Il progresso dell'umanità è in gran parte dovuto alle scoperte fatte dai geni. Uno di loro è Blaise Pascal. La sua biografia creativa conferma ancora una volta la verità dell'espressione di Lion Feuchtwanger "Una persona di talento, talentuosa in tutto". Tutti i risultati scientifici di questo grande scienziato sono difficili da contare. Tra queste c'è una delle invenzioni più eleganti nel mondo della matematica: il triangolo di Pascal.
Qualche parola sul genio
Blaise Pascal è morto presto per gli standard moderni, all'età di 39 anni. Tuttavia, nella sua breve vita si distinse come un eccezionale fisico, matematico, filosofo e scrittore. I grati discendenti hanno chiamato l'unità di pressione e il popolare linguaggio di programmazione Pascal in suo onore. È stato utilizzato per quasi 60 anni per insegnare a scrivere vari codici. Ad esempio, con il suo aiuto, ogni studente può scrivere un programma per calcolare l'area di un triangolo in Pascal, nonché esplorare le proprietà del circuito, suche sarà discusso di seguito.
L'attività di questo scienziato dal pensiero straordinario abbraccia un'ampia varietà di campi della scienza. In particolare, Blaise Pascal è uno dei fondatori dell'idrostatica, dell'analisi matematica, di alcune aree della geometria e della teoria della probabilità. Inoltre, lui:
- creato un calcolatore meccanico noto come ruota di Pascal;
- ha fornito prove sperimentali che l'aria ha elasticità e peso;
- stabilito che un barometro può essere utilizzato per prevedere il tempo;
- ha inventato la carriola;
- inventò l'omnibus - carrozze trainate da cavalli con percorsi fissi, che in seguito divennero il primo tipo di trasporto pubblico regolare, ecc.
Triangolo aritmetico di Pascal
Come già accennato, questo grande scienziato francese ha dato un enorme contributo alla scienza matematica. Uno dei suoi capolavori scientifici assoluti è il "Trattato sul triangolo aritmetico", che consiste in coefficienti binomiali disposti in un certo ordine. Le proprietà di questo schema colpiscono per la loro diversità, ed esso stesso conferma il proverbio "Tutto ciò che è geniale è semplice!".
Un po' di storia
Per essere onesti, va detto che in effetti il triangolo di Pascal era conosciuto in Europa già all'inizio del XVI secolo. In particolare, la sua immagine può essere vista sulla copertina di un libro di aritmetica del famoso astronomo Peter Apian dell'Università di Ingolstadt. Un triangolo simile è mostrato anche come illustrazione.in un libro del matematico cinese Yang Hui, pubblicato nel 1303. Anche il notevole poeta e filosofo persiano Omar Khayyam era a conoscenza delle sue proprietà all'inizio del XII secolo. Inoltre, si ritiene che lo abbia incontrato dai trattati di scienziati arabi e indiani scritti in precedenza.
Descrizione
Prima di esplorare le proprietà più interessanti del triangolo di Pascal, bellissimo nella sua perfezione e semplicità, vale la pena sapere di cosa si tratta.
Scientificamente parlando, questo schema numerico è una tavola triangolare infinita formata da coefficienti binomiali disposti in un certo ordine. In alto e ai lati si trovano i numeri 1. Le posizioni rimanenti sono occupate da numeri uguali alla somma dei due numeri posti sopra di loro uno accanto all' altro. Inoltre, tutte le linee del triangolo di Pascal sono simmetriche rispetto al suo asse verticale.
Caratteristiche di base
Il triangolo di Pascal colpisce per la sua perfezione. Per ogni riga numerata n (n=0, 1, 2…) true:
- il primo e l'ultimo numero sono 1;
- secondo e penultimo - n;
- il terzo numero è uguale al numero triangolare (il numero di cerchi che possono essere disposti in un triangolo equilatero, cioè 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Il quarto numero è tetraedrico, cioè è una piramide con un triangolo alla base.
Inoltre, relativamente di recente, nel 1972, è stata fondata un' altra proprietà del triangolo di Pascal. In ordine per luiper scoprirlo, devi scrivere gli elementi di questo schema sotto forma di una tabella con uno spostamento di riga di 2 posizioni. Quindi annota i numeri divisibili per il numero di riga. Si scopre che il numero della colonna in cui sono evidenziati tutti i numeri è un numero primo.
