L'area della superficie laterale e il volume di una piramide tronca: formule ed esempio per risolvere un problema tipico

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-02 17:49

Quando si studiano le proprietà delle figure nello spazio tridimensionale nell'ambito della stereometria, spesso si devono risolvere problemi per determinare il volume e la superficie. In questo articolo mostreremo come calcolare il volume e la superficie laterale di una piramide tronca usando formule ben note.

Piramide in geometria

In geometria, una piramide ordinaria è una figura nello spazio, che è costruita su un n-gon piatto. Tutti i suoi vertici sono collegati a un punto situato al di fuori del piano del poligono. Ad esempio, ecco una foto che mostra una piramide pentagonale.

Questa figura è formata da facce, vertici e bordi. La faccia pentagonale è chiamata base. Le restanti facce triangolari formano la superficie laterale. Il punto di intersezione di tutti i triangoli è il vertice principale della piramide. Se una perpendicolare viene abbassata da essa alla base, sono possibili due opzioni per la posizione del punto di intersezione:

• nel centro geometrico, allora la piramide è chiamata retta;
• non dentrocentro geometrico, la figura sarà obliqua.

Inoltre considereremo solo figure diritte con base regolare n-gonale.

Cos'è questa figura: una piramide tronca?

Per determinare il volume di una piramide tronca, è necessario capire chiaramente quale figura è specificamente in questione. Chiariamo questo problema.

Supponiamo di prendere un piano di taglio parallelo alla base di una normale piramide e di tagliare con esso una parte della superficie laterale. Se questa operazione viene eseguita con la piramide pentagonale mostrata sopra, otterrai una figura come nella figura seguente.

Dalla foto si può vedere che questa piramide ha già due basi, e quella superiore è simile a quella inferiore, ma è di dimensioni inferiori. La superficie laterale non è più rappresentata da triangoli, ma da trapezi. Sono isoscele e il loro numero corrisponde al numero dei lati della base. La figura tronca non ha un vertice principale, come una piramide regolare, e la sua altezza è determinata dalla distanza tra basi parallele.

Nel caso generale, se la figura in esame è formata da n basi-gonali, ha n+2 facce o lati, 2n vertici e 3n spigoli. Cioè, la piramide tronca è un poliedro.

Formula per il volume di una piramide tronca

Ricorda che il volume di una piramide ordinaria è 1/3 del prodotto della sua altezza e dell'area di base. Questa formula non è adatta per una piramide tronca, poiché ha due basi. E il suo volumesarà sempre inferiore allo stesso valore per la cifra regolare da cui deriva.

Senza entrare nei dettagli matematici per ottenere l'espressione, presentiamo la formula finale per il volume di una piramide tronca. È scritto come segue:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Qui S₁ e S_{2 sono le aree rispettivamente della base inferiore e superiore, h è l' altezza della figura. L'espressione scritta è valida non solo per una piramide tronca regolare rettilinea, ma anche per qualsiasi figura di questa classe. Inoltre, indipendentemente dal tipo di poligoni di base. L'unica condizione che limita l'uso dell'espressione per V è la necessità che le basi della piramide siano parallele tra loro.}

Diverse conclusioni importanti possono essere tratte studiando le proprietà di questa formula. Quindi, se l'area della base superiore è zero, arriviamo alla formula per V di una piramide ordinaria. Se le aree delle basi sono uguali tra loro, otteniamo la formula per il volume del prisma.

Come determinare la superficie laterale?

Conoscere le caratteristiche di una piramide tronca richiede non solo la capacità di calcolarne il volume, ma anche di saper determinare l'area della superficie laterale.

La piramide tronca è composta da due tipi di facce:

• trapezi isoscele;
• basi poligonali.

Se c'è un poligono regolare nelle basi, allora il calcolo della sua area non rappresenta grandele difficoltà. Per fare ciò, devi solo conoscere la lunghezza del lato a e il loro numero n.

Nel caso di una superficie laterale, il calcolo della sua area comporta la determinazione di questo valore per ciascuno degli n trapezi. Se n-gon è corretto, la formula per l'area della superficie laterale diventa:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Qui h_b è l' altezza del trapezio, che è chiamato apotema della figura. Le quantità a₁ e a_{2sono le lunghezze dei lati di basi regolari n-gonali.}

Per ogni piramide tronca n-gonale regolare, l'apotema h_b può essere definito in modo univoco attraverso i parametri a₁ e a _{2e l' altezza h della forma.}

Il compito di calcolare il volume e l'area di una figura

Dato una piramide tronca triangolare regolare. È noto che la sua altezza h è di 10 cm e le lunghezze dei lati delle basi sono 5 cm e 3 cm Quali sono il volume della piramide tronca e l'area della sua superficie laterale?

In primo luogo, calcoliamo il valore V. Per fare ciò, trova le aree dei triangoli equilateri che si trovano alla base della figura. Abbiamo:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10.825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 cm²

Sostituisci i dati nella formula di V, otteniamo il volume desiderato:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Per determinare la superficie laterale, dovresti saperelunghezza dell'apotema h_{b. Considerando il corrispondente triangolo rettangolo all'interno della piramide, possiamo scrivere l'uguaglianza per esso:}

h_b=√(((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 cm}

Il valore dell'apotema e i lati delle basi triangolari vengono sostituiti nell'espressione di S_{b e otteniamo la risposta:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2cm²

Così, abbiamo risposto a tutte le domande del problema: V ≈ 70.72 cm³, S_b ≈ 120.2 cm2^.