La capacità di calcolare il volume delle figure spaziali è importante per risolvere una serie di problemi pratici in geometria. Una delle forme più comuni è la piramide. In questo articolo considereremo le formule per il volume della piramide, sia piena che troncata.
Piramide come figura tridimensionale
Tutti conoscono le piramidi egizie, quindi hanno una buona idea di quale cifra verrà discussa. Tuttavia, le strutture in pietra egizie sono solo un caso speciale di un'enorme classe di piramidi.
L'oggetto geometrico considerato nel caso generale è una base poligonale, ogni vertice della quale è connesso ad un punto nello spazio che non appartiene al piano di base. Questa definizione porta a una figura composta da un n-gon e n triangoli.
Ogni piramide consiste di n+1 facce, 2n spigoli e n+1 vertici. Poiché la figura in esame è un poliedro perfetto, il numero degli elementi contrassegnati obbedisce all'uguaglianza di Eulero:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Il poligono alla base dà il nome della piramide,ad esempio, triangolare, pentagonale e così via. Nella foto sotto è mostrata una serie di piramidi con basi diverse.
Il punto in cui sono collegati n triangoli della figura è chiamato cima della piramide. Se una perpendicolare viene abbassata da essa alla base e la interseca nel centro geometrico, allora tale figura sarà chiamata linea retta. Se questa condizione non è soddisfatta, allora c'è una piramide inclinata.
Una figura retta la cui base è formata da un n-gon equilatero (equiangolare) è chiamata regolare.
Formula del volume della piramide
Per calcolare il volume della piramide, utilizziamo il calcolo integrale. Per fare ciò, dividiamo la figura per piani secanti paralleli alla base in un numero infinito di strati sottili. La figura seguente mostra una piramide quadrangolare con altezza h e lato L, in cui un sottile strato di sezione è contrassegnato da un quadrilatero.
L'area di ciascuno di questi strati può essere calcolata usando la formula:
LA(z)=LA0(h-z)2/h2.
Qui A0 è l'area della base, z è il valore della coordinata verticale. Si può vedere che se z=0, la formula fornisce il valore A0.
Per ottenere la formula per il volume di una piramide, dovresti calcolare l'integrale sull'intera altezza della figura, ovvero:
V=∫h0(A(z)dz).
Sostituendo la dipendenza A(z) e calcolando l'antiderivata, si arriva all'espressione:
V=-LA0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3LA0h.
Abbiamo la formula per il volume della piramide. Per trovare il valore di V, è sufficiente moltiplicare l' altezza della figura per l'area della base, quindi dividere il risultato per tre.
Nota che l'espressione risultante è valida per calcolare il volume di una piramide di tipo arbitrario. Cioè, può essere inclinato e la sua base può essere un arbitrario n-gon.
La piramide corretta e il suo volume
La formula generale per il volume ottenuta nel paragrafo precedente può essere affinata nel caso di una piramide con la base corretta. L'area di tale base viene calcolata utilizzando la seguente formula:
LA0=n/4L2ctg(pi/n).
Qui L è la lunghezza del lato di un poligono regolare con n vertici. Il simbolo pi è il numero pi.
Sostituendo l'espressione per A0 nella formula generale, otteniamo il volume di una piramide regolare:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Ad esempio, per una piramide triangolare, questa formula porta alla seguente espressione:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Per una piramide quadrangolare regolare, la formula del volume diventa:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Per determinare il volume delle piramidi regolari è necessario conoscere il lato della loro base e l' altezza della figura.
Tronco piramidale
Supponiamo di aver presouna piramide arbitraria e tagliare una parte della sua superficie laterale contenente la sommità. La figura rimanente è chiamata tronco di piramide. È già costituito da due basi n-gonali e n trapezi che le collegano. Se il piano di taglio era parallelo alla base della figura, si forma una piramide tronca con basi parallele simili. Cioè, le lunghezze dei lati di uno di essi si ottengono moltiplicando le lunghezze dell' altro per un coefficiente k.
L'immagine sopra mostra una piramide esagonale regolare troncata. Si può notare che la sua base superiore, come quella inferiore, è formata da un esagono regolare.
La formula per il volume di una piramide tronca, che può essere derivata utilizzando un calcolo integrale simile a quello dato, è:
V=1/3h(LA0+ LA1+ √(LA0 LA1)).
Dove A0 e A1 sono rispettivamente le aree delle basi inferiore (grande) e superiore (piccola). La variabile h è l' altezza della piramide tronca.
Il volume della piramide di Cheope
È interessante risolvere il problema di determinare il volume che contiene la più grande piramide egizia.
Nel 1984, gli egittologi britannici Mark Lehner e Jon Goodman stabilirono le dimensioni esatte della piramide di Cheope. La sua altezza originale era di 146,50 metri (attualmente circa 137 metri). La lunghezza media di ciascuno dei quattro lati della struttura era di 230.363 metri. La base della piramide è quadrata con elevata precisione.
Usiamo le cifre fornite per determinare il volume di questo gigante di pietra. Poiché la piramide è una quadrangolare regolare, la formula è valida per essa:
V4=1/3L2h.
Sostituisci i numeri, otteniamo:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Il volume della piramide di Cheope è di quasi 2,6 milioni di m3. Per fare un confronto, notiamo che la piscina olimpica ha un volume di 2,5 mila m3. Cioè, per riempire l'intera piramide di Cheope, saranno necessari più di 1000 di questi pool!
