Un triangolo è un poligono con tre lati (tre angoli). Molto spesso, i lati sono indicati da lettere minuscole, corrispondenti alle lettere maiuscole che denotano vertici opposti. In questo articolo conosceremo i tipi di queste forme geometriche, il teorema che determina qual è la somma degli angoli di un triangolo.
Viste da angolazioni
Si distinguono i seguenti tipi di poligono con tre vertici:
- ad angolo acuto, in cui tutti gli angoli sono acuti;
- rettangolare, avente un angolo retto, mentre i lati che la formano si chiamano gambe, e il lato che è posto opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa;
- ottuso quando un angolo è ottuso;
- isoscele, in cui due lati sono uguali, e sono detti laterali, e il terzo è la base del triangolo;
- equilatero, avendo tutti e tre i lati uguali.
Proprietà
Evidenziano le principali proprietà che sono caratteristiche di ogni tipo di triangolo:
- di fronte al lato maggiore c'è sempre un angolo maggiore e viceversa;
- I lati opposti di uguale dimensione sono angoli uguali e viceversa;
- ogni triangolo ha due angoli acuti;
- un angolo esterno è più grande di qualsiasi angolo interno non adiacente ad esso;
- la somma di due angoli qualsiasi è sempre inferiore a 180 gradi;
- angolo esterno è uguale alla somma degli altri due angoli che non si intersecano con esso.
Teorema della somma del triangolo degli angoli
Il teorema afferma che se sommi tutti gli angoli di una data figura geometrica, che si trova sul piano euclideo, la loro somma sarà di 180 gradi. Proviamo a dimostrare questo teorema.
Dobbiamo avere un triangolo arbitrario con vertici di KMN.
Attraverso il vertice M traccia una retta parallela alla retta KN (questa retta è anche chiamata retta euclidea). Segnaliamo il punto A su di esso in modo tale che i punti K e A si trovino su lati diversi della retta MN. Otteniamo angoli uguali AMN e KNM, che, come quelli interni, giacciono trasversalmente e sono formati dalla secante MN insieme alle rette KN e MA, che sono parallele. Da ciò ne consegue che la somma degli angoli del triangolo situato ai vertici M e H è uguale alla dimensione dell'angolo KMA. Tutti e tre gli angoli costituiscono la somma, che è uguale alla somma degli angoli KMA e MKN. Poiché questi angoli sono interni unilaterali rispetto arette parallele KN e MA con una secante KM, la loro somma è 180 gradi. Teorema dimostrato.
Conseguenza
Dal teorema sopra dimostrato segue il seguente corollario: ogni triangolo ha due angoli acuti. Per dimostrarlo, assumiamo che una data figura geometrica abbia un solo angolo acuto. Si può anche presumere che nessuno degli angoli sia acuto. In questo caso, devono esserci almeno due angoli uguali o maggiori di 90 gradi. Ma allora la somma degli angoli sarà maggiore di 180 gradi. Ma questo non può essere, perché secondo il teorema, la somma degli angoli di un triangolo è 180 °, né più né meno. Questo è ciò che doveva essere dimostrato.
Proprietà ad angolo esterno
Qual è la somma degli angoli di un triangolo che sono esterni? È possibile rispondere a questa domanda in due modi. La prima è che bisogna trovare la somma degli angoli, che si prendono uno ad ogni vertice, cioè tre angoli. Il secondo implica che devi trovare la somma di tutti e sei gli angoli ai vertici. Per prima cosa, affrontiamo la prima opzione. Quindi, il triangolo contiene sei angoli esterni, due per ogni vertice.
Ogni coppia ha angoli uguali perché sono verticali:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Inoltre, è noto che l'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli interni che non si intersecano con esso. Pertanto, ∟1=∟LA + ∟C, ∟2=∟LA + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Da questo risulta che la somma di esternogli angoli, presi uno per vertice, saranno uguali a:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Dato che la somma degli angoli è 180 gradi, si può sostenere che ∟A + ∟B + ∟C=180°. E questo significa che ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Se viene utilizzata la seconda opzione, la somma dei sei angoli sarà, rispettivamente, il doppio. Cioè, la somma degli angoli esterni del triangolo sarà:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Triangolo destro
Qual è la somma degli angoli acuti di un triangolo rettangolo? La risposta a questa domanda, ancora una volta, segue dal teorema, che afferma che gli angoli in un triangolo sommano fino a 180 gradi. E la nostra affermazione (proprietà) suona così: in un triangolo rettangolo, gli angoli acuti si sommano fino a 90 gradi. Proviamo la sua veridicità.
Diamoci un triangolo KMN, in cui ∟Н=90°. È necessario dimostrare che ∟K + ∟M=90°.
