Il paradosso di Bertrand è un problema nell'interpretazione classica della teoria della probabilità. Joseph lo introdusse nella sua opera Calcul des probabilités (1889) come esempio del fatto che le probabilità non possono essere ben definite se un meccanismo o un metodo produce una variabile casuale.
Dichiarazione del problema
Il paradosso di Bertrand è il seguente.
In primo luogo, considera un triangolo equilatero inscritto in un cerchio. In questo caso, il diametro viene scelto casualmente. Qual è la probabilità che sia più lungo del lato del triangolo?
Bertrand ha fatto tre argomentazioni, che sembrano tutte corrette, ma danno risultati diversi.
Metodo endpoint casuale
Devi selezionare due punti sul cerchio e disegnare un arco che li colleghi. Per il calcolo viene considerato il paradosso della probabilità di Bertrand. È necessario immaginare che il triangolo sia ruotato in modo che il suo vertice coincida con uno degli estremi della corda. Vale la pena pagarenota che se l' altra parte si trova su un arco tra due punti, il cerchio è più lungo del lato del triangolo. La lunghezza dell'arco è un terzo del cerchio, quindi la probabilità che una corda casuale sia più lunga è 1/3.
Metodo di selezione
È necessario selezionare il raggio del cerchio e un punto su di esso. Dopodiché, devi costruire una corda attraverso questo punto, perpendicolare al diametro. Per calcolare il paradosso considerato di Bertrand della teoria della probabilità, si deve immaginare che il triangolo sia ruotato in modo che il lato sia perpendicolare al raggio. La corda è più lunga della gamba se il punto selezionato è più vicino al centro del cerchio. E in questo caso, il lato del triangolo divide in due il raggio. Pertanto, la probabilità che la corda sia più lunga del lato della figura inscritta è 1/2.
Accordi casuali
Metodo del punto medio. È necessario scegliere un posto sul cerchio e creare un accordo con un dato centro. L'asse è più lungo del bordo del triangolo inscritto, se la posizione selezionata è all'interno di un cerchio concentrico di raggio 1/2. L'area del cerchio più piccolo è un quarto della figura più grande. Pertanto, la probabilità di un accordo casuale è maggiore del lato del triangolo inscritto ed è uguale a 1/4.
Come presentato sopra, i metodi di selezione differiscono per il peso che danno a certi accordi, che sono diametri. Nel metodo 1, ogni accordo può essere selezionato esattamente in un modo, indipendentemente dal fatto che si tratti o meno di un diametro.
Nel metodo 2, ciascuna linea retta può essere selezionata in due modi. Considerando che qualsiasi altro accordo sarà sceltosolo una delle possibilità.
Nel metodo 3, ogni selezione del punto medio ha un singolo parametro. Fatta eccezione per il centro del cerchio, che è il punto medio di tutti i diametri. Questi problemi possono essere evitati "ordinando" tutte le domande per escludere i parametri senza influenzare le probabilità risultanti.
I metodi Select possono anche essere visualizzati come segue. Una corda che non è un diametro è identificata in modo univoco dal suo punto medio. Ciascuno dei tre metodi di selezione presentati sopra produce una diversa distribuzione del centro. E le opzioni 1 e 2 forniscono due diverse partizioni non uniformi, mentre il metodo 3 fornisce una distribuzione uniforme.
Il classico paradosso della risoluzione del problema di Bertrand dipende dal metodo con cui l'accordo viene scelto "a caso". Si scopre che se un metodo di selezione casuale viene specificato in anticipo, il problema ha una soluzione ben definita. Questo perché ogni singolo metodo ha la propria distribuzione degli accordi. Le tre sentenze mostrate da Bertrand corrispondono a diverse modalità di selezione e, in assenza di ulteriori informazioni, non vi è motivo di favorire l'una sull' altra. Di conseguenza, il problema indicato non ha un'unica soluzione.
Un esempio di come rendere unica una risposta generale è specificare che gli estremi dell'accordo sono equidistanti tra 0 e c, dove c è la circonferenza del cerchio. Questa distribuzione è la stessa del primo argomento di Bertrand e la probabilità unica risultante sarà 1/3.
Questo paradosso di Bertrand Russell e altre singolarità del classicointerpretazioni di possibilità giustificano formulazioni più rigorose. Compreso la frequenza delle probabilità e la teoria bayesiana soggettivista.
Cosa sta alla base del paradosso di Bertrand
Nel suo articolo del 1973 "The Well-posed Problem", Edwin Jaynes ha offerto la sua soluzione unica. Ha osservato che il paradosso di Bertrand si basa su una premessa basata sul principio della "massima ignoranza". Ciò significa che non dovresti utilizzare alcuna informazione che non sia fornita nella dichiarazione del problema. Jaynes ha sottolineato che il problema di Bertrand non determina la posizione o la dimensione del cerchio. E ha sostenuto che quindi qualsiasi decisione definita e obiettiva deve essere "indifferente" alle dimensioni e alla posizione.
A scopo illustrativo
Supponendo che tutti gli accordi siano posizionati casualmente su un cerchio di 2 cm, ora devi lanciargli delle cannucce da lontano.
Quindi devi prendere un altro cerchio con un diametro più piccolo (ad esempio, 1 centimetro), che si adatti a una figura più grande. Quindi la distribuzione degli accordi su questo cerchio più piccolo dovrebbe essere la stessa di quello massimo. Se anche la seconda cifra si muove all'interno della prima, la probabilità, in linea di principio, non dovrebbe cambiare. È molto facile vedere che per il metodo 3 si verificherà il seguente cambiamento: la distribuzione degli accordi sul cerchietto rosso sarà qualitativamente diversa dalla distribuzione sul cerchio grande.
Lo stesso accade per il metodo 1. Anche se è più difficile da vedere nella vista grafica.
Il metodo 2 è l'unicoche risulta essere sia una scala che una traduzione invariante.
Il metodo numero 3 sembra essere semplicemente estensibile.
Il metodo 1 non è né l'uno né l' altro.
Tuttavia, Janes non ha usato facilmente le invarianti per accettare o rifiutare questi metodi. Ciò lascerebbe la possibilità che esista un altro metodo non descritto che si adatterebbe ai suoi aspetti di significato ragionevole. Jaynes ha applicato equazioni integrali che descrivono le invarianze. Per determinare direttamente la distribuzione di probabilità. Nel suo problema, le equazioni integrali hanno davvero una soluzione unica, e questo è esattamente ciò che è stato chiamato il secondo metodo del raggio casuale sopra.
In un articolo del 2015, Alon Drory sostiene che il principio di Jaynes può produrre anche altre due soluzioni di Bertrand. L'autore assicura che l'implementazione matematica delle suddette proprietà di invarianza non è unica, ma dipende dalla procedura di selezione casuale di base che una persona decide di utilizzare. Mostra che ciascuna delle tre soluzioni di Bertrand può essere ottenuta utilizzando l'invarianza rotazionale, di ridimensionamento e traslazionale. Allo stesso tempo, concludere che il principio di Jaynes è soggetto a interpretazione tanto quanto lo stesso modo di indifferenza.
Esperimenti fisici
Il Metodo 2 è l'unica soluzione che soddisfa gli invarianti di trasformazione presenti in concetti fisiologici specifici come la meccanica statistica e la struttura del gas. Anche nella propostaEsperimento di Janes di lanciare cannucce da un piccolo cerchio.
Tuttavia, possono essere progettati altri esperimenti pratici che forniscono risposte secondo altri metodi. Ad esempio, per arrivare a una soluzione al metodo del primo endpoint casuale, è possibile allegare un contatore al centro dell'area. E lascia che i risultati di due rotazioni indipendenti evidenzino i punti finali dell'accordo. Per arrivare a una soluzione al terzo metodo, si può coprire il cerchio di melassa, per esempio, e segnare il primo punto su cui la mosca atterra come corda di mezzo. Diversi osservatori hanno creato studi per trarre conclusioni diverse e hanno confermato i risultati empiricamente.
