Funzioni di calcolo differenziale di una e più variabili

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-02 17:49

Il calcolo è una branca del calcolo che studia la derivata, i differenziali e il loro uso nello studio di una funzione.

Cronologia delle apparenze

Il calcolo differenziale è emerso come disciplina indipendente nella seconda metà del 17° secolo, grazie al lavoro di Newton e Leibniz, che hanno formulato le disposizioni di base nel calcolo dei differenziali e notato la connessione tra integrazione e differenziazione. Da quel momento, la disciplina si è sviluppata insieme al calcolo degli integrali, costituendo così la base dell'analisi matematica. La comparsa di questi calcoli ha aperto un nuovo periodo moderno nel mondo matematico e ha causato l'emergere di nuove discipline nella scienza. Ha anche ampliato la possibilità di applicare le scienze matematiche alle scienze naturali e alla tecnologia.

Concetti di base

Il calcolo differenziale si basa sui concetti fondamentali della matematica. Essi sono: numero reale, continuità, funzione e limite. Nel tempo, hanno assunto un aspetto moderno, grazie al calcolo integrale e differenziale.

Processo di creazione

La formazione del calcolo differenziale sotto forma di un metodo applicato, e poi di un metodo scientifico, avvenne prima dell'emergere di una teoria filosofica, che fu creata da Nicola da Cusa. Le sue opere sono considerate uno sviluppo evolutivo dai giudizi della scienza antica. Nonostante il filosofo stesso non fosse un matematico, il suo contributo allo sviluppo della scienza matematica è innegabile. Kuzansky fu uno dei primi ad allontanarsi dal considerare l'aritmetica come il campo più accurato della scienza, mettendo in dubbio la matematica dell'epoca.

Gli antichi matematici usavano l'unità come criterio universale, mentre il filosofo proponeva l'infinito come nuova misura invece del numero esatto. A questo proposito, la rappresentazione della precisione nella scienza matematica è invertita. La conoscenza scientifica, secondo lui, è divisa in razionale e intellettuale. Il secondo è più accurato, secondo lo scienziato, poiché il primo fornisce solo un risultato approssimativo.

Idea

L'idea e il concetto principale nel calcolo differenziale è relativo a una funzione in piccole vicinanze di determinati punti. Per fare ciò, è necessario creare un apparato matematico per studiare una funzione il cui comportamento in un piccolo intorno dei punti stabiliti è vicino al comportamento di un polinomio o di una funzione lineare. Questo si basa sulla definizione di derivata e differenziale.

La comparsa del concetto di derivato è stata causata da un gran numero di problemi delle scienze naturali e della matematica,che ha portato a trovare i valori dei limiti della stessa tipologia.

Uno dei problemi principali che vengono dati a titolo di esempio a partire dalle scuole superiori è determinare la velocità di un punto che si muove lungo una retta e costruire una retta tangente a questa curva. Il differenziale è correlato a questo, poiché è possibile approssimare la funzione in un piccolo intorno del punto considerato della funzione lineare.

Rispetto al concetto di derivata di una funzione di una variabile reale, la definizione di differenziali passa semplicemente ad una funzione di carattere generale, in particolare all'immagine di uno spazio euclideo su un altro.

Derivato

Lascia che il punto si muova nella direzione dell'asse Oy, per il tempo che prendiamo x, che viene contato da un certo inizio del momento. Un tale movimento può essere descritto dalla funzione y=f(x), che è assegnata ad ogni momento x della coordinata del punto in movimento. In meccanica, questa funzione è chiamata legge del moto. La caratteristica principale del moto, soprattutto irregolare, è la velocità istantanea. Quando un punto si muove lungo l'asse Oy secondo la legge della meccanica, allora in un momento casuale x, acquisisce la coordinata f(x). Al momento del tempo x + Δx, dove Δx denota l'incremento del tempo, la sua coordinata sarà f(x + Δx). È così che si forma la formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), che è chiamata incremento della funzione. Rappresenta il percorso percorso dal punto nel tempo da x a x + Δx.

A causa dell'emergere di questovelocità alla volta, viene introdotta la derivata. In una funzione arbitraria, la derivata in un punto fisso è chiamata limite (supponendo che esista). Può essere designato da alcuni simboli:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Il processo di calcolo della derivata è chiamato differenziazione.

Calcolo differenziale di una funzione di più variabili

Questo metodo di calcolo viene utilizzato quando si esamina una funzione con diverse variabili. In presenza di due variabili x e y, la derivata parziale rispetto a x nel punto A è detta derivata di questa funzione rispetto a x con y fissa.

Può essere rappresentato dai seguenti caratteri:

f'(x)(x, y), u'(x), ∂u/∂x o ∂f(x, y)'/∂x.

Abilità richieste

Le abilità nell'integrazione e nella differenziazione sono richieste per studiare con successo ed essere in grado di risolvere i diffusi. Per facilitare la comprensione delle equazioni differenziali, dovresti avere una buona comprensione dell'argomento della derivata e dell'integrale indefinito. Inoltre non fa male imparare a trovare la derivata di una funzione data implicitamente. Ciò è dovuto al fatto che nel processo di studio degli integrali e delle differenziazioni dovranno essere spesso utilizzati.

Tipi di equazioni differenziali

In quasi tutti i test relativi alle equazioni differenziali del primo ordine, ci sono 3 tipi di equazioni: omogenee, con variabili separabili, lineari disomogenee.

Ci sono anche varietà più rare di equazioni: con differenziali totali, equazioni di Bernoulli e altre.

Nozioni di base sulle decisioni

In primo luogo, dovresti ricordare le equazioni algebriche del corso scolastico. Contengono variabili e numeri. Per risolvere un'equazione ordinaria, devi trovare un insieme di numeri che soddisfino una determinata condizione. Di norma, tali equazioni avevano una radice e per verificarne la correttezza bastava sostituire questo valore con l'incognita.

L'equazione differenziale è simile a questa. In generale, tale equazione del primo ordine include:

• Variabile indipendente.
• La derivata della prima funzione.
• Una funzione o una variabile dipendente.

In alcuni casi può mancare una delle incognite, x o y, ma questo non è così importante, poiché la presenza della derivata prima, senza derivate di ordine superiore, è necessaria per la soluzione e il differenziale calcolo corretto.

Risolvere un'equazione differenziale significa trovare l'insieme di tutte le funzioni corrispondenti all'espressione data. Tale insieme di funzioni è spesso chiamato la soluzione generale di DE.

Calcolo integrale

Il calcolo integrale è una delle sezioni dell'analisi matematica che studia il concetto di integrale, le proprietà ei metodi del suo calcolo.

Spesso, il calcolo dell'integrale avviene quando si calcola l'area di una figura curvilinea. Quest'area indica il limite a cui tende l'area di un poligono inscritto in una data figura con un aumento graduale del suo lato, mentre questi lati possono essere resi inferiori a qualsiasi arbitrario precedentemente specificatopiccolo valore.

L'idea principale nel calcolare l'area di una figura geometrica arbitraria è calcolare l'area di un rettangolo, cioè dimostrare che la sua area è uguale al prodotto di lunghezza e larghezza. Quando si tratta di geometria, tutte le costruzioni vengono realizzate utilizzando un righello e un compasso, quindi il rapporto tra lunghezza e larghezza è un valore razionale. Quando calcoli l'area di un triangolo rettangolo, puoi determinare che se metti lo stesso triangolo accanto ad esso, si forma un rettangolo. In un parallelogramma, l'area viene calcolata con un metodo simile, ma leggermente più complicato, attraverso un rettangolo e un triangolo. Nei poligoni, l'area è calcolata attraverso i triangoli in essa contenuti.

Quando si determina il risparmio di una curva arbitraria, questo metodo non funzionerà. Se lo spezzi in singoli quadrati, ci saranno posti vuoti. In questo caso, si tenta di utilizzare due copertine, con rettangoli in alto e in basso, di conseguenza, quelle includono il grafico della funzione e non lo fanno. Il metodo di partizionamento in questi rettangoli rimane importante qui. Inoltre, se prendiamo partizioni sempre più piccole, l'area sopra e sotto dovrebbe convergere a un certo valore.

Dovrebbe tornare al metodo di divisione in rettangoli. Esistono due metodi popolari.

Riemann ha formalizzato la definizione dell'integrale creato da Leibniz e Newton come area di un sottografo. In questo caso sono state considerate delle figure, costituite da un certo numero di rettangoli verticali e ottenute per divisionesegmento. Quando, al diminuire della partizione, c'è un limite al quale l'area di una figura simile si riduce, questo limite è chiamato integrale di Riemann di una funzione su un dato intervallo.

