Uno dei rami della matematica con cui gli scolari affrontano le maggiori difficoltà è la trigonometria. Non c'è da stupirsi: per padroneggiare liberamente quest'area della conoscenza, è necessario il pensiero spaziale, la capacità di trovare seni, coseni, tangenti, cotangenti usando formule, semplificare le espressioni ed essere in grado di utilizzare il numero pi nei calcoli. Inoltre, è necessario essere in grado di applicare la trigonometria durante la dimostrazione di teoremi, e ciò richiede una memoria matematica sviluppata o la capacità di dedurre catene logiche complesse.
Le origini della trigonometria
L'introduzione a questa scienza dovrebbe iniziare con la definizione di seno, coseno e tangente di un angolo, ma prima devi capire cosa fa la trigonometria in generale.
Storicamente, i triangoli rettangoli sono stati il principale oggetto di ricerca in questa sezione di scienze matematiche. La presenza di un angolo di 90 gradi permette di effettuare diverse operazioni che ne consentono duelati e un angolo o due angoli e un lato per determinare i valori di tutti i parametri della figura in questione. In passato, le persone hanno notato questo modello e hanno iniziato a usarlo attivamente nella costruzione di edifici, navigazione, astronomia e persino arte.
Inizio
Inizialmente, le persone parlavano della relazione tra angoli e lati esclusivamente sull'esempio dei triangoli rettangoli. Poi sono state scoperte formule speciali, che hanno permesso di ampliare i confini dell'uso nella vita quotidiana di questa sezione della matematica.
Lo studio della trigonometria a scuola oggi inizia con i triangoli rettangoli, dopodiché le conoscenze acquisite vengono utilizzate dagli studenti in fisica e risolvendo equazioni trigonometriche astratte, il cui lavoro inizia al liceo.
Trigonometria sferica
Più tardi, quando la scienza raggiunse il livello successivo di sviluppo, le formule con seno, coseno, tangente, cotangente iniziarono ad essere utilizzate nella geometria sferica, dove si applicano altre regole, e la somma degli angoli in un triangolo è sempre più di 180 gradi. Questa sezione non è studiata a scuola, ma è necessario conoscerne l'esistenza, almeno perché la superficie terrestre, e la superficie di qualsiasi altro pianeta, è convessa, il che significa che qualsiasi segno della superficie sarà "a forma di arco " nello spazio tridimensionale.
Prendi un globo e un filo. Attacca il filo a due punti qualsiasi del globo in modo che sia teso. Fai attenzione: ha acquisito la forma di un arco. Si occupa di tali formegeometria sferica utilizzata in geodesia, astronomia e altri campi teorici e applicati.
Triangolo destro
Dopo aver appreso un po' le modalità di utilizzo della trigonometria, torniamo alla trigonometria di base per capire meglio cosa sono seno, coseno, tangente, quali calcoli possono essere eseguiti con il loro aiuto e quali formule utilizzare.
Prima di tutto, devi comprendere i concetti relativi a un triangolo rettangolo. Innanzitutto, l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo di 90 gradi. Lei è la più lunga. Ricordiamo che secondo il teorema di Pitagora il suo valore numerico è uguale alla radice della somma dei quadrati degli altri due lati.
Ad esempio, se due lati misurano rispettivamente 3 e 4 centimetri, la lunghezza dell'ipotenusa sarà di 5 centimetri. A proposito, gli antichi egizi lo sapevano circa quattromilacinquecento anni fa.
I due lati rimanenti che formano un angolo retto sono chiamati gambe. Inoltre, dobbiamo ricordare che la somma degli angoli di un triangolo in un sistema di coordinate rettangolari è 180 gradi.
Definizione
Infine, avendo una solida conoscenza della base geometrica, possiamo passare alla definizione di seno, coseno e tangente di un angolo.
Il seno di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta (cioè il lato opposto all'angolo desiderato) e l'ipotenusa. Il coseno di un angolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.
Ricorda che né seno né coseno possono essere maggiori di uno! Come mai?Perché l'ipotenusa è per impostazione predefinita il lato più lungo di un triangolo rettangolo. Non importa quanto sia lunga la gamba, sarà più corta dell'ipotenusa, il che significa che il loro rapporto sarà sempre inferiore a uno. Pertanto, se ottieni un seno o un coseno con un valore maggiore di 1 nella risposta al problema, cerca un errore nei calcoli o nel ragionamento. Questa risposta è chiaramente sbagliata.
Infine, la tangente di un angolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente. Lo stesso risultato darà la divisione del seno per il coseno. Guarda: secondo la formula, dividiamo la lunghezza del lato per l'ipotenusa, dopodiché la dividiamo per la lunghezza del secondo lato e moltiplichiamo per l'ipotenusa. Quindi, otteniamo lo stesso rapporto della definizione della tangente.
Cotangente, rispettivamente, è il rapporto tra il lato adiacente all'angolo e il lato opposto. Otteniamo lo stesso risultato dividendo l'unità per la tangente.
Quindi, abbiamo considerato le definizioni di cosa sia seno, coseno, tangente e cotangente e possiamo occuparci delle formule.
Formule semplici
Nella trigonometria non si può fare a meno delle formule: come trovare seno, coseno, tangente, cotangente senza di esse? Ma questo è esattamente ciò che è necessario quando si risolvono i problemi.
La prima formula che devi sapere quando inizi a studiare la trigonometria dice che la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo è uguale a uno. Questa formula è una diretta conseguenza del teorema di Pitagora, ma consente di risparmiare tempo se è necessario scoprire il valore dell'angolo, non del lato.
