Lo studio quantitativo della dinamica e della cinematica del moto rotatorio richiede la conoscenza del momento d'inerzia di un punto materiale e di un corpo rigido rispetto all'asse di rotazione. Considereremo nell'articolo di quale parametro stiamo parlando e forniremo anche una formula per determinarlo.
Informazioni generali sulla quantità fisica
In primo luogo, definiamo il momento di inerzia di un punto materiale e di un corpo rigido, quindi mostriamo come dovrebbe essere utilizzato per risolvere problemi pratici.
Sotto la caratteristica fisica indicata per un punto di massa m, che ruota attorno all'asse ad una distanza r, si intende il seguente valore:
Io=mr².
Dove ne consegue che l'unità di misura del parametro studiato è chilogrammi per metro quadrato (kgm²).
Se, invece di un punto attorno ad un asse, ruota un corpo di forma complessa, che ha una distribuzione arbitraria di massa al suo interno, allora si determina il suo momento di inerziaquindi:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Dove ρ è la densità del corpo. Usando la formula integrale, puoi determinare il valore di I per qualsiasi sistema di rotazione.
Il momento di inerzia ha per la rotazione esattamente lo stesso significato che la massa ha per il movimento di traslazione. Ad esempio, tutti sanno che è più facile ruotare una scopa da pavimento attorno ad un asse passante per il suo manico piuttosto che attraverso uno perpendicolare. Ciò è dovuto al fatto che il momento d'inerzia nel primo caso è molto inferiore rispetto al secondo.
Valuto per corpi di forme diverse
Quando si risolvono problemi di fisica per la rotazione, spesso è necessario conoscere il momento di inerzia per un corpo di una forma geometrica specifica, ad esempio per un cilindro, una sfera o un'asta. Se applichiamo per I la formula scritta sopra, allora è facile ottenere l'espressione corrispondente per tutti i corpi marcati. Di seguito sono riportate le formule per alcuni di essi:
asta: I=1 / 12ML²;
cilindro: I=1 / 2MR²;
sfera: I=2 / 5MR².
Qui sono dato per l'asse di rotazione, che passa per il centro di massa del corpo. Nel caso di un cilindro, l'asse è parallelo al generatore della figura. Il momento d'inerzia per altri corpi geometrici e le opzioni per la posizione degli assi di rotazione si trovano nelle tabelle corrispondenti. Si noti che per determinare le diverse figure basta conoscere un solo parametro geometrico e la massa del corpo.
Teorema e formula di Steiner
Il momento di inerzia può essere determinato se l'asse di rotazione si trova a una certa distanza dal corpo. Per fare ciò, dovresti conoscere la lunghezza di questo segmento e il valore IO del corpo rispetto all'asse passante per il centro della sua massa, che dovrebbe essere parallelo a quello sottostante considerazione. Stabilire una connessione tra il parametro IO e il valore sconosciuto I è fissato nel teorema di Steiner. Il momento d'inerzia di un punto materiale e di un corpo rigido si scrive matematicamente come segue:
I=IO+ Mh2.
Qui M è la massa del corpo, h è la distanza dal centro di massa all'asse di rotazione, rispetto al quale è necessario calcolare I. Questa espressione è facile da ottenere da soli se si usa la formula integrale per I e tieni conto che tutti i punti del corpo sono a distanze r=r0 + h.
Il teorema di Steiner semplifica notevolmente la definizione di I per molte situazioni pratiche. Ad esempio, se devi trovare I per un'asta di lunghezza L e massa M rispetto ad un asse che passa per la sua estremità, l'applicazione del teorema di Steiner ti permette di scrivere:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Puoi fare riferimento alla tabella corrispondente e vedere che contiene esattamente questa formula per un'asta sottile con un asse di rotazione alla sua estremità.
Equazione del momento
Nella fisica della rotazione c'è una formula chiamata equazione dei momenti. Si presenta così:
M=Iα.
Qui M è il momento della forza, α è l'accelerazione angolare. Come puoi vedere, il momento di inerzia di un punto materiale e di un corpo rigido e il momento di forza sono linearmente correlati tra loro. Il valore M determina la possibilità di una certa forza F di creare un movimento rotatorio con accelerazione α nel sistema. Per calcolare M, usa la seguente semplice espressione:
M=Fre
Dove d è la spalla del momento, che è uguale alla distanza dal vettore di forza F all'asse di rotazione. Più piccolo è il braccio d, minore sarà la capacità della forza di creare la rotazione del sistema.
L'equazione dei momenti nel suo significato è pienamente coerente con la seconda legge di Newton. In questo caso, interpreto il ruolo della massa inerziale.
Esempio di risoluzione dei problemi
Immaginiamo un sistema che sia un cilindro fissato su un asse verticale con un'asta orizzontale senza peso. È noto che l'asse di rotazione e l'asse principale del cilindro sono paralleli tra loro e la distanza tra loro è di 30 cm La massa del cilindro è di 1 kg e il suo raggio è di 5 cm Una forza di 10 N tangente alla traiettoria di rotazione agisce sulla figura, il cui vettore passa per l'asse principale del cilindro. È necessario determinare l'accelerazione angolare della figura, che questa forza provocherà.
In primo luogo, calcoliamo il momento di inerzia del cilindro I. Per fare questo, applica il teorema di Steiner, abbiamo:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Prima di usare l'equazione del momento, devi farlodeterminare il momento della forza M. In questo caso si ha:
M=Fre=100, 3=3 Nm.
Ora puoi determinare l'accelerazione:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
L'accelerazione angolare calcolata indica che ogni secondo la velocità del cilindro aumenterà di 5,2 giri al secondo.