Il secondo metodo è la costruzione dell'integrale di Lebesgue, che consiste nel fatto che al posto di dividere l'area definita in parti dell'integrando e quindi compilare la somma integrale dai valori ottenuti in queste parti, il suo intervallo di valori è suddiviso in intervalli e quindi riassunto con le misure corrispondenti delle preimmagini di questi integrali.

Vantaggi moderni

Uno dei principali manuali per lo studio del calcolo differenziale e integrale è stato scritto da Fikhtengolts - "Corso di calcolo differenziale e integrale". Il suo libro di testo è una guida fondamentale allo studio dell'analisi matematica, che ha avuto numerose edizioni e traduzioni in altre lingue. Creato per studenti universitari e da tempo utilizzato in molte istituzioni educative come uno dei principali ausili allo studio. Fornisce dati teorici e abilità pratiche. Pubblicato per la prima volta nel 1948.

Algoritmo di ricerca delle funzioni

Per studiare una funzione usando i metodi del calcolo differenziale, devi seguire l'algoritmo già dato:

1. Trova l'ambito di una funzione.
2. Trova le radici dell'equazione data.
3. Calcola gli estremi. Per fare ciò, calcola la derivata e i punti in cui è uguale a zero.
4. Sostituisci il valore risultante nell'equazione.

Varietà di equazioni differenziali

controllo del primo ordine (altrimenti, differenzialecalcolo a singola variabile) e i loro tipi:

• Equazione separabile: f(y)dy=g(x)dx.
• Le equazioni più semplici, o calcolo differenziale di una funzione di una variabile, con la formula: y'=f(x).
• DE del primo ordine disomogenea lineare: y'+P(x)y=Q(x).
• Equazione differenziale di Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Equazione con differenziali totali: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Equazioni differenziali del secondo ordine e loro tipi:

• Equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine con valori di coefficienti costanti: y +py'+qy=0 p, q appartiene a R.
• Equazione differenziale lineare del secondo ordine disomogenea con coefficienti costanti: y +py'+qy=f(x).
• Equazione differenziale lineare omogenea: y +p(x)y'+q(x)y=0, ed equazione del secondo ordine disomogenea: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Equazioni differenziali di ordine superiore e loro tipi:

• Equazione differenziale che può essere ridotta nell'ordine: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Equazione lineare omogenea di ordine superiore: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, e disomogeneo: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+fa}0_y=fa(x).

Passaggi per risolvere un problema con un'equazione differenziale

Con l'aiuto del telecomando, non vengono risolti solo problemi matematici o fisici, ma anche vari problemi dibiologia, economia, sociologia, ecc. Nonostante l'ampia varietà di argomenti, si dovrebbe attenersi a un'unica sequenza logica quando si risolvono tali problemi:

1. Compilazione del telecomando. Uno dei passaggi più difficili che richiede la massima precisione, poiché qualsiasi errore porterà a risultati completamente sbagliati. Tutti i fattori che influenzano il processo dovrebbero essere presi in considerazione e dovrebbero essere determinate le condizioni iniziali. Dovrebbe anche essere basato su fatti e conclusioni logiche.
2. Soluzione dell'equazione formulata. Questo processo è più semplice del primo passaggio, poiché richiede solo calcoli matematici rigorosi.
3. Analisi e valutazione dei risultati. La soluzione derivata dovrebbe essere valutata per stabilire il valore pratico e teorico del risultato.

Un esempio di utilizzo di equazioni differenziali in medicina

L'uso del telecomando nel campo della medicina si verifica quando si costruisce un modello matematico epidemiologico. Allo stesso tempo, non bisogna dimenticare che queste equazioni si trovano anche in biologia e chimica, che sono vicine alla medicina, perché lo studio delle varie popolazioni biologiche e dei processi chimici nel corpo umano gioca un ruolo importante in esso.

Nell'esempio sopra di un'epidemia, possiamo considerare la diffusione dell'infezione in una società isolata. Gli abitanti sono divisi in tre tipi:

• Infetto, numero x(t), costituito da individui, portatori dell'infezione, ciascuno dei quali è contagioso (il periodo di incubazione è breve).
• Il secondo tipo includeindividui suscettibili y(t) in grado di essere infettati attraverso il contatto con individui infetti.
• La terza specie include individui immuni z(t) che sono immuni o sono morti a causa di una malattia.

Il numero di individui è costante, non si tiene conto delle nascite, delle morti naturali e della migrazione. Ci saranno due ipotesi al centro.

La percentuale di incidenza in un determinato momento è x(t)y(t) (basata sulla teoria che il numero di casi è proporzionale al numero di incroci tra rappresentanti malati e suscettibili, che nel primo l'approssimazione sarà proporzionale a x(t)y(t)), in relazione a ciò, il numero di casi aumenta e il numero di diminuzioni suscettibili a un tasso calcolato dalla formula ax(t)y(t) (a > 0).

Il numero di individui immuni che sono diventati immuni o sono morti sta aumentando a una velocità proporzionale al numero di casi, bx(t) (b > 0).

Di conseguenza, puoi creare un sistema di equazioni tenendo conto di tutti e tre gli indicatori e trarre conclusioni sulla base di esso.

Esempio di economia

Il calcolo differenziale è spesso usato nell'analisi economica. Il compito principale dell'analisi economica è lo studio delle quantità dell'economia, che sono scritte sotto forma di funzione. Viene utilizzato per risolvere problemi come variazioni di reddito immediatamente dopo un aumento delle tasse, introduzione di dazi, variazioni delle entrate aziendali quando cambia il costo di produzione, in quale proporzione i lavoratori in pensione possono essere sostituiti con nuove attrezzature. Per risolvere tali problemi, è necessariocostruire una funzione di connessione dalle variabili di input, che vengono poi studiate usando il calcolo differenziale.

Nella sfera economica è spesso necessario trovare gli indicatori più ottimali: la massima produttività del lavoro, il reddito più alto, i costi più bassi e così via. Ciascuno di questi indicatori è una funzione di uno o più argomenti. Ad esempio, la produzione può essere vista come una funzione del lavoro e degli input di capitale. A questo proposito, trovare un valore adatto può essere ridotto a trovare il massimo o il minimo di una funzione da una o più variabili.

Problemi di questo tipo creano una classe di problemi estremi in campo economico, la cui soluzione richiede il calcolo differenziale. Quando un indicatore economico deve essere minimizzato o massimizzato in funzione di un altro indicatore, al punto di massimo, il rapporto tra l'incremento della funzione e gli argomenti tenderà a zero se l'incremento dell'argomento tende a zero. In caso contrario, quando tale rapporto tende a un valore positivo o negativo, il punto specificato non è adatto, poiché aumentando o diminuendo l'argomento è possibile modificare il valore dipendente nella direzione richiesta. Nella terminologia del calcolo differenziale, ciò significherà che la condizione richiesta per il massimo di una funzione è il valore zero della sua derivata.

In economia, ci sono spesso problemi nel trovare l'estremo di una funzione con più variabili, perché gli indicatori economici sono costituiti da molti fattori. Domande come questa vanno bene.studiato nella teoria delle funzioni di più variabili, applicando metodi di calcolo differenziale. Tali problemi includono non solo funzioni massimizzate e minimizzate, ma anche vincoli. Tali domande sono legate alla programmazione matematica e vengono risolte con l'aiuto di metodi appositamente sviluppati, basati anche su questo ramo della scienza.

Tra i metodi di calcolo differenziale usati in economia, una sezione importante è l'analisi marginale. Nella sfera economica, questo termine si riferisce a un insieme di metodi per studiare indicatori e risultati variabili quando si modifica il volume della creazione, del consumo, sulla base dell'analisi dei loro indicatori marginali. L'indicatore limitante è la derivata o le derivate parziali con più variabili.

Il calcolo differenziale di più variabili è un argomento importante nel campo dell'analisi matematica. Per uno studio dettagliato, puoi utilizzare vari libri di testo per l'istruzione superiore. Uno dei più famosi è stato creato da Fikhtengolts: "Corso di calcolo differenziale e integrale". Come suggerisce il nome, le abilità nel lavorare con gli integrali sono di notevole importanza per la risoluzione di equazioni differenziali. Quando avviene il calcolo differenziale di una funzione di una variabile, la soluzione diventa più semplice. Anche se, va notato, è soggetto alle stesse regole di base. Per studiare in pratica una funzione mediante calcolo differenziale, è sufficiente seguire l'algoritmo già esistente, che viene dato al liceo e solo leggermente complicato quando ne vengono introdotti di nuovi.variabili.