L'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare: formule ed esempi di problemi

2024 Autore: Angel Austin | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-02 17:49

Problemi geometrici tipici nel piano e nello spazio tridimensionale sono i problemi di determinazione delle aree superficiali di forme diverse. In questo articolo presentiamo la formula per l'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare.

Cos'è una piramide?

Diamo una definizione geometrica rigorosa di piramide. Supponiamo che ci sia un poligono con n lati e n angoli. Scegliamo un punto arbitrario nello spazio che non sarà nel piano dell'n-gon specificato e lo colleghiamo a ciascun vertice del poligono. Otterremo una figura che ha un certo volume, che è chiamata piramide n-gonale. Ad esempio, mostriamo nella figura seguente come appare una piramide pentagonale.

Due elementi importanti di ogni piramide sono la sua base (n-gon) e la parte superiore. Questi elementi sono collegati tra loro da n triangoli, che in generale non sono uguali tra loro. Perpendicolare caduta dadall' alto in basso è chiamata altezza della figura. Se interseca la base nel centro geometrico (coincide con il centro di massa del poligono), allora tale piramide è chiamata linea retta. Se, oltre a questa condizione, la base è un poligono regolare, l'intera piramide è detta regolare. La figura seguente mostra come appaiono le piramidi regolari con basi triangolari, quadrangolari, pentagonali ed esagonali.

Superficie a piramide

Prima di passare alla questione dell'area della superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare, dovremmo soffermarci sul concetto di superficie stessa.

Come accennato in precedenza e mostrato nelle figure, qualsiasi piramide è formata da un insieme di facce o lati. Un lato è la base e n lati sono triangoli. La superficie dell'intera figura è la somma delle aree di ciascuno dei suoi lati.

È conveniente studiare la superficie sull'esempio di una figura che si dispiega. Nelle figure seguenti è mostrata una scansione per una piramide quadrangolare regolare.

Vediamo che la sua superficie è uguale alla somma di quattro aree di triangoli isoscele identici e l'area di un quadrato.

L'area totale di tutti i triangoli che formano i lati della figura è chiamata area della superficie laterale. Successivamente, mostreremo come calcolarlo per una piramide quadrangolare regolare.

L'area della superficie laterale di una piramide regolare quadrangolare

Per calcolare l'area del lateralesuperficie della figura specificata, torniamo nuovamente alla scansione di cui sopra. Supponiamo di conoscere il lato della base quadrata. Indichiamolo con il simbolo a. Si può notare che ciascuno dei quattro triangoli identici ha una base di lunghezza a. Per calcolare la loro area totale, devi conoscere questo valore per un triangolo. È noto dal corso di geometria che l'area di un triangolo S_{t è uguale al prodotto della base per l' altezza, che dovrebbe essere divisa a metà. Cioè:}

S_t=1/2h_ba.

Dove h_b è l' altezza di un triangolo isoscele disegnato alla base a. Per una piramide, questa altezza è l'apotema. Ora resta da moltiplicare l'espressione risultante per 4 per ottenere l'area S_{b della superficie laterale per la piramide in questione:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Questa formula contiene due parametri: l'apotema e il lato della base. Se quest'ultimo è noto nella maggior parte delle condizioni dei problemi, allora il primo deve essere calcolato conoscendo altre quantità. Ecco le formule per calcolare l'apotema h_{b per due casi:}

• quando si conosce la lunghezza della costa laterale;
• quando si conosce l' altezza della piramide.

Se indichiamo la lunghezza del bordo laterale (il lato di un triangolo isoscele) con il simbolo L, allora l'apotema h_{b è determinato dalla formula:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Questa espressione è il risultato dell'applicazione del teorema di Pitagora per il triangolo della superficie laterale.

Se notol' altezza h della piramide, quindi l'apotema h_{b può essere calcolata come segue:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Anche ottenere questa espressione non è difficile se consideriamo all'interno della piramide un triangolo rettangolo formato dalle gambe h e a/2 e dall'ipotenusa h_b.

Mostriamo come applicare queste formule risolvendo due problemi interessanti.

Problema con superficie nota

È noto che la superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare è 108 cm². Occorre calcolare il valore della lunghezza del suo apotema h_{b, se l' altezza della piramide è 7 cm.}

Scriviamo la formula per l'area S_{b della superficie laterale attraverso l' altezza. Abbiamo:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Qui abbiamo semplicemente sostituito la formula dell'apotema corrispondente nell'espressione per S_{b. Mettiamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Per trovare il valore di a, cambiamo le variabili:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Ora sostituiamo i valori noti e risolviamo l'equazione quadratica:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Abbiamo scritto solo la radice positiva di questa equazione. Quindi i lati della base della piramide saranno:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Per ottenere la lunghezza dell'apotema,usa la formula:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 vedi}

Superficie laterale della piramide di Cheope

Determina il valore della superficie laterale per la più grande piramide egizia. È noto che alla sua base giace un quadrato con una lunghezza laterale di 230.363 metri. L' altezza della struttura era originariamente di 146,5 metri. Sostituendo questi numeri nella formula corrispondente per S_{b, otteniamo:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Il valore trovato è leggermente più grande dell'area di 17 campi da calcio.