Quando si considerano le figure nello spazio, spesso sorgono problemi nel determinare la loro superficie. Una di queste figure è il cono. Considera nell'articolo qual è la superficie laterale di un cono con una base rotonda, così come un cono tronco.
Cono con base tonda
Prima di procedere alla considerazione della superficie laterale del cono, mostreremo che tipo di figura è e come ottenerla con metodi geometrici.
Prendi un triangolo rettangolo ABC, dove AB e AC sono gambe. Mettiamo questo triangolo sulla gamba AC e ruotiamolo attorno alla gamba AB. Di conseguenza, i lati AC e BC descrivono due superfici della figura mostrata sotto.
La figura ottenuta dalla rotazione è chiamata cono diritto tondo. È tonda perché la sua base è un cerchio, e diritta perché una perpendicolare tracciata dalla sommità della figura (punto B) interseca il cerchio al suo centro. La lunghezza di questa perpendicolare è chiamata altezza. Ovviamente è uguale alla gamba AB. L' altezza è solitamente indicata dalla lettera h.
Oltre all' altezza, il cono considerato è descritto da altre due caratteristiche lineari:
- generatrice, o generatrice (ipotenusa BC);
- raggio di base (gamba AC).
Il raggio sarà indicato dalla lettera r e la generatrice da g. Quindi, tenendo conto del teorema di Pitagora, possiamo scrivere l'uguaglianza importante per la figura in esame:
g2=h2+ r2
Superficie conica
La totalità di tutte le generatrici forma una superficie conica o laterale di un cono. In apparenza, è difficile dire a quale cifra piatta corrisponda. Quest'ultimo è importante da sapere quando si determina l'area di una superficie conica. Per risolvere questo problema, viene utilizzato il metodo sweep. Consiste in quanto segue: una superficie viene tagliata mentalmente lungo una generatrice arbitraria, quindi viene spiegata su un piano. Con questo metodo per ottenere uno sweep, si forma la seguente figura piatta.
Come puoi intuire, il cerchio corrisponde alla base, ma il settore circolare è una superficie conica, la cui area ci interessa. Il settore è delimitato da due generatrici e da un arco. La lunghezza di quest'ultimo è esattamente uguale al perimetro (lunghezza) della circonferenza della base. Queste caratteristiche determinano in modo univoco tutte le proprietà del settore circolare. Non daremo calcoli matematici intermedi, ma annoteremo subito la formula finale, utilizzando la quale potrete calcolare l'area della superficie laterale del cono. La formula è:
Sb=pigr
L'area di una superficie conica Sbè uguale al prodotto di due parametri e Pi.
Tronco di cono e la sua superficie
Se prendiamo un cono normale e ne tagliamo la parte superiore con un piano parallelo, la figura rimanente sarà un tronco di cono. La sua superficie laterale è limitata da due basi rotonde. Indichiamo i loro raggi come R e r. Indichiamo l' altezza della figura con h e la generatrice con g. Di seguito è riportato un ritaglio di carta per questa figura.
Si può notare che la superficie laterale non è più un settore circolare, è di area più piccola, poiché ne è stata tagliata la parte centrale. Lo sviluppo è limitato a quattro linee, due delle quali sono generatrici di segmenti di retta, le altre due sono archi con le lunghezze dei corrispondenti cerchi delle basi del tronco di cono.
Superficie laterale Sbcalcolata come segue:
Sb=pig(r + R)
Generatrice, raggi e altezza sono correlati dalla seguente uguaglianza:
g2=h2+ (D - r)2
Il problema dell'uguaglianza delle aree delle figure
Dato un cono di altezza 20 cm e raggio di base di 8 cm, occorre trovare l' altezza di un tronco di cono la cui superficie laterale avrà la stessa area di questo cono. La figura troncata è costruita sulla stessa base e il raggio della base superiore è di 3 cm.
Prima di tutto scriviamo la condizione di uguaglianza delle aree del cono e della figura tronca. Abbiamo:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Adesso scriviamo le espressioni per le generatrici di ogni forma:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Sostituisci g1 e g2 nella formula per aree uguali e quadra i lati sinistro e destro, otteniamo:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Da dove otteniamo l'espressione per h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Non semplificheremo questa uguaglianza, ma semplicemente sostituiremo i dati noti dalla condizione:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Quindi, per eguagliare le aree delle superfici laterali delle figure, il tronco di cono deve avere i parametri: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm
