Quando si studia la stereometria, uno degli argomenti principali è "Cilindro". L'area della superficie laterale è considerata, se non la principale, una formula importante nella risoluzione di problemi geometrici. Tuttavia, è importante ricordare le definizioni che ti aiuteranno a navigare attraverso esempi e durante la dimostrazione di vari teoremi.
Concetto di cilindro
Per prima cosa dobbiamo considerare alcune definizioni. Solo dopo averli studiati si può iniziare a considerare la questione della formula per l'area della superficie laterale di un cilindro. Sulla base di questa voce, è possibile calcolare altre espressioni.
- Una superficie cilindrica è intesa come un piano descritto da una generatrice, che si muove e rimane parallela ad una determinata direzione, scorrendo lungo una curva esistente.
- C'è anche una seconda definizione: una superficie cilindrica è formata da un insieme di rette parallele che intersecano una determinata curva.
- Generativo è convenzionalmente chiamato altezza del cilindro. Quando si muove attorno ad un asse passante per il centro della base,si ottiene il corpo geometrico designato.
- Sotto l'asse si intende una retta passante per entrambe le basi della figura.
- Un cilindro è un corpo stereometrico delimitato da una superficie laterale intersecante e 2 piani paralleli.
Ci sono varietà di questa figura tridimensionale:
- Circolare è un cilindro la cui guida è un cerchio. I suoi componenti principali sono il raggio della base e la generatrice. Quest'ultimo è uguale all' altezza della figura.
- C'è un cilindro dritto. Deve il suo nome alla perpendicolarità della generatrice alle basi della figura.
- Il terzo tipo è un cilindro smussato. Nei libri di testo puoi anche trovare un altro nome: "cilindro circolare con base smussata". Questa cifra definisce il raggio della base, l' altezza minima e massima.
- Un cilindro equilatero è inteso come un corpo avente la stessa altezza e diametro di un piano circolare.
Simboli
Tradizionalmente, i principali "componenti" di un cilindro sono chiamati come segue:
- Il raggio della base è R (sostituisce anche lo stesso valore di una figura stereometrica).
- Generativo – L.
- Altezza – H.
- Area di base - Sbase (in altre parole, devi trovare il parametro del cerchio specificato).
- Altezze dei cilindri smussati – h1, h2 (minimo e massimo).
- Superficie laterale - Slato (se la espandi, ottieniuna specie di rettangolo).
- Il volume di una figura stereometrica - V.
- Superficie totale – S.
“Componenti” di una figura stereometrica
Quando si studia un cilindro, l'area della superficie laterale gioca un ruolo importante. Ciò è dovuto al fatto che questa formula è inclusa in molte altre più complesse. Pertanto, è necessario essere esperti di teoria.
Le componenti principali della figura sono:
- Superficie laterale. Come sapete si ottiene per il movimento della generatrice lungo una determinata curva.
- L'intera superficie include le basi esistenti e il piano laterale.
- La sezione di un cilindro, di regola, è un rettangolo posto parallelo all'asse della figura. Altrimenti, si chiama aereo. Si scopre che la lunghezza e la larghezza sono componenti part-time di altre figure. Quindi, condizionatamente, le lunghezze della sezione sono generatori. Larghezza - accordi paralleli di una figura stereometrica.
- Sezione assiale indica la posizione dell'aereo attraverso il centro del corpo.
- E infine, la definizione finale. Una tangente è un piano passante per la generatrice del cilindro e perpendicolare alla sezione assiale. In questo caso, deve essere soddisfatta una condizione. La generatrice specificata deve essere inclusa nel piano della sezione assiale.
Formule di base per lavorare con un cilindro
Per rispondere alla domanda su come trovare la superficie di un cilindro, è necessario studiare i principali "componenti" di una figura stereometrica e le formule per trovarli.
Queste formule differiscono in quanto vengono fornite prima le espressioni per il cilindro smussato e poi per quello dritto.
