Un concetto importante in matematica è una funzione. Con il suo aiuto, puoi visualizzare molti processi che si verificano in natura, riflettere la relazione tra determinate quantità usando formule, tabelle e immagini su un grafico. Un esempio è la dipendenza della pressione di uno strato liquido su un corpo dalla profondità di immersione, dall'accelerazione - dall'azione di una certa forza su un oggetto, dall'aumento della temperatura - dall'energia trasmessa e da molti altri processi. Lo studio di una funzione comporta la costruzione di un grafico, il chiarimento delle sue proprietà, l'ambito e i valori, gli intervalli di incremento e decremento. Un punto importante in questo processo è trovare i punti estremi. Su come farlo bene e la conversazione andrà avanti.
Informazioni sul concetto stesso su un esempio specifico
In medicina, tracciare un grafico funzionale può raccontare il progresso di una malattia nel corpo di un paziente, riflettendo visivamente la sua condizione. Assumiamo che il tempo in giorni sia tracciato lungo l'asse OX e che la temperatura del corpo umano sia tracciata lungo l'asse OY. La figura mostra chiaramente come questo indicatore aumenta bruscamente epoi cade. È anche facile notare punti singolari che riflettono i momenti in cui la funzione, essendo precedentemente aumentata, inizia a diminuire e viceversa. Questi sono i punti estremi, ovvero i valori critici (massimo e minimo) in questo caso della temperatura del paziente, dopodiché si verificano cambiamenti nelle sue condizioni.
Angolo di inclinazione
È facile determinare dalla figura come cambia la derivata di una funzione. Se le rette del grafico aumentano nel tempo, allora è positivo. E più sono ripidi, maggiore è il valore della derivata, all'aumentare dell'angolo di inclinazione. Durante i periodi di decremento, questo valore assume valori negativi, volgendosi a zero nei punti estremi, e il grafico della derivata in quest'ultimo caso viene tracciato parallelamente all'asse OX.
Qualsiasi altro processo dovrebbe essere trattato allo stesso modo. Ma la cosa migliore di questo concetto può dire il movimento dei vari corpi, chiaramente mostrato sui grafici.
Movimento
Supponiamo che un oggetto si muova in linea retta, guadagnando velocità in modo uniforme. Durante questo periodo, il cambiamento delle coordinate del corpo rappresenta graficamente una certa curva, che un matematico chiamerebbe un ramo di una parabola. Allo stesso tempo, la funzione è in costante aumento, poiché gli indicatori delle coordinate cambiano sempre più velocemente ogni secondo. Il grafico della velocità mostra il comportamento della derivata, il cui valore aumenta anche. Ciò significa che il movimento non ha punti critici.
Sarebbe continuato indefinitamente. Ma se il corpo decide improvvisamente di rallentare, fermati e inizia a muoverti in un altrodirezione? In questo caso, gli indicatori delle coordinate inizieranno a diminuire. E la funzione passerà il valore critico e passerà da crescente a decrescente.
In questo esempio, puoi di nuovo comprendere che i punti estremi sul grafico della funzione compaiono nei momenti in cui cessa di essere monotono.
Significato fisico della derivata
Descritto in precedenza ha mostrato chiaramente che la derivata è essenzialmente il tasso di variazione della funzione. Questo raffinamento contiene il suo significato fisico. I punti estremi sono aree critiche del grafico. È possibile scoprirli e rilevarli calcolando il valore della derivata, che risulta essere uguale a zero.
C'è un altro segno, che è una condizione sufficiente per un estremo. La derivata in tali punti di flesso cambia segno: da "+" a "-" nella regione del massimo e da "-" a "+" nella regione del minimo.
Movimento sotto l'influenza della gravità
Immaginiamo un' altra situazione. I bambini, giocando a palla, lo lanciarono in modo tale che iniziasse a muoversi ad angolo rispetto all'orizzonte. Al momento iniziale, la velocità di questo oggetto era la più grande, ma sotto l'influenza della gravità iniziò a diminuire, e ogni secondo dello stesso valore, pari a circa 9,8 m/s2. Questo è il valore dell'accelerazione che si verifica sotto l'influenza della gravità terrestre durante la caduta libera. Sulla Luna sarebbe circa sei volte più piccolo.
Il grafico che descrive il movimento del corpo è una parabola con rami,verso il basso. Come trovare i punti estremi? In questo caso, questo è il vertice della funzione, dove la velocità del corpo (palla) assume valore zero. La derivata della funzione diventa zero. In questo caso, la direzione, e quindi il valore della velocità, cambia in senso opposto. Il corpo vola verso il basso ogni secondo sempre più veloce e accelera della stessa quantità - 9,8 m/s2.
