La derivata del coseno si trova per analogia con la derivata del seno, la base della dimostrazione è la definizione del limite della funzione. È possibile utilizzare un altro metodo, utilizzando le formule di riduzione trigonometrica per il coseno e il seno degli angoli. Esprimi una funzione in termini di un' altra - coseno in termini di seno e differenzia il seno con un argomento complesso.
Considera il primo esempio di derivazione della formula (Cos(x))'
Date un incremento Δx trascurabilmente piccolo all'argomento x della funzione y=Cos(x). Con un nuovo valore dell'argomento х+Δх, otteniamo un nuovo valore della funzione Cos(х+Δх). Quindi l'incremento della funzione Δy sarà uguale a Cos(х+Δx)-Cos(x).
Il rapporto tra l'incremento della funzione e Δх sarà: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Eseguiamo trasformazioni identiche nel numeratore della frazione risultante. Richiama la formula per la differenza dei coseni degli angoli, il risultato sarà il prodotto -2Sin (Δx / 2) per Sin (x + Δx / 2). Troviamo il limite del quoziente lim di questo prodotto su Δx poiché Δx tende a zero. È noto che il primo(si chiama meraviglioso) il limite lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) è uguale a 1, e il limite -Sin(x+Δx/2) è uguale a -Sin(x) come Δx tende a zero. Scrivi il risultato: la derivata di (Cos(x))' è uguale a - Sin(x).
Alcune persone preferiscono il secondo modo di derivare la stessa formula
È noto dal corso di trigonometria: Cos(x) è uguale a Sin(0, 5 ∏-x), similmente Sin(x) è uguale a Cos(0, 5 ∏-x). Quindi differenziamo una funzione complessa - il seno dell'angolo aggiuntivo (invece del coseno x).
Otteniamo il prodotto Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', perché la derivata del seno x è uguale al coseno X. Passiamo alla seconda formula Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) di sostituzione del coseno con seno, tenendo conto che (0.5 ∏-x)'=-1. Ora otteniamo -Sin(x). Quindi, si trova la derivata del coseno, y'=-Sin(x) per la funzione y=Cos(x).
Derivata del coseno al quadrato
Un esempio comunemente usato in cui viene utilizzata la derivata del coseno. La funzione y=Cos2(x) è difficile. Troviamo prima il differenziale della funzione di potenza con esponente 2, sarà 2·Cos(x), poi lo moltiplichiamo per la derivata (Cos(x))', che è uguale a -Sin(x). Otteniamo y'=-2 Cos(x) Sin(x). Quando applichiamo la formula Sin(2x), il seno di un doppio angolo, otteniamo la finale semplificatarisposta y'=-Sin(2x)
Funzioni iperboliche
Sono utilizzati nello studio di molte discipline tecniche: in matematica, ad esempio, facilitano il calcolo degli integrali, la soluzione di equazioni differenziali. Sono espressi in termini di funzioni trigonometriche con immaginarioargomento, quindi il coseno iperbolico ch(x)=Cos(i x), dove i è l'unità immaginaria, il seno iperbolico sh(x)=Sin(i x).
La derivata del coseno iperbolico è calcolata in modo molto semplice.
Considera la funzione y=(ex+e-x) /2, questo ed è il coseno iperbolico ch(x). Usiamo la regola per trovare la derivata della somma di due espressioni, la regola per togliere il fattore costante (Const) dal segno della derivata. Il secondo termine 0.5 e-x è una funzione complessa (la sua derivata è -0.5 e-x), 0.5 eх ― il primo mandato. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' può essere scritto in un altro modo: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, perché la derivata (e - x)' equivale a -1 volte e-x. Il risultato è una differenza, e questo è il seno iperbolico sh(x).Output: (ch(x))'=sh(x).
Guardiamo un esempio di come calcola la derivata della funzione y=ch(x
3+1).Secondo la regola di differenziazione del coseno iperbolico con argomento complesso y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', dove (x3+1)'=3 x 2+0. Risposta: la derivata di questa funzione è 3 x
2sh(x3+1).
Derivati tabulari delle funzioni considerate y=ch(x) e y=Cos(x)
Quando si risolvono esempi, non è necessario differenziarli ogni volta secondo lo schema proposto, è sufficiente utilizzare l'inferenza.
Esempio. Differenzia la funzione y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Facile da calcolare (usare dati tabulari), y'=-Sin(x) +Peccato(2 x)-5 Sh(5 x).
