La serie di Fourier è una rappresentazione di una funzione presa arbitrariamente con un periodo specifico come una serie. In termini generali, questa soluzione è chiamata scomposizione di un elemento su base ortogonale. L'espansione delle funzioni in una serie di Fourier è uno strumento abbastanza potente per risolvere vari problemi a causa delle proprietà di questa trasformazione durante l'integrazione, la differenziazione e lo spostamento di un'espressione in un argomento e una convoluzione.
Una persona che non ha familiarità con la matematica superiore, così come con le opere dello scienziato francese Fourier, molto probabilmente non capirà cosa sono queste "righe" ea cosa servono. Nel frattempo, questa trasformazione è diventata piuttosto densa nelle nostre vite. È usato non solo dai matematici, ma anche da fisici, chimici, medici, astronomi, sismologi, oceanografi e molti altri. Diamo un'occhiata più da vicino alle opere del grande scienziato francese, che fece una scoperta in anticipo sui tempi.
L'uomo e la trasformazione di Fourier
Le serie di Fourier sono uno dei metodi (insieme all'analisi e altri) della trasformata di Fourier. Questo processo si verifica ogni volta che una persona sente un suono. Il nostro orecchio converte automaticamente il suonoonde. I moti oscillatori delle particelle elementari in un mezzo elastico vengono scomposti in file (lungo lo spettro) di valori successivi del livello del volume per toni di diverse altezze. Successivamente, il cervello trasforma questi dati in suoni a noi familiari. Tutto questo accade in aggiunta al nostro desiderio o coscienza, di per sé, ma per comprendere questi processi, ci vorranno diversi anni per studiare la matematica superiore.
Ulteriori informazioni sulla trasformazione di Fourier
La trasformata di Fourier può essere eseguita con metodi analitici, numerici e di altro tipo. Le serie di Fourier si riferiscono al modo numerico di scomporre qualsiasi processo oscillatorio - dalle maree oceaniche e dalle onde luminose ai cicli dell'attività solare (e altri oggetti astronomici). Utilizzando queste tecniche matematiche è possibile analizzare funzioni, rappresentando eventuali processi oscillatori come una serie di componenti sinusoidali che vanno dal minimo al massimo e viceversa. La trasformata di Fourier è una funzione che descrive la fase e l'ampiezza delle sinusoidi corrispondenti a una frequenza specifica. Questo processo può essere utilizzato per risolvere equazioni molto complesse che descrivono processi dinamici che si verificano sotto l'influenza dell'energia termica, luminosa o elettrica. Inoltre, le serie di Fourier consentono di isolare le componenti costanti in segnali oscillatori complessi, il che ha permesso di interpretare correttamente le osservazioni sperimentali ottenute in medicina, chimica e astronomia.
Sfondo storico
Padre fondatore di questa teoriaJean Baptiste Joseph Fourier è un matematico francese. Questa trasformazione è stata successivamente intitolata a lui. Inizialmente, lo scienziato ha applicato il suo metodo per studiare e spiegare i meccanismi di conduzione del calore: la diffusione del calore nei solidi. Fourier ha suggerito che la distribuzione irregolare iniziale di un'ondata di calore può essere scomposta nelle sinusoidi più semplici, ognuna delle quali avrà la propria temperatura minima e massima, nonché una propria fase. In questo caso, ciascuna di tali componenti sarà misurata dal minimo al massimo e viceversa. La funzione matematica che descrive i picchi superiore e inferiore della curva, nonché la fase di ciascuna delle armoniche, è chiamata trasformata di Fourier dell'espressione della distribuzione della temperatura. L'autore della teoria ha ridotto la funzione di distribuzione generale, che è difficile da descrivere matematicamente, a una serie molto facile da gestire di funzioni periodiche coseno e seno che si sommano alla distribuzione originale.
Il principio della trasformazione e le opinioni dei contemporanei
I contemporanei dello scienziato - i principali matematici dell'inizio del XIX secolo - non accettarono questa teoria. L'obiezione principale era l'affermazione di Fourier secondo cui una funzione discontinua che descrive una retta o una curva discontinua può essere rappresentata come una somma di espressioni sinusoidali continue. Ad esempio, si consideri il "passo" di Heaviside: il suo valore è zero a sinistra del gap e uno a destra. Questa funzione descrive la dipendenza della corrente elettrica dalla variabile tempo quando il circuito è chiuso. I contemporanei della teoria a quel tempo non l'avevano mai incontratouna situazione in cui l'espressione discontinua sarebbe descritta da una combinazione di funzioni ordinarie continue, come esponenziale, sinusoidale, lineare o quadratica.
