La trasformata di Fourier è una trasformazione che confronta le funzioni di una variabile reale. Questa operazione viene eseguita ogni volta che percepiamo suoni diversi. L'orecchio esegue un "calcolo" automatico, che la nostra coscienza è in grado di eseguire solo dopo aver studiato la sezione corrispondente della matematica superiore. L'organo uditivo umano costruisce una trasformazione, a seguito della quale il suono (movimento oscillatorio di particelle condizionali in un mezzo elastico che si propagano sotto forma d'onda in un mezzo solido, liquido o gassoso) viene fornito sotto forma di uno spettro di valori successivi del livello del volume di toni di diverse altezze. Dopodiché, il cervello trasforma queste informazioni in un suono familiare a tutti.
Trasformata matematica di Fourier
La trasformazione delle onde sonore o altri processi oscillatori (dalla radiazione luminosa e marea oceanica a cicli di attività stellare o solare) può essere effettuata anche utilizzando metodi matematici. Quindi, utilizzando queste tecniche, è possibile scomporre funzioni rappresentando processi oscillatori come un insieme di componenti sinusoidali, cioè curve ondulate chevai dal basso verso l' alto, poi di nuovo verso il basso, come un'onda del mare. Trasformata di Fourier - una trasformazione la cui funzione descrive la fase o l'ampiezza di ciascuna sinusoide corrispondente a una certa frequenza. La fase è il punto iniziale della curva e l'ampiezza è la sua altezza.
La trasformata di Fourier (gli esempi sono mostrati nella foto) è uno strumento molto potente che viene utilizzato in vari campi della scienza. In alcuni casi, viene utilizzato come mezzo per risolvere equazioni piuttosto complesse che descrivono processi dinamici che si verificano sotto l'influenza della luce, dell'energia termica o elettrica. In altri casi, consente di determinare le componenti regolari in segnali oscillatori complessi, grazie ai quali è possibile interpretare correttamente varie osservazioni sperimentali in chimica, medicina e astronomia.
Sfondo storico
La prima persona ad applicare questo metodo fu il matematico francese Jean Baptiste Fourier. La trasformazione, poi intitolata a lui, era originariamente usata per descrivere il meccanismo di conduzione del calore. Fourier trascorse tutta la sua vita adulta studiando le proprietà del calore. Ha dato un enorme contributo alla teoria matematica della determinazione delle radici delle equazioni algebriche. Fourier fu professore di analisi al Politecnico, segretario dell'Istituto di Egittologia, fu al servizio imperiale, dove si distinse durante la costruzione della strada per Torino (sotto la sua guida, oltre 80mila chilometri quadrati dipaludi). Tuttavia, tutta questa vigorosa attività non ha impedito allo scienziato di fare analisi matematiche. Nel 1802 derivò un'equazione che descrive la propagazione del calore nei solidi. Nel 1807, lo scienziato scoprì un metodo per risolvere questa equazione, chiamato "trasformata di Fourier".
Analisi di conducibilità termica
Lo scienziato ha applicato un metodo matematico per descrivere il meccanismo di conduzione del calore. Un comodo esempio, in cui non ci sono difficoltà di calcolo, è la propagazione dell'energia termica attraverso un anello di ferro immerso in una parte in un incendio. Per condurre esperimenti, Fourier riscaldò una parte di questo anello rovente e lo seppellì nella sabbia fine. Successivamente, ha effettuato misurazioni della temperatura sul lato opposto. Inizialmente la distribuzione del calore è irregolare: una parte dell'anello è fredda e l' altra è calda; tra queste zone si può osservare un forte gradiente di temperatura. Tuttavia, nel processo di propagazione del calore sull'intera superficie del metallo, diventa più uniforme. Quindi, presto questo processo assume la forma di una sinusoide. All'inizio, il grafico aumenta gradualmente e anche diminuisce gradualmente, esattamente secondo le leggi di variazione della funzione coseno o seno. L'onda si livella gradualmente e di conseguenza la temperatura diventa la stessa su tutta la superficie dell'anello.
L'autore di questo metodo ha suggerito che la distribuzione irregolare iniziale può essere scomposta in un numero di sinusoidi elementari. Ciascuno di essi avrà una propria fase (posizione iniziale) e una propria temperaturamassimo. Inoltre, ciascuna di queste componenti cambia da un minimo ad un massimo e ritorna un giro completo attorno all'anello un numero intero di volte. Una componente con un periodo veniva chiamata armonica fondamentale, un valore con due o più periodi veniva chiamato secondo e così via. Quindi, la funzione matematica che descrive la temperatura massima, fase o posizione è chiamata trasformata di Fourier della funzione di distribuzione. Lo scienziato ha ridotto un singolo componente, difficile da descrivere matematicamente, a uno strumento di facile utilizzo: le serie coseno e seno, che si sommano per dare la distribuzione originale.