Lo stesso trucco può essere fatto in un altro modo. Per fare ciò, nel triangolo di Pascal, i numeri vengono sostituiti dai resti della loro divisione per il numero di riga nella tabella. Quindi le linee sono disposte nel triangolo risultante in modo che il successivo inizi 2 colonne a destra dal primo elemento del precedente. Quindi le colonne con numeri che sono numeri primi saranno composte solo da zeri e quelle con numeri composti conterranno almeno uno zero.
Connessione con il binomio di Newton
Come sai, questo è il nome della formula per l'espansione in termini di una potenza intera non negativa della somma di due variabili, che assomiglia a:
I coefficienti presenti in essi sono uguali a C m =n! / (m! (n - m)!), dove m è il numero ordinale nella riga n del triangolo di Pascal. In altre parole, avendo questa tabella a portata di mano, puoi facilmente elevare qualsiasi numero a potenza, dopo averli precedentemente scomposti in due termini.
Quindi, il triangolo di Pascal e il binomio di Newton sono strettamente correlati.
Meraviglie matematiche
Un attento esame del triangolo di Pascal rivela che:
- la somma di tutti i numeri nella riga conil numero di serie n (contando da 0) è 2;
- se le linee sono allineate a sinistra, allora le somme dei numeri che si trovano lungo le diagonali del triangolo di Pascal, andando dal basso verso l' alto e da sinistra verso destra, sono uguali ai numeri di Fibonacci;
- la prima "diagonale" è composta da numeri naturali in ordine;
- qualsiasi elemento del triangolo di Pascal, ridotto di uno, è uguale alla somma di tutti i numeri situati all'interno del parallelogramma, che è limitato dalle diagonali sinistra e destra che si intersecano su questo numero;
- in ogni riga del diagramma, la somma dei numeri nei posti pari è uguale alla somma degli elementi nei posti dispari.
Triangolo di Sirpinski
Uno schema matematico così interessante, abbastanza promettente in termini di risoluzione di problemi complessi, si ottiene colorando i numeri pari dell'immagine Pascal in un colore e i numeri dispari in un altro.
Il triangolo di Sierpinski può essere costruito in un altro modo:
- nello schema sfumato Pascal, il triangolo centrale è ridipinto in un colore diverso, che è formato collegando i punti medi dei lati di quello originale;
- Fai esattamente lo stesso con tre non verniciati situati negli angoli;
- se la procedura viene continuata indefinitamente, il risultato dovrebbe essere una figura a due colori.
La proprietà più interessante del triangolo di Sierpinski è la sua auto-somiglianza, poiché è composto da 3 delle sue copie, che vengono ridotte di 2 volte. Ci permette di attribuire questo schema alle curve frattali, e loro, come mostrato dall'ultimala ricerca è più adatta per la modellazione matematica di nuvole, piante, delta dei fiumi e l'universo stesso.
Diversi compiti interessanti
Dove viene usato il triangolo di Pascal? Esempi di compiti che possono essere risolti con il suo aiuto sono piuttosto diversi e appartengono a vari campi della scienza. Diamo un'occhiata ad alcuni di quelli più interessanti.
Problema 1. Alcune grandi città circondate da mura di una fortezza hanno solo una porta d'ingresso. Al primo incrocio la strada principale si divide in due. Lo stesso accade su qualsiasi altro. 210 persone entrano in città. Ad ogni incrocio che incontrano, sono divisi a metà. Quante persone si troveranno ad ogni incrocio quando non sarà più possibile condividere. La sua risposta è la linea 10 del triangolo di Pascal (la formula del coefficiente è presentata sopra), dove i numeri 210 si trovano su entrambi i lati dell'asse verticale.
Attività 2. Ci sono 7 nomi di colori. Devi fare un mazzo di 3 fiori. È necessario scoprire in quanti modi diversi ciò può essere fatto. Questo problema è dal campo della combinatoria. Per risolverlo, utilizziamo ancora il triangolo di Pascal e arriviamo sulla 7a riga nella terza posizione (numerando in entrambi i casi da 0) il numero 35.
Ora sai cosa ha inventato il grande filosofo e scienziato francese Blaise Pascal. Il suo famoso triangolo, se usato correttamente, può diventare un vero toccasana per la risoluzione di molti problemi, soprattutto dal campocombinatoria. Inoltre, può essere utilizzato per risolvere numerosi misteri relativi ai frattali.