Molti studenti non ricordano la seconda formula, anche moltopopolare nella risoluzione di problemi scolastici: la somma di uno e il quadrato della tangente di un angolo è uguale a uno diviso per il quadrato del coseno dell'angolo. Dai un'occhiata più da vicino: dopo tutto, questa è la stessa affermazione della prima formula, solo entrambi i lati dell'identità erano divisi dal quadrato del coseno. Si scopre che una semplice operazione matematica rende la formula trigonometrica completamente irriconoscibile. Ricorda: sapendo cos'è seno, coseno, tangente e cotangente, le regole di conversione e alcune formule di base, puoi in qualsiasi momento derivare in modo indipendente le formule più complesse richieste su un pezzo di carta.
Formule del doppio angolo e aggiunta di argomenti
Altre due formule da imparare sono relative ai valori seno e coseno per la somma e la differenza degli angoli. Sono mostrati nella figura seguente. Si noti che nel primo caso, il seno e il coseno vengono moltiplicati per entrambe le volte, e nel secondo caso, viene aggiunto il prodotto a coppie di seno e coseno.
Ci sono anche formule associate agli argomenti del doppio angolo. Sono completamente derivati dai precedenti - come pratica, prova a procurarteli da solo, prendendo l'angolo di alfa uguale all'angolo di beta.
Infine, nota che le formule del doppio angolo possono essere convertite per ridurre il grado di seno, coseno, alfa tangente.
Teoremi
I due teoremi principali della trigonometria di base sono il teorema del seno e il teorema del coseno. Con l'aiuto di questi teoremi, puoi facilmente capire come trovare seno, coseno e tangente, e quindi l'area della figura e la grandezzaogni lato, ecc.
Il teorema seno afferma che dividendo la lunghezza di ciascuno dei lati di un triangolo per il valore dell'angolo opposto, otteniamo lo stesso numero. Inoltre, questo numero sarà uguale a due raggi del cerchio circoscritto, cioè il cerchio contenente tutti i punti del triangolo dato.
Il teorema del coseno generalizza il teorema di Pitagora, proiettandolo su qualsiasi triangolo. Si scopre che dalla somma dei quadrati dei due lati, sottrarre il loro prodotto, moltiplicato per il doppio coseno dell'angolo adiacente a loro - il valore risultante sarà uguale al quadrato del terzo lato. Pertanto, il teorema di Pitagora risulta essere un caso speciale del teorema del coseno.
Errori dovuti alla disattenzione
Anche sapendo cosa sono seno, coseno e tangente, è facile sbagliare per distrazione o per un errore nei calcoli più semplici. Per evitare tali errori, diamo un'occhiata ai più popolari.
Prima di tutto, non convertire le frazioni comuni in decimali prima di ottenere il risultato finale: puoi lasciare la risposta come frazione comune, se non diversamente indicato nella condizione. Una tale trasformazione non può essere definita un errore, ma va ricordato che in ogni fase del compito possono apparire nuove radici che, secondo l'idea dell'autore, dovrebbero essere ridotte. In questo caso, perderai tempo in operazioni matematiche non necessarie. Ciò è particolarmente vero per valori come la radice di tre o due, perché si verificano nelle attività ad ogni passaggio. Lo stesso vale per l'arrotondamento. Numeri "brutti".
Successivamente, nota che il teorema del coseno si applica a qualsiasi triangolo, ma non il teorema di Pitagora! Se per errore dimentichi di sottrarre due volte il prodotto dei lati moltiplicato per il coseno dell'angolo tra di loro, non solo otterrai un risultato completamente sbagliato, ma dimostrerai anche un completo malinteso sull'argomento. Questo è peggio di un errore negligente.
Terzo, non confondere i valori per angoli di 30 e 60 gradi per seno, coseno, tangente, cotangente. Ricorda questi valori, perché il seno di 30 gradi è uguale al coseno di 60 e viceversa. È facile confonderli e inevitabilmente otterrai un risultato errato.
Applicazione
Molti studenti non hanno fretta di iniziare a studiare la trigonometria, perché non ne capiscono il significato applicato. Che cos'è seno, coseno, tangente per un ingegnere o un astronomo? Questi sono concetti grazie ai quali è possibile calcolare la distanza da stelle lontane, prevedere la caduta di un meteorite, inviare una sonda di ricerca su un altro pianeta. Senza di loro, è impossibile costruire un edificio, progettare un'auto, calcolare il carico sulla superficie o la traiettoria di un oggetto. E questi sono solo gli esempi più evidenti! Dopotutto, la trigonometria in una forma o nell' altra è usata ovunque, dalla musica alla medicina.
In conclusione
Quindi, sai cosa sono seno, coseno, tangente. Puoi usarli nei calcoli e risolvere con successo i problemi scolastici.
Il puntola trigonometria si riduce al fatto che in base ai parametri noti del triangolo, è necessario calcolare le incognite. Ci sono sei parametri in totale: le lunghezze di tre lati e le grandezze di tre angoli. L'intera differenza nei compiti sta nel fatto che vengono forniti dati di input diversi.
Come trovare seno, coseno, tangente in base alle lunghezze conosciute delle gambe o dell'ipotenusa, ora lo sai. Poiché questi termini non significano altro che un rapporto e un rapporto è una frazione, l'obiettivo principale del problema trigonometrico è trovare le radici di un'equazione ordinaria o di un sistema di equazioni. E qui la solita matematica scolastica ti aiuterà.