L'essenza dell'analisi
Applicando questa analisi alla trasformazione della propagazione del calore attraverso un oggetto solido che ha una forma anulare, il matematico ha ragionato che l'aumento dei periodi della componente sinusoidale porterebbe al suo rapido decadimento. Questo è chiaramente visibile nelle armoniche fondamentali e seconde. Nel secondo, la temperatura raggiunge i valori massimo e minimo due volte in un passaggio e, nel primo, solo una volta. Si scopre che la distanza percorsa dal calore nella seconda armonica sarà la metà di quella nella fondamentale. Inoltre, anche la seconda pendenza sarà doppia rispetto alla prima. Pertanto, poiché il flusso di calore più intenso percorre una distanza due volte più breve, questa armonica decadrà quattro volte più velocemente della fondamentale in funzione del tempo. In futuro, questo processo sarà ancora più veloce. Il matematico credeva che questo metodo permettesse di calcolare il processo della distribuzione iniziale della temperatura nel tempo.
Sfida ai contemporanei
L'algoritmo della trasformata di Fourier sfidava le basi teoriche della matematica dell'epoca. All'inizio del diciannovesimo secolo, scienziati di spicco, tra cui Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre e Biot, non accettarono la sua affermazione secondo cui la distribuzione della temperatura iniziale è scomposta in componenti sotto forma di un'armonica fondamentale e di frequenze più alte. Tuttavia, l'Accademia delle scienze non poteva ignorare i risultati ottenuti dal matematico e gli conferì un premio per la teoria delle leggi della conduzione del calore, oltre a confrontarla con esperimenti fisici. Nell'approccio di Fourier, l'obiezione principale era il fatto che la funzione discontinua è rappresentata dalla somma di più funzioni sinusoidali continue. Dopotutto, descrivono linee rette e curve strappate. I contemporanei dello scienziato non hanno mai incontrato una situazione simile, quando le funzioni discontinue erano descritte da una combinazione di continue, come quadratiche, lineari, sinusoidali o esponenziali. Nel caso in cui il matematico avesse ragione nelle sue affermazioni, allora la somma di una serie infinita di una funzione trigonometrica dovrebbe essere ridotta a una esatta graduale. All'epoca un'affermazione del genere sembrava assurda. Tuttavia, nonostante i dubbi, alcuni ricercatori (ad es. Claude Navier, Sophie Germain) hanno ampliato il campo di ricerca portandolo oltre l'analisi della distribuzione dell'energia termica. Nel frattempo, i matematici hanno continuato a lottare con la questione se la somma di diverse funzioni sinusoidali possa essere ridotta a una rappresentazione esatta di una discontinua.
200 annistoria
Questa teoria si è evoluta nel corso di due secoli, oggi si è finalmente formata. Con il suo aiuto, le funzioni spaziali o temporali sono divise in componenti sinusoidali, che hanno una propria frequenza, fase e ampiezza. Questa trasformazione è ottenuta con due diversi metodi matematici. Il primo viene utilizzato quando la funzione originale è continua e il secondo quando è rappresentato da un insieme di modifiche individuali discrete. Se l'espressione è ottenuta da valori definiti da intervalli discreti, può essere suddivisa in più espressioni sinusoidali con frequenze discrete - dalla più bassa e poi due, tre volte e così via più alta di quella principale. Tale somma è chiamata serie di Fourier. Se all'espressione iniziale viene assegnato un valore per ogni numero reale, allora può essere scomposta in più sinusoidali di tutte le possibili frequenze. È comunemente chiamato integrale di Fourier e la soluzione implica trasformazioni integrali della funzione. Indipendentemente da come si ottiene la conversione, per ciascuna frequenza devono essere specificati due numeri: ampiezza e frequenza. Questi valori sono espressi come un unico numero complesso. La teoria delle espressioni di variabili complesse, insieme alla trasformata di Fourier, ha permesso di effettuare calcoli nella progettazione di vari circuiti elettrici, l'analisi delle vibrazioni meccaniche, lo studio del meccanismo di propagazione delle onde e altro ancora.
La trasformazione di Fourier oggi
Oggi, lo studio di questo processo si riduce principalmente all'efficaciametodi di transizione da una funzione alla sua forma trasformata e viceversa. Questa soluzione è chiamata trasformata di Fourier diretta e inversa. Cosa significa? Per determinare l'integrale e produrre una trasformata di Fourier diretta, si possono usare metodi matematici o analitici. Nonostante il fatto che sorgano alcune difficoltà quando li si usa nella pratica, la maggior parte degli integrali è già stata trovata e inclusa nei libri di riferimento matematico. I metodi numerici possono essere utilizzati per calcolare espressioni la cui forma è basata su dati sperimentali, o funzioni i cui integrali non sono disponibili nelle tabelle e sono difficili da presentare in forma analitica.