Ultimi eventi
Nel suo articolo del 2007 "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle", Nicholas Shackel sostiene che più di un secolo dopo, il problema rimane ancora irrisolto. Continua a confutare il principio di indifferenza. Inoltre, nel suo articolo del 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical", Darrell R. Robottom mostra che tutte le sentenze proposte non hanno nulla a che fare con la sua stessa domanda. Così si è scoperto che il paradosso sarebbe stato molto più difficile da risolvere di quanto si pensasse in precedenza.
Shackel sottolinea che finora molti scienziati e persone lontane dalla scienza hanno cercato di risolvere il paradosso di Bertrand. È ancora superato con l'aiuto di due diversi approcci.
Quelli in cui è stata considerata la differenza tra problemi non equivalenti e quelli in cui il problema è sempre stato considerato corretto. Shackel cita Louis nei suoi libriMarinoff (come tipico esponente della strategia della differenziazione) ed Edwin Jaynes (come autore di una teoria ben congegnata).
Tuttavia, nel loro recente lavoro Solving a Complex Problem, Diederik Aerts e Massimiliano Sassoli de Bianchi ritengono che per risolvere il paradosso di Bertrand si debbano cercare le premesse in una strategia mista. Secondo questi autori, il primo passo è risolvere il problema affermando chiaramente la natura dell'entità randomizzata. E solo dopo averlo fatto, qualsiasi problema può essere considerato corretto. Questo è ciò che pensa Janes.
Quindi il principio della massima ignoranza può essere utilizzato per risolverlo. A tal fine, e poiché il problema non specifica come deve essere scelto un accordo, il principio si applica non al livello delle varie possibilità, ma ad uno molto più profondo.
Selezione delle parti
Questa parte del problema richiede il calcolo di una meta-media su tutti i modi possibili, che gli autori chiamano la media universale. Per far fronte a questo, usano il metodo di discretizzazione. Ispirato da quanto si sta facendo nella definizione della legge di probabilità nei processi di Wiener. Il loro risultato è coerente con il corollario numerico di Jaynes, sebbene il loro problema ben posto differisca da quello dell'autore originale.
In economia e commercio, il Bertrand Paradox, dal nome del suo creatore Joseph Bertrand, descrive una situazione in cui due attori (aziende) raggiungono un equilibrio di Nash. Quando entrambe le imprese fissano un prezzo uguale al costo marginale(MS).
Il paradosso di Bertrand si basa su una premessa. Sta nel fatto che in modelli come la concorrenza di Cournot, un aumento del numero di imprese è associato alla convergenza dei prezzi con i costi marginali. In questi modelli alternativi, il paradosso di Bertrand è nell'oligopolio di un piccolo numero di imprese che ottengono profitti positivi applicando prezzi superiori ai costi.
Per cominciare, vale la pena assumere che due aziende A e B vendano un prodotto omogeneo, ognuna delle quali ha lo stesso costo di produzione e distribuzione. Ne consegue che gli acquirenti scelgono un prodotto esclusivamente in base al prezzo. Ciò significa che la domanda è infinitamente elastica rispetto al prezzo. Né A né B fisseranno un prezzo più alto degli altri, perché ciò farebbe crollare l'intero paradosso di Bertrand. Uno dei partecipanti al mercato cederà al suo concorrente. Se fissano lo stesso prezzo, le società si divideranno i profitti.
D' altra parte, se un'impresa abbassa il suo prezzo anche leggermente, otterrà l'intero mercato e un rendimento significativamente più alto. Dal momento che A e B lo sanno, cercheranno ciascuno di sottoquotare il concorrente fino a quando il prodotto non viene venduto con un profitto economico zero.
Un lavoro recente ha mostrato che potrebbe esserci un ulteriore equilibrio nel paradosso della strategia mista di Bertrand, con profitti economici positivi, a condizione che la somma del monopolio sia infinita. Per il caso del profitto finale, è stato dimostrato che un aumento positivo sotto la concorrenza dei prezzi è impossibile negli equilibri misti e anche nel caso più generalesistemi correlati.
