complesso rispetto alla retta reale ϴ è comunemente chiamato fase.
La definizione mostra che la parte reale e quella immaginaria sono descritte usando funzioni cicliche. Vale a dire:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Inversamente, la fase è correlata ai valori algebrici attraverso la formula:
ϴ=arctan(x / y) + µ, viene introdotta la correzione µ per tenere conto della periodicità delle funzioni geometriche.
Formula di Eulero
I matematici usano spesso la forma esponenziale. I numeri dei piani complessi sono scritti come espressioni
z=r × ei×ϴ , che segue dalla formula di Eulero.
Questo record è ampiamente utilizzato per il calcolo pratico delle quantità fisiche. Forma di presentazione nel moduloi numeri complessi esponenziali sono particolarmente convenienti per i calcoli ingegneristici, dove diventa necessario calcolare circuiti con correnti sinusoidali ed è necessario conoscere il valore degli integrali di funzioni con un dato periodo. I calcoli stessi servono come strumento nella progettazione di varie macchine e meccanismi.
Definisci operazioni
Come già notato, tutte le leggi algebriche relative al lavoro con le funzioni matematiche di base si applicano ai numeri complessi.
Operazione somma
Quando si aggiungono valori complessi, vengono aggiunte anche le loro parti reali e immaginarie.
z=z1 + z2 dove z1 e z2 - numeri complessi generali. Trasformando l'espressione, dopo aver aperto le parentesi e semplificato la notazione, otteniamo l'argomento reale x=(x1 + x2), l'argomento immaginario y=(y 1 + y2).
Sul grafico, sembra l'aggiunta di due vettori, secondo la ben nota regola del parallelogramma.
Operazione di sottrazione
Considerato come un caso speciale di addizione, quando un numero è positivo, l' altro è negativo, cioè situato nel quarto speculare. La notazione algebrica assomiglia alla differenza tra parti reali e immaginarie.
z=z1 - z2, oppure, tenendo conto dei valori degli argomenti, similmente all'addizione operazione, otteniamo per i valori reali x=(x1 - x2) e immaginari y=(y1- y2).
Moltiplicazione sul piano complesso
Usando le regole per lavorare con i polinomi, deriviamo la formulaper risolvere numeri complessi.
Seguendo le regole algebriche generali z=z1×z2, descrivi ogni argomento ed elenca quelli simili. La parte reale e quella immaginaria possono essere scritte così:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Sembra più bello se usiamo numeri complessi esponenziali.
L'espressione si presenta così: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Inoltre, semplicemente, si moltiplicano i moduli e si sommano le fasi.
Divisione
Quando si considera l'operazione di divisione come l'inverso della moltiplicazione, si ottiene una semplice espressione in notazione esponenziale. Dividendo il valore z1 per z2 è il risultato della divisione dei loro moduli e della differenza di fase. Formalmente, quando si usa la forma esponenziale dei numeri complessi, appare così:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Sotto forma di notazione algebrica, l'operazione di divisione dei numeri del piano complesso è scritta in modo un po' più complicato:
z=z1 / z2.
Descrivendo argomenti ed eseguendo trasformazioni polinomiali, è facile ottenere valorix=x1 × x2 + y1 × y2, rispettivamente y=x2 × y1 - x1 × y2 , tuttavia, all'interno dello spazio descritto, questa espressione ha senso se z2 ≠ 0.
Estrai la radice
Tutto quanto sopra può essere applicato quando si definiscono funzioni algebriche più complesse - elevando a qualsiasi potenza e inverse ad essa - estraendo la radice.
Usando il concetto generale di elevazione alla potenza n, otteniamo la definizione:
zn =(r × eiϴ).
Utilizzando proprietà comuni, riscrivi come:
zn =rn × eiϴ.
Abbiamo una formula semplice per elevare un numero complesso a una potenza.
Dalla definizione del grado otteniamo una conseguenza molto importante. Una potenza pari dell'unità immaginaria è sempre 1. Qualsiasi potenza dispari dell'unità immaginaria è sempre -1.
Ora studiamo la funzione inversa - estraendo la radice.
Per facilità di notazione, prendiamo n=2. La radice quadrata w del valore complesso z sul piano complesso C è considerata l'espressione z=±, valida per ogni argomento reale maggiore o uguale a zero. Per w ≦ 0, non c'è soluzione.
Diamo un'occhiata all'equazione quadratica più semplice z2 =1. Usando formule di numeri complessi, riscrivi r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Si può vedere dal record che r2 =1 e ϴ=0, quindi, abbiamo un'unica soluzione uguale a 1. Ma questo contraddice l'idea che z=-1 si adatta anche alla definizione di radice quadrata.
Capiamo cosa non prendiamo in considerazione. Se ricordiamo la notazione trigonometrica, ripristiniamo l'affermazione: con un cambio periodico nella fase ϴ, il numero complesso non cambia. Sia p il valore del periodo, allora abbiamo r2 × ei2ϴ =ei(0+p), da cui 2ϴ=0 + p, o ϴ=p / 2. Pertanto, ei0 =1 e eip/2 =-1. Abbiamo ottenuto la seconda soluzione, che corrisponde alla comprensione generale della radice quadrata.
Quindi, per trovare una radice arbitraria di un numero complesso, seguiremo la procedura.
