Per capire quali sono i punti estremi di una funzione, non è affatto necessario conoscere la presenza della prima e della seconda derivata e comprenderne il significato fisico. Per prima cosa devi capire quanto segue:
- function extrema massimizza o, al contrario, minimizza il valore della funzione in un intorno arbitrariamente piccolo;
- Non dovrebbe esserci un'interruzione di funzione nel punto estremo.
E ora lo stesso, solo in un linguaggio semplice. Guarda la punta di una penna a sfera. Se la penna è posizionata verticalmente, con la scritta rivolta verso l' alto, il punto centrale della pallina sarà il punto estremo, il punto più alto. In questo caso si parla di massimo. Ora, se giri la penna con l'estremità della scrittura verso il basso, allora al centro della pallina ci sarà già un minimo della funzione. Con l'aiuto della figura qui fornita, puoi immaginare le manipolazioni elencate per una matita di cancelleria. Quindi, gli estremi di una funzione sono sempre punti critici: i suoi massimi o minimi. La sezione adiacente del grafico può essere arbitrariamente nitida o liscia, ma deve esistere su entrambi i lati, solo in questo caso il punto è un estremo. Se il grafico è presente solo da un lato, questo punto non sarà un extremum anche se da un latocondizioni estreme sono soddisfatte. Ora studiamo gli estremi della funzione da un punto di vista scientifico. Perché un punto sia considerato un extremum, è necessario e sufficiente che:
- la derivata prima era uguale a zero o non esisteva al punto;
- a questo punto la derivata prima ha cambiato segno.
La condizione è interpretata in modo alquanto diverso dal punto di vista delle derivate di ordine superiore: per una funzione derivabile in un punto è sufficiente che esista una derivata di ordine dispari che non sia uguale a zero, mentre tutte le derivate di ordine inferiore devono esistere ed essere uguali a zero. Questa è l'interpretazione più semplice dei teoremi dai libri di testo di matematica superiore. Ma per le persone più comuni, vale la pena spiegare questo punto con un esempio. La base è una normale parabola. Effettua subito una prenotazione, al punto zero ha un minimo. Solo un po' di matematica:
- derivata prima (X2)|=2X, per punto zero 2X=0;
- derivata seconda (2X)|=2, per punto zero 2=2.
Questa è una semplice illustrazione delle condizioni che determinano gli estremi della funzione sia per le derivate di primo ordine che per le derivate di ordine superiore. Possiamo aggiungere a ciò che la derivata seconda è proprio la stessa derivata di un ordine dispari, diverso da zero, di cui si è discusso un po' più in alto. Quando si tratta di estremi di una funzione di due variabili, le condizioni devono essere soddisfatte per entrambi gli argomenti. quandosi verifica la generalizzazione, quindi vengono utilizzate le derivate parziali. Cioè è necessario per la presenza di un estremo in un punto in cui entrambe le derivate del primo ordine sono uguali a zero, o almeno una di esse non esiste. Per la sufficienza della presenza di un estremo si studia un'espressione, che è la differenza tra il prodotto delle derivate del secondo ordine e il quadrato della derivata mista del secondo ordine della funzione. Se questa espressione è maggiore di zero, allora c'è un estremo, e se c'è zero, la domanda rimane aperta e sono necessarie ulteriori ricerche.