In effetti, il paradosso di Bertrand in economia è raramente visto nella pratica, perché i prodotti reali sono quasi sempre differenziati in qualche modo diverso dal prezzo (ad esempio, pagare in eccesso per un'etichetta). Le imprese hanno dei limiti alla loro capacità di produrre e distribuire. Questo è il motivo per cui due aziende raramente hanno gli stessi costi.
Il risultato di Bertrand è paradossale perché se il numero di imprese aumenta da uno a due, il prezzo scende da monopolio a competitivo e rimane allo stesso livello del numero di imprese che aumenta in seguito. Questo non è molto realistico, perché in re altà i mercati con poche imprese con potere di mercato tendono a far pagare prezzi superiori al costo marginale. L'analisi empirica mostra che la maggior parte dei settori con due concorrenti genera profitti positivi.
Nel mondo moderno, gli scienziati stanno cercando di trovare soluzioni al paradosso che siano più coerenti con il modello di concorrenza di Cournot. Quando due aziende in un mercato realizzano profitti positivi che sono da qualche parte tra livelli di concorrenza perfetta e monopolio.
Alcuni motivi per cui il paradosso di Bertrand non è direttamente correlato all'economia:
- Limiti di capacità. A volte le aziende non hanno una capacità sufficiente per soddisfare tutta la domanda. Questo punto è stato sollevato per la prima volta da Francis Edgeworth e ha dato origine al modello Bertrand-Edgeworth.
- Prezzi interi. I prezzi al di sopra dell'MC sono esclusi perché un'impresa può sottoquotare un' altra a caso.una piccola quantità. Se i prezzi sono discreti (ad esempio, devono assumere valori interi), un'impresa deve sottoquotare l' altra di almeno un rublo. Ciò implica che il valore della piccola valuta è al di sopra del MC. Se un' altra impresa ne fissa il prezzo più alto, un' altra impresa può abbassarlo e conquistare l'intero mercato, il paradosso di Bertrand consiste proprio in questo. Non le porterà alcun profitto. Questa azienda preferirà condividere le vendite 50/50 con un' altra azienda e ricevere un fatturato puramente positivo.
- Differenziazione del prodotto. Se i prodotti di diverse aziende differiscono l'uno dall' altro, i consumatori potrebbero non passare completamente a prodotti con un prezzo inferiore.
- Competizione dinamica. Interazioni ripetute o ripetute competizioni sui prezzi possono portare a un equilibrio di valore.
- Più articoli per un importo maggiore. Ciò deriva dall'interazione ripetuta. Se un'azienda fissa un prezzo leggermente più alto, otterrà comunque più o meno lo stesso numero di acquisti, ma più profitto per articolo. Pertanto, l' altra compagnia aumenterà il suo markup, ecc. (Solo nei replay, altrimenti la dinamica va nell' altra direzione).
Oligopolio
Se due società possono concordare un prezzo, è nel loro interesse a lungo termine mantenere l'accordo: i ricavi da riduzione di valore sono inferiori al doppio dei ricavi derivanti dal rispetto dell'accordo e durano solo fino a quando l' altra azienda non taglia i propri propri prezzi.
Teoriale probabilità (come il resto della matematica) è in re altà un'invenzione recente. E lo sviluppo non è stato regolare. I primi tentativi di formalizzare il calcolo delle probabilità furono fatti dal marchese de Laplace, che propose di definire il concetto come il rapporto tra il numero di eventi che portano a un risultato.
Questo, ovviamente, ha senso solo se il numero di tutti i possibili eventi è finito. E inoltre, tutti gli eventi sono ugualmente probabili.
Quindi, all'epoca, questi concetti sembravano non avere solide basi. I tentativi di estendere la definizione al caso di un numero infinito di eventi hanno portato a difficoltà ancora maggiori. Il paradosso di Bertrand è una di queste scoperte che ha reso i matematici diffidenti nei confronti dell'intero concetto di probabilità.