Seconda derivata
Nel caso precedente, il grafico del modulo di velocità è tracciato come una linea retta. Questa linea è prima diretta verso il basso, poiché il valore di questa quantità è in costante diminuzione. Dopo aver raggiunto lo zero in uno dei punti temporali, gli indicatori di questo valore iniziano ad aumentare e la direzione della rappresentazione grafica del modulo di velocità cambia drasticamente. La linea ora punta verso l' alto.
La velocità, essendo la derivata temporale della coordinata, ha anche un punto critico. In questa regione la funzione, inizialmente decrescente, comincia ad aumentare. Questo è il luogo del punto estremo della derivata della funzione. In questo caso, la pendenza della tangente diventa zero. E l'accelerazione, essendo la seconda derivata della coordinata rispetto al tempo, cambia segno da “-” a “+”. E il movimento da uniformemente lento diventa uniformemente accelerato.
Grafico di accelerazione
Ora considera quattro immagini. Ciascuno di essi mostra un grafico della variazione nel tempo di una tale quantità fisica come l'accelerazione. Nel caso di "A", il suo valore rimane positivo e costante. Ciò significa che la velocità del corpo, come la sua coordinata, è in costante aumento. Se unimmaginando che l'oggetto si muova in questo modo per un tempo infinitamente lungo, la funzione che riflette la dipendenza della coordinata dal tempo risulterà essere in costante aumento. Ne consegue che non ha regioni critiche. Inoltre non ci sono punti estremi sul grafico della derivata, cioè velocità che cambiano linearmente.
Lo stesso vale per il caso "B" con un'accelerazione positiva e in costante aumento. È vero, qui i grafici per le coordinate e la velocità saranno un po' più complicati.
Quando l'accelerazione tende a zero
Guardando l'immagine "B", puoi vedere un'immagine completamente diversa che caratterizza il movimento del corpo. La sua velocità sarà rappresentata graficamente come una parabola con i rami rivolti verso il basso. Se continuiamo la linea che descrive la variazione dell'accelerazione fino all'intersezione con l'asse OX, e oltre, possiamo immaginare che fino a questo valore critico, dove l'accelerazione risulta essere uguale a zero, la velocità dell'oggetto aumenterà sempre più lentamente. Il punto estremo della derivata della funzione coordinata sarà appena in cima alla parabola, dopodiché il corpo cambierà radicalmente la natura del movimento e inizierà a muoversi nell' altra direzione.
In quest'ultimo caso, "G", la natura del movimento non può essere determinata con precisione. Qui sappiamo solo che non c'è accelerazione per qualche periodo in esame. Ciò significa che l'oggetto può rimanere in posizione o il movimento avviene a velocità costante.
Coordinare l'attività di addizione
Passiamo ai compiti che spesso si trovano nello studio dell'algebra a scuola e che vengono offerti perpreparazione all'esame. La figura seguente mostra il grafico della funzione. È necessario calcolare la somma dei punti estremi.
Facciamo questo per l'asse y determinando le coordinate delle regioni critiche dove si osserva un cambiamento nelle caratteristiche della funzione. In poche parole, troviamo i valori lungo l'asse x per i punti di flesso, quindi procediamo con l'aggiunta dei termini risultanti. Secondo il grafico, è ovvio che assumono i seguenti valori: -8; -7; -5; -3; -2; uno; 3. Questo somma fino a -21, che è la risposta.
Soluzione ottimale
Non è necessario spiegare quanto possa essere importante la scelta della soluzione ottimale nello svolgimento di compiti pratici. Dopotutto, ci sono molti modi per raggiungere l'obiettivo e la migliore via d'uscita, di regola, è solo una. Ciò è estremamente necessario, ad esempio, quando si progettano navi, veicoli spaziali e aerei, strutture architettoniche per trovare la forma ottimale di questi oggetti artificiali.
La velocità dei veicoli dipende in gran parte dalla minimizzazione competente della resistenza che sperimentano quando si muovono attraverso l'acqua e l'aria, dai sovraccarichi derivanti dall'influenza delle forze gravitazionali e da molti altri indicatori. Una nave in mare ha bisogno di qualità come la stabilità durante una tempesta; per una nave fluviale, un pescaggio minimo è importante. Quando si calcola il design ottimale, i punti estremi sul grafico possono dare visivamente un'idea della migliore soluzione a un problema complesso. Compiti di questo tipo sono spessosi risolvono nell'economia, nelle aree economiche, in molte altre situazioni della vita.
Dalla storia antica
Problemi estremi occupavano anche gli antichi saggi. Gli scienziati greci hanno svelato con successo il mistero di aree e volumi attraverso calcoli matematici. Furono i primi a capire che su un piano di più figure con lo stesso perimetro, il cerchio ha sempre l'area più grande. Allo stesso modo, una palla è dotata del volume massimo tra altri oggetti nello spazio con la stessa superficie. Personaggi famosi come Archimede, Euclide, Aristotele, Apollonio si dedicarono alla risoluzione di tali problemi. Heron riuscì molto bene a trovare punti estremi, che, ricorrendo a calcoli, costruì dispositivi ingegnosi. Questi includevano macchine automatiche che si muovevano per mezzo di vapore, pompe e turbine funzionanti secondo lo stesso principio.