Esempi decostruiti
Compito 1.
È necessario conoscere l'area della superficie laterale del cilindro. Viene data la diagonale della sezione AC=8 cm (inoltre è assiale). A contatto con la generatrice, risulta <ACD=30°
Decisione. Poiché i valori della diagonale e dell'angolo sono noti, in questo caso:
CD=ACcos 30°
Commento. Il triangolo ACD, in questo particolare esempio, è un triangolo rettangolo. Ciò significa che il quoziente di divisione CD e AC=il coseno dell'angolo dato. Il valore delle funzioni trigonometriche può essere trovato in una tabella speciale.
Allo stesso modo, puoi trovare il valore di AD:
AD=ACpeccato 30°
Ora devi calcolare il risultato desiderato utilizzando la seguente formulazione: l'area della superficie laterale del cilindro è pari al doppio del risultato della moltiplicazione di "pi", il raggio della figura e la sua altezza. Dovrebbe essere utilizzata anche un' altra formula: l'area della base del cilindro. È uguale al risultato della moltiplicazione di "pi" per il quadrato del raggio. E infine, l'ultima formula: superficie totale. È uguale alla somma delle due aree precedenti.
Compito 2.
I cilindri vengono forniti. Il loro volume=128n cm³. Quale cilindro ha il più piccolopiena superficie?
Decisione. Per prima cosa devi usare le formule per trovare il volume di una figura e la sua altezza.
Poiché la superficie totale di un cilindro è nota dalla teoria, è necessario applicarne la formula.
Se consideriamo la formula risultante in funzione dell'area del cilindro, allora l'"indicatore" minimo sarà raggiunto nel punto estremo. Per ottenere l'ultimo valore, è necessario utilizzare la differenziazione.
Le formule possono essere visualizzate in una tabella speciale per trovare i derivati. In futuro, il risultato trovato è uguale a zero e viene trovata la soluzione dell'equazione.
Risposta: Smin sarà raggiunto a h=1/32 cm, R=64 cm.
Problema 3.
Data una figura stereometrica: un cilindro e una sezione. Quest'ultimo viene eseguito in modo tale da trovarsi parallelo all'asse del corpo stereometrico. Il cilindro ha i seguenti parametri: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm È necessario trovare la distanza tra la sezione e l'asse.
Decisione.
Poiché la sezione trasversale di un cilindro è VSCM, cioè un rettangolo, il suo lato VM=h. WMC deve essere considerato. Il triangolo è rettangolare. Sulla base di questa affermazione, possiamo dedurre l'assunzione corretta che MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
Da qui possiamo concludere che MK=BC=8 cm.
Il prossimo passo è disegnare una sezione attraverso la base della figura. È necessario considerare il piano risultante.
AD – diametro di una figura stereometrica. È parallelo alla sezione menzionata nell'istruzione del problema.
BC è una linea retta situata sul piano del rettangolo esistente.
ABCD è un trapezio. In un caso particolare è considerato isoscele, poiché attorno ad esso è descritto un cerchio.
Se trovi l' altezza del trapezio risultante, puoi ottenere la risposta data all'inizio del problema. Vale a dire: trovare la distanza tra l'asse e la sezione disegnata.
Per fare ciò, devi trovare i valori di AD e OS.
Risposta: la sezione si trova a 3 cm dall'asse.
Problemi di consolidamento del materiale
Esempio 1.
Cilindro dato. La superficie laterale è utilizzata nell'ulteriore soluzione. Sono note altre opzioni. L'area della base è Q, l'area della sezione assiale è M. È necessario trovare S. In altre parole, l'area totale del cilindro.
Esempio 2.
Cilindro dato. La superficie laterale deve essere trovata in una delle fasi di risoluzione del problema. È noto che altezza=4 cm, raggio=2 cm È necessario trovare l'area totale di una figura stereometrica.