- Scrivi la forma esponenziale w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k è un numero intero arbitrario.
- Il numero desiderato è anche rappresentato nella forma di Eulero z=r × eiϴ.
- Usa la definizione generale della funzione di estrazione della radice r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Dalle proprietà generali dell'uguaglianza di moduli e argomenti, scriviamo rn =∣w∣ e nϴ=arg (w) + p×k.
- Il record finale della radice di un numero complesso è descritto dalla formula z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Nota. Il valore di ∣w∣, per definizione,è un numero reale positivo, quindi la radice di qualsiasi grado ha senso.
Campo e coniugazione
In conclusione, diamo due importanti definizioni che sono di scarsa importanza per la risoluzione di problemi applicati con numeri complessi, ma sono essenziali per l'ulteriore sviluppo della teoria matematica.
Le espressioni per addizione e moltiplicazione formano un campo se soddisfano gli assiomi per qualsiasi elemento del piano complesso z:
- La somma complessa non cambia cambiando posto di termini complessi.
- L'affermazione è vera - in un'espressione complessa, qualsiasi somma di due numeri può essere sostituita dal loro valore.
- C'è un valore neutro 0 per il quale z + 0=0 + z=z è vero.
- Per ogni z c'è un opposto - z, la cui aggiunta dà zero.
- Quando si cambiano luoghi di fattori complessi, il prodotto complesso non cambia.
- La moltiplicazione di due numeri qualsiasi può essere sostituita dal loro valore.
- C'è un valore neutro 1, la cui moltiplicazione non cambia il numero complesso.
- Per ogni z ≠ 0, c'è un inverso di z-1, che si moltiplica per 1.
- Moltiplicare la somma di due numeri per un terzo equivale all'operazione di moltiplicare ciascuno di essi per questo numero e sommare i risultati.
- 0 ≠ 1.
I numeri z1 =x + i×y e z2 =x - i×y sono chiamati coniugati.
Teorema. Per la coniugazione, l'affermazione è vera:
- La coniugazione della somma è uguale alla somma degli elementi coniugati.
- Il coniugato del prodotto èprodotto di coniugazioni.
- La coniugazione della coniugazione è uguale al numero stesso.
In algebra generale, tali proprietà sono chiamate automorfismi di campo.
Esempi
Seguendo le regole e le formule fornite per i numeri complessi, puoi facilmente operare con esse.
Consideriamo gli esempi più semplici.
Problema 1. Utilizzando l'equazione 3y +5 x i=15 - 7i, determinare x e y.
Decisione. Richiama la definizione di uguaglianze complesse, quindi 3y=15, 5x=-7. Pertanto, x=-7 / 5, y=5.
Attività 2. Calcola i valori 2 + i28 e 1 + i135.
Decisione. Ovviamente 28 è un numero pari, per conseguenza della definizione di numero complesso nella potenza si ha i28 =1, il che significa che l'espressione 2 + i 28 =3. Il secondo valore, i135 =-1, quindi 1 + i135 =0.
Attività 3. Calcola il prodotto dei valori 2 + 5i e 4 + 3i.
Decisione. Dalle proprietà generali della moltiplicazione dei numeri complessi, otteniamo (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Il nuovo valore sarà -7 + 26i.
Attività 4. Calcola le radici dell'equazione z3 =-i.
Decisione. Esistono diversi modi per trovare un numero complesso. Consideriamo uno dei possibili. Per definizione, ∣ - i∣=1, la fase per -i è -p / 4. L'equazione originale può essere riscritta come r3ei3ϴ =e-p/4+pk, da dove z=e-p / 12 + pk/3, per qualsiasi intero k.
Il set di soluzioni ha la forma (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Perché abbiamo bisogno di numeri complessi
La storia conosce molti esempi in cui gli scienziati, lavorando su una teoria, non pensano nemmeno all'applicazione pratica dei loro risultati. La matematica è prima di tutto un gioco della mente, una stretta aderenza ai rapporti di causa ed effetto. Quasi tutte le costruzioni matematiche si riducono alla risoluzione di equazioni integrali e differenziali e quelle, a loro volta, con una certa approssimazione, vengono risolte trovando le radici dei polinomi. Qui incontriamo per la prima volta il paradosso dei numeri immaginari.
Gli scienziati naturalisti, risolvendo problemi completamente pratici, ricorrendo a soluzioni di varie equazioni, scoprono paradossi matematici. L'interpretazione di questi paradossi porta a scoperte assolutamente sorprendenti. La duplice natura delle onde elettromagnetiche è uno di questi esempi. I numeri complessi svolgono un ruolo cruciale nella comprensione delle loro proprietà.
Questo, a sua volta, ha trovato applicazione pratica in ottica, radioelettronica, energia e molti altri campi tecnologici. Un altro esempio, fenomeni fisici molto più difficili da comprendere. L'antimateria è stata prevista sulla punta di una penna. E solo molti anni dopo, iniziano i tentativi di sintetizzarlo fisicamente.
Non pensare che solo in fisica ci siano situazioni del genere. Non meno interessanti si fanno scoperte nella fauna, nella sintesi di macromolecole, durante lo studio dell'intelligenza artificiale. Ed è tutto grazie aespansione della nostra coscienza, allontanandoci dalla semplice addizione e sottrazione di valori naturali.