Costruzione di Cartagine
C'è una leggenda, la cui trama si basa sulla risoluzione di uno dei problemi estremi. Il risultato dell'approccio imprenditoriale dimostrato dalla principessa fenicia, che si rivolse ai saggi per chiedere aiuto, fu la costruzione di Cartagine. Il terreno di questa antica e famosa città fu presentato a Didone (così si chiamava il sovrano) dal capo di una delle tribù africane. All'inizio l'area dell'orto non gli sembrava molto ampia, poiché secondo il contratto doveva essere coperta con una pelle di bue. Ma la principessa ordinò ai suoi soldati di tagliarlo a strisce sottili e di farne una cintura. Si è rivelato essere così lungo da coprire il sito,dove si inserisce l'intera città.
Le origini del calcolo
E ora passiamo dai tempi antichi a un'era successiva. È interessante notare che nel XVII secolo Keplero fu spinto a comprendere i fondamenti dell'analisi matematica da un incontro con un venditore di vino. Il mercante era così esperto nella sua professione che poteva facilmente determinare il volume della bevanda nella botte semplicemente abbassandovi un laccio emostatico di ferro. Riflettendo su una tale curiosità, il famoso scienziato è riuscito a risolvere da solo questo dilemma. Si scopre che gli abili bottai di quei tempi imparavano a costruire vasi in modo tale che ad una certa altezza e raggio della circonferenza degli anelli di fissaggio avessero una capacità massima.
Questo era per Keplero motivo di ulteriore riflessione. Bochars è giunto alla soluzione ottimale grazie a una lunga ricerca, errori e nuovi tentativi, tramandando la propria esperienza di generazione in generazione. Ma Keplero voleva accelerare il processo e imparare a fare lo stesso in breve tempo attraverso calcoli matematici. Tutti i suoi sviluppi, ripresi dai colleghi, si trasformarono negli ormai noti teoremi di Fermat e Newton - Leibniz.
Problema di area massima
Supponiamo di avere un filo con una lunghezza di 50 cm. Come ricavarne un rettangolo con l'area più grande?
Partendo da una decisione, si dovrebbe partire da verità semplici e conosciute. È chiaro che il perimetro della nostra figura sarà di 50 cm, inoltre è costituito dal doppio delle lunghezze di entrambi i lati. Ciò significa che, dopo aver designato uno di essi come "X", l' altro può essere espresso come (25 - X).
Da qui arriviamoun'area uguale a X (25 - X). Questa espressione può essere rappresentata come una funzione che assume molti valori. La soluzione del problema richiede di trovarne il massimo, il che significa che dovresti scoprire i punti estremi.
Per fare ciò, troviamo la derivata prima e la uguagliiamo a zero. Il risultato è una semplice equazione: 25 - 2X=0.
Da esso apprendiamo che uno dei lati X=12, 5.
Quindi, un altro: 25 – 12, 5=12, 5.
Si scopre che la soluzione al problema sarà un quadrato con un lato di 12,5 cm.
Come trovare la velocità massima
Consideriamo un altro esempio. Immagina che ci sia un corpo il cui moto rettilineo è descritto dall'equazione S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, dove la distanza percorsa è espressa in metri e il tempo è in secondi. È necessario trovare la velocità massima. Come farlo? Scaricato trova la velocità, ovvero la prima derivata.
Otteniamo l'equazione: V=- 3t2 + 18t – 24. Ora, per risolvere il problema, dobbiamo nuovamente trovare i punti estremi. Questo deve essere fatto allo stesso modo dell'attività precedente. Trova la derivata prima della velocità e uguagliala a zero.
Otteniamo: - 6t + 18=0. Quindi t=3 s. Questo è il momento in cui la velocità del corpo assume un valore critico. Sostituiamo i dati ottenuti nell'equazione della velocità e otteniamo: V=3 m/s.
Ma come capire che questa è esattamente la velocità massima, perché i punti critici di una funzione possono essere i suoi valori massimi o minimi? Per controllare, devi trovare un secondoderivata della velocità. È espresso come il numero 6 con un segno meno. Ciò significa che il punto trovato è il massimo. E nel caso di un valore positivo della seconda derivata, ci sarebbe un minimo. Quindi, la soluzione trovata si è rivelata corretta.
I compiti forniti a titolo di esempio sono solo una parte di quelli che possono essere risolti riuscendo a trovare i punti estremi di una funzione. In effetti, ce ne sono molti di più. E tale conoscenza apre possibilità illimitate per la civiltà umana.