Cosa ha confuso i matematici francesi nella teoria di Fourier?
Dopotutto, se il matematico aveva ragione nelle sue affermazioni, quindi riassumendo le infinite serie trigonometriche di Fourier, puoi ottenere una rappresentazione esatta dell'espressione del passo anche se ha molti passi simili. All'inizio del diciannovesimo secolo, un'affermazione del genere sembrava assurda. Ma nonostante tutti i dubbi, molti matematici hanno ampliato l'ambito dello studio di questo fenomeno, portandolo oltre l'ambito degli studi sulla conducibilità termica. Tuttavia, la maggior parte degli scienziati ha continuato a tormentarsi sulla domanda: "Può la somma di una serie sinusoidale convergere al valore esatto di una funzione discontinua?"
Convergenza delle serie di Fourier: esempio
La questione della convergenza si pone ogni qualvolta sia necessario sommare serie infinite di numeri. Per comprendere questo fenomeno, consideriamo un classico esempio. Riuscirai mai a raggiungere il muro se ogni gradino successivo è la metà del precedente? Supponiamo di essere a due metri dalla porta, il primo passo ti avvicina alla metà del percorso, il successivo ai tre quarti e dopo il quinto coprirai quasi il 97 percento del percorso. Tuttavia, non importa quanti passi fai, non raggiungerai l'obiettivo prefissato in senso strettamente matematico. Usando calcoli numerici, si può dimostrare che alla fine si può avvicinarsi quanto si vuole.piccola distanza specificata. Questa dimostrazione equivale a dimostrare che il valore della somma di una metà, un quarto, ecc. tenderà a uno.
Question of Convergence: The Second Coming, or Lord Kelvin's Appliance
Ripetutamente questa domanda è stata sollevata alla fine del diciannovesimo secolo, quando si è cercato di utilizzare le serie di Fourier per prevedere l'intensità del flusso e riflusso. In questo momento, Lord Kelvin ha inventato un dispositivo, che è un dispositivo informatico analogico che ha permesso ai marinai della flotta militare e mercantile di tracciare questo fenomeno naturale. Questo meccanismo determinava gli insiemi di fasi e ampiezze da una tabella delle altezze delle maree e dei loro momenti temporali corrispondenti, misurati accuratamente in un dato porto durante l'anno. Ciascun parametro era una componente sinusoidale dell'espressione dell' altezza della marea ed era una delle componenti regolari. I risultati delle misurazioni sono stati inseriti nel calcolatore di Lord Kelvin, che ha sintetizzato una curva che prevedeva l' altezza dell'acqua in funzione del tempo per l'anno successivo. Ben presto furono redatte curve simili per tutti i porti del mondo.
E se il processo viene interrotto da una funzione discontinua?
A quel tempo, sembrava ovvio che un predittore di marea con un gran numero di elementi di conteggio potesse calcolare un gran numero di fasi e ampiezze e quindi fornire previsioni più accurate. Tuttavia, si è scoperto che questa regolarità non si osserva nei casi in cui l'espressione della marea, che seguesintetizzare, conteneva un brusco s alto, cioè era discontinuo. Nel caso in cui i dati vengano inseriti nel dispositivo dalla tabella dei momenti temporali, calcola diversi coefficienti di Fourier. La funzione originaria viene ripristinata grazie alle componenti sinusoidali (secondo i coefficienti trovati). La discrepanza tra l'espressione originale e quella ripristinata può essere misurata in qualsiasi momento. Quando si eseguono calcoli e confronti ripetuti, si può vedere che il valore dell'errore più grande non diminuisce. Tuttavia, sono localizzati nella regione corrispondente al punto di discontinuità e tendono a zero in qualsiasi altro punto. Nel 1899, questo risultato fu teoricamente confermato da Joshua Willard Gibbs della Yale University.
Convergenza delle serie di Fourier e sviluppo della matematica in generale
L'analisi di Fourier non è applicabile alle espressioni che contengono un numero infinito di burst in un certo intervallo. In generale, le serie di Fourier, se la funzione originale è il risultato di una misura fisica reale, convergono sempre. Le domande sulla convergenza di questo processo per classi specifiche di funzioni hanno portato all'emergere di nuove sezioni in matematica, ad esempio la teoria delle funzioni generalizzate. È associato a nomi come L. Schwartz, J. Mikusinsky e J. Temple. Nell'ambito di questa teoria, è stata creata una base teorica chiara e precisa per espressioni come la funzione delta di Dirac (descrive un'area di una singola area concentrata in un intorno infinitamente piccolo di un punto) e l'Heaviside " fare un passo". Grazie a questo lavoro, la serie di Fourier è diventata applicabilerisolvere equazioni e problemi che coinvolgono concetti intuitivi: carica puntiforme, massa puntiforme, dipoli magnetici e carico concentrato su un raggio.
Metodo di Fourier
Le serie di Fourier, secondo i principi dell'interferenza, iniziano con la scomposizione di forme complesse in forme più semplici. Ad esempio, un cambiamento nel flusso di calore è spiegato dal suo passaggio attraverso vari ostacoli fatti di materiale termoisolante di forma irregolare o un cambiamento nella superficie terrestre - un terremoto, un cambiamento nell'orbita di un corpo celeste - l'influenza di pianeti. Di norma, equazioni simili che descrivono semplici sistemi classici vengono risolte in modo elementare per ogni singola onda. Fourier ha mostrato che soluzioni semplici possono anche essere sommate per dare soluzioni a problemi più complessi. Nel linguaggio della matematica, la serie di Fourier è una tecnica per rappresentare un'espressione come somma di armoniche - coseno e sinusoidi. Pertanto, questa analisi è anche nota come "analisi armonica".
Serie Fourier - la tecnica ideale prima dell'"era dei computer"
Prima della creazione della tecnologia informatica, la tecnica di Fourier era l'arma migliore nell'arsenale degli scienziati quando lavoravano con la natura ondulatoria del nostro mondo. La serie di Fourier in forma complessa permette di risolvere non solo semplici problemi direttamente applicabili alle leggi della meccanica di Newton, ma anche equazioni fondamentali. La maggior parte delle scoperte della scienza newtoniana nel diciannovesimo secolo furono rese possibili solo dalla tecnica di Fourier.
Serie di Fourier oggi
Con lo sviluppo dei computer trasformati di Fourierelevato a un livello completamente nuovo. Questa tecnica è saldamente radicata in quasi tutte le aree della scienza e della tecnologia. Un esempio è un segnale audio e video digitale. La sua realizzazione divenne possibile solo grazie alla teoria sviluppata da un matematico francese all'inizio dell'Ottocento. Pertanto, la serie di Fourier in una forma complessa ha permesso di fare una svolta nello studio dello spazio esterno. Inoltre, ha influenzato lo studio della fisica dei materiali semiconduttori e del plasma, l'acustica delle microonde, l'oceanografia, il radar, la sismologia.
Serie di Fourier trigonometrica
In matematica, una serie di Fourier è un modo per rappresentare funzioni complesse arbitrarie come somma di funzioni più semplici. In casi generali, il numero di tali espressioni può essere infinito. Inoltre, più il loro numero viene preso in considerazione nel calcolo, più accurato è il risultato finale. Molto spesso, le funzioni trigonometriche di coseno o seno sono utilizzate come le più semplici. In questo caso, le serie di Fourier sono dette trigonometriche e la soluzione di tali espressioni è chiamata espansione dell'armonica. Questo metodo gioca un ruolo importante in matematica. Innanzitutto, la serie trigonometrica fornisce un mezzo per l'immagine, così come lo studio delle funzioni, è l'apparato principale della teoria. Inoltre, permette di risolvere una serie di problemi di fisica matematica. Infine, questa teoria ha contribuito allo sviluppo dell'analisi matematica, ha dato origine a una serie di sezioni molto importanti della scienza matematica (la teoria degli integrali, la teoria delle funzioni periodiche). Inoltre, è servito come punto di partenza per lo sviluppo delle seguenti teorie: insiemi, funzionivariabile reale, analisi funzionale e ha anche gettato le basi per l'analisi armonica.