Prima dell'avvento dei computer, i calcoli di tali trasformazioni erano molto noiosi, richiedevano l'esecuzione manuale di un gran numero di operazioni aritmetiche, che dipendevano dal numero di punti che descrivevano la funzione d'onda. Per facilitare i calcoli, oggi esistono programmi speciali che hanno permesso di implementare nuovi metodi analitici. Così, nel 1965, James Cooley e John Tukey crearono un software che divenne noto come "Fast Fourier Transform". Consente di risparmiare tempo per i calcoli riducendo il numero di moltiplicazioni nell'analisi della curva. Il metodo della trasformata di Fourier veloce si basa sulla divisione della curva in un gran numero di valori campionari uniformi. Di conseguenza, il numero di moltiplicazioni viene dimezzato con la stessa diminuzione del numero di punti.
Applicare la trasformata di Fourier
Questoil processo è utilizzato in vari campi della scienza: nella teoria dei numeri, nella fisica, nell'elaborazione dei segnali, nella combinatoria, nella teoria della probabilità, nella crittografia, nella statistica, nell'oceanologia, nell'ottica, nell'acustica, nella geometria e altri. Le ricche possibilità della sua applicazione si basano su una serie di utili funzioni, denominate "proprietà di trasformata di Fourier". Considerali.
1. La trasformazione della funzione è un operatore lineare e, con l'opportuna normalizzazione, è unitaria. Questa proprietà è nota come teorema di Parseval, o in generale teorema di Plancherel, o dualismo di Pontryagin.
2. La trasformazione è reversibile. Inoltre, il risultato inverso ha quasi la stessa forma della soluzione diretta.
3. Le espressioni di base sinusoidali sono proprie funzioni differenziate. Ciò significa che tale rappresentazione cambia le equazioni lineari a coefficiente costante in ordinarie algebriche.
4. Secondo il teorema della "convoluzione", questo processo trasforma un'operazione complessa in una moltiplicazione elementare.
5. La trasformata discreta di Fourier può essere calcolata rapidamente su un computer usando il metodo "veloce".
Varietà della trasformata di Fourier
1. Molto spesso, questo termine è usato per denotare una trasformazione continua che fornisce qualsiasi espressione integrabile al quadrato come somma di espressioni esponenziali complesse con frequenze angolari e ampiezze specifiche. Questa specie ha diverse forme diverse, che possonodifferiscono per coefficienti costanti. Il metodo continuo include una tabella di conversione, che può essere trovata nei libri di riferimento matematico. Un caso generalizzato è una trasformazione frazionaria, mediante la quale il processo dato può essere elevato alla potenza reale richiesta.
2. Il modo continuo è una generalizzazione della tecnica iniziale delle serie di Fourier definite per varie funzioni o espressioni periodiche che esistono in un'area limitata e le rappresentano come serie di sinusoidi.
3. Trasformata discreta di Fourier. Questo metodo è utilizzato nella tecnologia informatica per i calcoli scientifici e per l'elaborazione del segnale digitale. Per eseguire questo tipo di calcolo, è necessario disporre di funzioni che definiscano singoli punti, aree periodiche o delimitate su un insieme discreto anziché integrali di Fourier continui. La trasformazione del segnale in questo caso è rappresentata come la somma delle sinusoidi. Allo stesso tempo, l'uso del metodo “veloce” permette di applicare soluzioni discrete a qualsiasi problema pratico.
4. La trasformata di Fourier con finestra è una forma generalizzata del metodo classico. Contrariamente alla soluzione standard, quando si utilizza lo spettro del segnale, che è preso nell'intero campo di esistenza di una data variabile, qui è di particolare interesse solo la distribuzione di frequenza locale, a condizione che sia preservata la variabile originaria (tempo).
5. Trasformata di Fourier bidimensionale. Questo metodo viene utilizzato per lavorare con matrici di dati bidimensionali. In questo caso, la trasformazione viene eseguita prima in una direzione, quindi in altro.
Conclusione
Oggi, il metodo di Fourier è saldamente radicato in vari campi della scienza. Ad esempio, nel 1962 la forma della doppia elica del DNA è stata scoperta utilizzando l'analisi di Fourier combinata con la diffrazione dei raggi X. Questi ultimi erano focalizzati su cristalli di fibre di DNA, di conseguenza l'immagine ottenuta per diffrazione della radiazione è stata registrata su pellicola. Questa immagine ha fornito informazioni sul valore dell'ampiezza quando si utilizza la trasformata di Fourier per una data struttura cristallina. I dati di fase sono stati ottenuti confrontando la mappa di diffrazione del DNA con mappe ottenute dall'analisi di strutture chimiche simili. Di conseguenza, i biologi hanno ripristinato la struttura cristallina, la funzione originale.
Le trasformazioni di Fourier svolgono un ruolo enorme nello studio dello spazio, della fisica dei semiconduttori e del plasma, dell'acustica delle microonde, dell'oceanografia, del radar, della sismologia e delle indagini mediche.