Quindi, secondo il teorema della somma degli angoli ∟К + ∟М + ∟Н=180°. La nostra condizione dice che ∟Н=90°. Quindi risulta, ∟K + ∟M + 90°=180°. Cioè, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Questo è quello che dovevamo dimostrare.
Oltre alle proprietà sopra di un triangolo rettangolo, puoi aggiungere quanto segue:
- gli angoli che si trovano contro le gambe sono acuti;
- l'ipotenusa è triangolare più di qualsiasi gamba;
- la somma delle gambe è maggiore dell'ipotenusa;
- gambaun triangolo opposto ad un angolo di 30 gradi è metà dell'ipotenusa, cioè uguale a metà di essa.
Come altra proprietà di questa figura geometrica, si può distinguere il teorema di Pitagora. Afferma che in un triangolo con un angolo di 90 gradi (rettangolare), la somma dei quadrati delle gambe è uguale al quadrato dell'ipotenusa.
La somma degli angoli di un triangolo isoscele
In precedenza abbiamo detto che isoscele è un poligono con tre vertici, contenente due lati uguali. Questa proprietà di una data figura geometrica è nota: gli angoli alla sua base sono uguali. Dimostriamolo.
Prendi il triangolo KMN, che è isoscele, KN è la sua base.
Ci viene richiesto di dimostrare che ∟К=∟Н. Quindi, diciamo che MA è la bisettrice del nostro triangolo KMN. Il triangolo MCA, tenendo conto del primo segno di uguaglianza, è uguale al triangolo MCA. Vale a dire, per condizione è dato che KM=NM, MA è un lato comune, ∟1=∟2, poiché MA è una bisettrice. Usando il fatto che questi due triangoli sono uguali, possiamo affermare che ∟K=∟Н. Quindi il teorema è dimostrato.
Ma ci interessa sapere qual è la somma degli angoli di un triangolo (isoscele). Poiché in tal senso non ha peculiarità proprie, partiremo dal teorema considerato in precedenza. Cioè, possiamo dire che ∟K + ∟M + ∟H=180°, oppure 2 x ∟K + ∟M=180° (poiché ∟K=∟H). Non dimostreremo questa proprietà, poiché lo stesso teorema della somma triangolare è stato dimostrato in precedenza.
Tranne quanto discussoproprietà sugli angoli di un triangolo, ci sono anche affermazioni così importanti:
- in un triangolo isoscele, l' altezza che è stata abbassata alla base è sia la mediana, la bisettrice dell'angolo che si trova tra i lati uguali, sia l'asse di simmetria della sua base;
- mediane (bisettrici, altezze) che sono disegnate ai lati di una tale figura geometrica sono uguali.
Triangolo equilatero
Si chiama anche destra, è il triangolo con tutti i lati uguali. Pertanto, anche gli angoli sono uguali. Ognuno è di 60 gradi. Proviamo questa proprietà.
Supponiamo di avere un triangolo KMN. Sappiamo che KM=NM=KN. E questo significa che secondo la proprietà degli angoli posti alla base in un triangolo isoscele, ∟К=∟М=∟Н. Poiché, secondo il teorema, la somma degli angoli di un triangolo è ∟К + ∟М + ∟Н=180°, allora 3 x ∟К=180° o ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Í=60°. Pertanto, l'affermazione è dimostrata.
Come puoi vedere dalla dimostrazione precedente basata sul teorema, la somma degli angoli di un triangolo equilatero, come la somma degli angoli di qualsiasi altro triangolo, è 180 gradi. Non c'è bisogno di dimostrare di nuovo questo teorema.
Ci sono anche tali proprietà caratteristiche di un triangolo equilatero:
- mediana, bisettrice, altezza in una tale figura geometrica sono gli stessi e la loro lunghezza è calcolata come (a x √3): 2;
- se descrivi un cerchio attorno a un determinato poligono, il suo raggio saràè uguale a (a x √3): 3;
- se inscrivi un cerchio in un triangolo equilatero, il suo raggio sarà (a x √3): 6;
- l'area di questa figura geometrica è calcolata dalla formula: (a2 x √3): 4.
Triangolo ad angolo ottuso
Secondo la definizione di triangolo ottuso, uno dei suoi angoli è compreso tra 90 e 180 gradi. Ma dato che gli altri due angoli di questa figura geometrica sono acuti, possiamo concludere che non superano i 90 gradi. Pertanto, il teorema della somma del triangolo degli angoli funziona quando si calcola la somma degli angoli in un triangolo ottuso. Risulta che possiamo tranquillamente affermare, sulla base del suddetto teorema, che la somma degli angoli di un triangolo ottuso è di 180 gradi. Di nuovo, questo teorema non ha bisogno di essere dimostrato nuovamente.
