In algebra esiste un concetto di due tipi di uguaglianze: identità ed equazioni. Le identità sono tali uguaglianze che sono fattibili per qualsiasi valore delle lettere in esse incluse. Anche le equazioni sono uguaglianze, ma sono fattibili solo per determinati valori delle lettere in esse incluse.
Le lettere di solito non sono uguali in termini di compito. Ciò significa che alcuni di essi possono assumere qualsiasi valore consentito, chiamato coefficienti (o parametri), mentre altri - sono chiamati incognite - assumono valori che devono essere trovati nel processo risolutivo. Di norma, le incognite sono indicate nelle equazioni con lettere, le ultime dell'alfabeto latino (x.y.z, ecc.), o con le stesse lettere, ma con un indice (x1, x 2, ecc.), e i coefficienti noti sono dati dalle prime lettere dello stesso alfabeto.
In base al numero di incognite, si distinguono le equazioni con una, due e più incognite. Pertanto, tutti i valori delle incognite per i quali l'equazione da risolvere si trasforma in un'identità sono chiamati soluzioni delle equazioni. Un'equazione può considerarsi risolta se si trovano tutte le sue soluzioni o se si dimostra che non ne ha. Il compito "risolvi l'equazione" in pratica è comune e significa che devi trovare la radice dell'equazione.
Definizione: le radici di un'equazione sono quei valori delle incognite dall'intervallo di valori ammissibili a cui l'equazione da risolvere diventa un'identità.
L'algoritmo per risolvere assolutamente tutte le equazioni è lo stesso, e il suo significato è ridurre questa espressione a una forma più semplice usando trasformazioni matematiche. Le equazioni che hanno le stesse radici sono chiamate equivalenti in algebra.
L'esempio più semplice: 7x-49=0, la radice dell'equazione x=7;x-7=0, allo stesso modo, la radice x=7, quindi le equazioni sono equivalenti. (In casi speciali, le equazioni equivalenti potrebbero non avere affatto radici.)
Se la radice di un'equazione è anche la radice di un' altra, più semplice equazione ottenuta da quella originale mediante trasformazioni, allora quest'ultima è chiamata conseguenza dell'equazione precedente.
Se una delle due equazioni è una conseguenza dell' altra, allora sono considerate equivalenti. Sono anche chiamati equivalenti. L'esempio sopra illustra questo.
Risolvere anche le equazioni più semplici in pratica è spesso difficile. Come risultato della soluzione, puoi ottenere una radice dell'equazione, due o più, anche un numero infinito - dipende dal tipo di equazioni. Ci sono anche quelli che non hanno radici, si chiamano indecidibili.
Esempi:
1) 15x -20=10; x=2. Questa è l'unica radice dell'equazione.
2) 7x - y=0. L'equazione ha un numero infinito di radici, poiché ogni variabile può averne infinitenumero di valori.
3) x2=- 16. Un numero elevato alla seconda potenza dà sempre un risultato positivo, quindi è impossibile trovare la radice dell'equazione. Questa è una delle equazioni irrisolvibili sopra menzionate.
La correttezza della soluzione viene verificata sostituendo le radici trovate al posto delle lettere e risolvendo l'esempio risultante. Se l'identità è valida, la soluzione è corretta.
